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13. 如图所示，小明把一根70 cm长的木棒试着放到一个长、宽、高分别为50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，他能放得进去吗？请说明理由.
答案
13.能，理由略.
解析
【分析】
要判断70cm的木棒能否放进木箱，核心是比较木棒长度与木箱内能容纳的最长线段（即长方体的体对角线）的长度大小。我们可以分两步计算体对角线：第一步先用勾股定理求出木箱底面长方形的对角线长度，第二步将这条底面对角线与木箱的高作为两条直角边，再次用勾股定理求出长方体的体对角线长度，最后将体对角线长度和木棒长度对比即可得出结论。
【解析】
解：先计算木箱底面的对角线长度，设底面对角线长为$a$，根据勾股定理：
$a^2 = 50^2 + 40^2 = 2500 + 1600 = 4100$
再计算长方体木箱的体对角线长度，设体对角线长为$l$，木箱高为30cm，再次运用勾股定理：
$l^2 = a^2 + 30^2 = 4100 + 900 = 5000$
已知木棒长70cm，计算得$70^2=4900$
因为$5000＞4900$，所以$l＞\sqrt{4900}=70\mathrm{cm}$
即木箱的体对角线长度大于木棒长度，因此能放进去。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理的应用，长方体体对角线计算
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际运用，解题关键是明确长方体内最长的线段为体对角线，通过两次运用勾股定理计算即可得到结果，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
要判断70cm的木棒能否放进木箱，核心是比较木棒长度与木箱内能容纳的最长线段（即长方体的体对角线）的长度大小。我们可以分两步计算体对角线：第一步先用勾股定理求出木箱底面长方形的对角线长度，第二步将这条底面对角线与木箱的高作为两条直角边，再次用勾股定理求出长方体的体对角线长度，最后将体对角线长度和木棒长度对比即可得出结论。
【解析】
解：先计算木箱底面的对角线长度，设底面对角线长为$a$，根据勾股定理：
$a^2 = 50^2 + 40^2 = 2500 + 1600 = 4100$
再计算长方体木箱的体对角线长度，设体对角线长为$l$，木箱高为30cm，再次运用勾股定理：
$l^2 = a^2 + 30^2 = 4100 + 900 = 5000$
已知木棒长70cm，计算得$70^2=4900$
因为$5000＞4900$，所以$l＞\sqrt{4900}=70\mathrm{cm}$
即木箱的体对角线长度大于木棒长度，因此能放进去。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理的应用，长方体体对角线计算
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际运用，解题关键是明确长方体内最长的线段为体对角线，通过两次运用勾股定理计算即可得到结果，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），从一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问，折断处离地面多高？
答案
14. 4.55尺或$\dfrac{91}{20}$尺.
解析
【分析】
这是一道利用勾股定理解决的实际应用问题，解题时首先要将实际场景转化为几何模型：竹子未折断的部分、竹根到竹梢的地面距离、折断的部分恰好构成直角三角形，其中未折断部分和地面3尺距离为两条直角边，折断部分为斜边。我们可以设折断处离地面的高度为未知数，用竹子原高表示出斜边的长度，再代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设折断处离地面的高度为$x$尺，则折断部分的长度为$(10-x)$尺。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
两边消去$x^2$后移项计算：
$20x = 100 - 9$
$20x = 91$
$x = \frac{91}{20} = 4.55$
【答案】
4.55尺或$\dfrac{91}{20}$尺
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是中国古代传统数学的经典问题，核心考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是准确梳理出直角三角形各边的数量关系，结合勾股定理建立方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
这是一道利用勾股定理解决的实际应用问题，解题时首先要将实际场景转化为几何模型：竹子未折断的部分、竹根到竹梢的地面距离、折断的部分恰好构成直角三角形，其中未折断部分和地面3尺距离为两条直角边，折断部分为斜边。我们可以设折断处离地面的高度为未知数，用竹子原高表示出斜边的长度，再代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设折断处离地面的高度为$x$尺，则折断部分的长度为$(10-x)$尺。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
两边消去$x^2$后移项计算：
$20x = 100 - 9$
$20x = 91$
$x = \frac{91}{20} = 4.55$
【答案】
4.55尺或$\dfrac{91}{20}$尺
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是中国古代传统数学的经典问题，核心考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是准确梳理出直角三角形各边的数量关系，结合勾股定理建立方程求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
15. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，求$(a+b)^2$的值.
答案
15.25.
解析
【分析】
解题时首先结合图形明确已知面积的几何意义：大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可直接得到$a^2+b^2$的值；其次通过大正方形面积减去小正方形面积得到四个直角三角形的总面积，进而求出$ab$相关的值；最后结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为大正方形的边长，已知大正方形面积为13，因此：
$a^2 + b^2 = 13$
2. 四个全等直角三角形的面积和 = 大正方形面积 - 小正方形面积，已知小正方形面积为1，因此：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1$
化简得：$2ab = 12$
3. 根据完全平方公式展开$(a+b)^2$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$、$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形性质和代数运算结合，解题的关键是从图形中挖掘面积、边长的等量关系，灵活运用勾股定理和完全平方公式的变形求解，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形明确已知面积的几何意义：大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可直接得到$a^2+b^2$的值；其次通过大正方形面积减去小正方形面积得到四个直角三角形的总面积，进而求出$ab$相关的值；最后结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长为大正方形的边长，已知大正方形面积为13，因此：
$a^2 + b^2 = 13$
2. 四个全等直角三角形的面积和 = 大正方形面积 - 小正方形面积，已知小正方形面积为1，因此：
$4×\frac{1}{2}ab = 13 - 1$
化简得：$2ab = 12$
3. 根据完全平方公式展开$(a+b)^2$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2+b^2=13$、$2ab=12$代入上式：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何图形性质和代数运算结合，解题的关键是从图形中挖掘面积、边长的等量关系，灵活运用勾股定理和完全平方公式的变形求解，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
