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1. 在$□ ABCD$中，$∠ A: ∠ B: ∠ C: ∠ D$的值可能是（
A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$2:2:1:1$
D.$2:1:2:1$
D
）.A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$2:2:1:1$
D.$2:1:2:1$
答案
1.D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆平行四边形关于角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，即∠A和∠C是对角、大小相等，∠B和∠D是对角、大小相等。对应到四个角的比值中，∠A和∠C的比值份数必须相等，∠B和∠D的比值份数也必须相等，我们只需要按照这个规律逐一排查选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$。
对各选项逐一验证：
A选项$1:2:3:4$：$∠ A$占1份、$∠ C$占3份，$1≠3$，不符合要求；
B选项$1:2:2:1$：$∠ A$占1份、$∠ C$占2份，$1≠2$，不符合要求；
C选项$2:2:1:1$：$∠ A$占2份、$∠ C$占1份，$2≠1$，不符合要求；
D选项$2:1:2:1$：$∠ A$占2份、$∠ C$占2份，$∠ B$占1份、$∠ D$占1份，满足$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行四边形的角的性质，无需计算具体角度，只需要抓住对角比值份数相等的特征就能快速选出答案，牢记相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆平行四边形关于角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，即∠A和∠C是对角、大小相等，∠B和∠D是对角、大小相等。对应到四个角的比值中，∠A和∠C的比值份数必须相等，∠B和∠D的比值份数也必须相等，我们只需要按照这个规律逐一排查选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$。
对各选项逐一验证：
A选项$1:2:3:4$：$∠ A$占1份、$∠ C$占3份，$1≠3$，不符合要求；
B选项$1:2:2:1$：$∠ A$占1份、$∠ C$占2份，$1≠2$，不符合要求；
C选项$2:2:1:1$：$∠ A$占2份、$∠ C$占1份，$2≠1$，不符合要求；
D选项$2:1:2:1$：$∠ A$占2份、$∠ C$占2份，$∠ B$占1份、$∠ D$占1份，满足$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行四边形的角的性质，无需计算具体角度，只需要抓住对角比值份数相等的特征就能快速选出答案，牢记相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形时，最多可作（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）.A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。已知3个不在同一直线上的点，要组成平行四边形，需找到第4个顶点，我们可以通过分类讨论的思路梳理所有可能的情况：依次将每两个已知点的连线作为平行四边形的一组邻边，分别作对边的平行线找交点，或者将每一条两点连线作为平行四边形的对角线，构造符合条件的平行四边形，最后统计不重复的平行四边形总数即可。
【解析】
设三个不共线的点为A、B、C，分三种情况构造平行四边形：
1. 以AB、AC为邻边：过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两条直线交于点D₁，由两组对边分别平行可得四边形ABD₁C是平行四边形；
2. 以AB、BC为邻边：过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两条直线交于点D₂，可得四边形ABCD₂是平行四边形；
3. 以AC、BC为邻边：过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两条直线交于点D₃，可得四边形AD₃BC是平行四边形。
以上三种情况为所有符合条件的构造，没有其他不重复的平行四边形，因此最多可作3个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形判定的灵活应用，解题的关键是做到不重不漏地分类讨论所有可能的构造情况，避免因漏算某一种情况导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。已知3个不在同一直线上的点，要组成平行四边形，需找到第4个顶点，我们可以通过分类讨论的思路梳理所有可能的情况：依次将每两个已知点的连线作为平行四边形的一组邻边，分别作对边的平行线找交点，或者将每一条两点连线作为平行四边形的对角线，构造符合条件的平行四边形，最后统计不重复的平行四边形总数即可。
【解析】
设三个不共线的点为A、B、C，分三种情况构造平行四边形：
1. 以AB、AC为邻边：过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两条直线交于点D₁，由两组对边分别平行可得四边形ABD₁C是平行四边形；
2. 以AB、BC为邻边：过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两条直线交于点D₂，可得四边形ABCD₂是平行四边形；
3. 以AC、BC为邻边：过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，两条直线交于点D₃，可得四边形AD₃BC是平行四边形。
以上三种情况为所有符合条件的构造，没有其他不重复的平行四边形，因此最多可作3个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题考查平行四边形判定的灵活应用，解题的关键是做到不重不漏地分类讨论所有可能的构造情况，避免因漏算某一种情况导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是$35°$，则两条对角线相交所成的锐角是（
A.$17.5°$
B.$35°$
C.$70°$
D.$110°$
C
）.A.$17.5°$
B.$35°$
C.$70°$
D.$110°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题首先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线相交后分割出的4个小三角形均为等腰三角形。已知对角线与矩形一边的夹角为35°，这个角就是其中一个等腰三角形的底角，要求两条对角线相交所成的锐角，可利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质直接计算，也可先求出对角线夹角的钝角再计算邻补角得到结果。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，根据矩形的性质可得：
$AC=BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，因此$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形。
已知一条对角线与一边的夹角为$35°$，即$∠ OAB=35°$，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ OBA=∠ OAB=35°$。
两条对角线相交所成的锐角是$△ OAB$的外角$∠ BOC$，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ BOC=∠ OAB+∠ OBA=35°+35°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用矩形对角线的特殊性质构造等腰三角形，再结合三角形角度相关性质求解，解题时要注意题目要求的是“锐角”，避免误选钝角对应的选项。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线相交后分割出的4个小三角形均为等腰三角形。已知对角线与矩形一边的夹角为35°，这个角就是其中一个等腰三角形的底角，要求两条对角线相交所成的锐角，可利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质直接计算，也可先求出对角线夹角的钝角再计算邻补角得到结果。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，根据矩形的性质可得：
$AC=BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，因此$OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形。
已知一条对角线与一边的夹角为$35°$，即$∠ OAB=35°$，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ OBA=∠ OAB=35°$。
两条对角线相交所成的锐角是$△ OAB$的外角$∠ BOC$，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ BOC=∠ OAB+∠ OBA=35°+35°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用矩形对角线的特殊性质构造等腰三角形，再结合三角形角度相关性质求解，解题时要注意题目要求的是“锐角”，避免误选钝角对应的选项。
【难度系数】
0.8
4. $□ ABCD$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，相邻两边之比为$3:2$，则两邻边的长分别是________，________.
