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7. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是$A(-1, -3)$、$B(3, -3)$、$C(1, 4)$，要使A、B、C、D构成平行四边形，则D点的坐标应是$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
7. (5, 4) 或 (-3, 4) 或 (1, -10)
解析
【分析】
因为题目未明确平行四边形四个顶点的顺序，因此需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点重合，结合中点坐标公式即可分别计算出对应情况下D点的坐标，最后汇总所有可能的结果。
【解析】
我们利用“平行四边形对角线互相平分，即两条对角线的中点坐标相同”求解，两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，设点D坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时：
AB的中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{-3+(-3)}{2})=(1,-3)$，该点也是CD的中点，因此：
$\frac{1+x}{2}=1$，解得$x=1$；
$\frac{4+y}{2}=-3$，解得$y=-10$，此时$D(1,-10)$。
2. 当AC为平行四边形的对角线时：
AC的中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{-3+4}{2})=(0,0.5)$，该点也是BD的中点，因此：
$\frac{3+x}{2}=0$，解得$x=-3$；
$\frac{-3+y}{2}=0.5$，解得$y=4$，此时$D(-3,4)$。
3. 当BC为平行四边形的对角线时：
BC的中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{-3+4}{2})=(2,0.5)$，该点也是AD的中点，因此：
$\frac{-1+x}{2}=2$，解得$x=5$；
$\frac{-3+y}{2}=0.5$，解得$y=4$，此时$D(5,4)$。
【答案】
(5, 4) 或 (-3, 4) 或 (1, -10)
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题的核心是掌握平行四边形对角线互相平分的性质，易错点是忽略未指定顶点顺序时需要分类讨论，解题时要按照对角线的不同情况逐一计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
因为题目未明确平行四边形四个顶点的顺序，因此需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点重合，结合中点坐标公式即可分别计算出对应情况下D点的坐标，最后汇总所有可能的结果。
【解析】
我们利用“平行四边形对角线互相平分，即两条对角线的中点坐标相同”求解，两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，设点D坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时：
AB的中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{-3+(-3)}{2})=(1,-3)$，该点也是CD的中点，因此：
$\frac{1+x}{2}=1$，解得$x=1$；
$\frac{4+y}{2}=-3$，解得$y=-10$，此时$D(1,-10)$。
2. 当AC为平行四边形的对角线时：
AC的中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{-3+4}{2})=(0,0.5)$，该点也是BD的中点，因此：
$\frac{3+x}{2}=0$，解得$