答案
4.6 cm，4 cm
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形对边相等，因此它的周长等于相邻两边长度之和的2倍。已知周长为20cm，我们可以先求出相邻两边的长度和，再结合相邻两边的比例关系，通过设未知数列方程或者按比例分配的方法，就能求出两邻边的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ 平行四边形对边相等，周长=2×(相邻两边长度之和)
已知周长为20cm，因此相邻两边的长度和为：$20÷2=10\ \mathrm{cm}$
∵ 相邻两边之比为3:2，设较长邻边为$3x\ \mathrm{cm}$，较短邻边为$2x\ \mathrm{cm}$
可列方程：$3x+2x=10$
解得$x=2$
∴ 较长邻边长为$3×2=6\ \mathrm{cm}$，较短邻边长为$2×2=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm，4 cm
【知识点】
平行四边形的性质、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是平行四边形相关的基础常考题，解题核心是利用平行四边形对边相等的性质将周长转化为邻边和，再结合比例关系计算即可，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形对边相等，因此它的周长等于相邻两边长度之和的2倍。已知周长为20cm，我们可以先求出相邻两边的长度和，再结合相邻两边的比例关系，通过设未知数列方程或者按比例分配的方法，就能求出两邻边的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ 平行四边形对边相等，周长=2×(相邻两边长度之和)
已知周长为20cm，因此相邻两边的长度和为：$20÷2=10\ \mathrm{cm}$
∵ 相邻两边之比为3:2，设较长邻边为$3x\ \mathrm{cm}$，较短邻边为$2x\ \mathrm{cm}$
可列方程：$3x+2x=10$
解得$x=2$
∴ 较长邻边长为$3×2=6\ \mathrm{cm}$，较短邻边长为$2×2=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm，4 cm
【知识点】
平行四边形的性质、比例的应用、一元一次方程求解
【点评】
本题是平行四边形相关的基础常考题，解题核心是利用平行四边形对边相等的性质将周长转化为邻边和，再结合比例关系计算即可，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
5. $□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，若$AC=20$，$BD=30$，$AD=24$，则$△ OBC$的周长为________.
答案
5.49
解析
【分析】
要求△OBC的周长，需先求出OB、OC、BC三边的长度。我们可以结合平行四边形的性质求解：首先平行四边形的对角线互相平分，可求出OB、OC的长度；其次平行四边形的对边相等，可求出BC的长度，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ 平行四边形对角线互相平分，可得：$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$
且平行四边形对边相等，可得：$BC=AD$
已知$AC=20$，$BD=30$，$AD=24$，代入得：
$OC=\frac{1}{2}×20=10$，$OB=\frac{1}{2}×30=15$，$BC=24$
∴ △OBC的周长为$OB+OC+BC=15+10+24=49$
【答案】
49
【知识点】
平行四边形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形基本性质的直接应用，只要熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，代入数值计算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求△OBC的周长，需先求出OB、OC、BC三边的长度。我们可以结合平行四边形的性质求解：首先平行四边形的对角线互相平分，可求出OB、OC的长度；其次平行四边形的对边相等，可求出BC的长度，最后将三边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ 平行四边形对角线互相平分，可得：$OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$
且平行四边形对边相等，可得：$BC=AD$
已知$AC=20$，$BD=30$，$AD=24$，代入得：
$OC=\frac{1}{2}×20=10$，$OB=\frac{1}{2}×30=15$，$BC=24$
∴ △OBC的周长为$OB+OC+BC=15+10+24=49$
【答案】
49
【知识点】
平行四边形的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形基本性质的直接应用，只要熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，代入数值计算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 在$□ ABCD$中，两条对角线$AC$、$BD$的长分别是12和8，则$AB$的取值范围是________.
答案
6. 2＜AB＜10
解析
【分析】
解决本题首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可先求出两条对角线一半的长度；再观察AB与两条半对角线的位置关系，发现三者恰好构成三角形的三边，最后利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出AB的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=8
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
∴$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$
代入数值得：$6 - 4 ＜ AB ＜ 6 + 4$
即$2 ＜ AB ＜ 10$
【答案】
2＜AB＜10
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础题型，解题的核心是通过平行四边形对角线互相平分的性质，将未知边和已知条件转化到同一个三角形中，再借助三角形三边关系求解，是平行四边形性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此可先求出两条对角线一半的长度；再观察AB与两条半对角线的位置关系，发现三者恰好构成三角形的三边，最后利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出AB的取值范围。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=8
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
∴$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$
代入数值得：$6 - 4 ＜ AB ＜ 6 + 4$
即$2 ＜ AB ＜ 10$
【答案】
2＜AB＜10
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是几何基础题型，解题的核心是通过平行四边形对角线互相平分的性质，将未知边和已知条件转化到同一个三角形中，再借助三角形三边关系求解，是平行四边形性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.8
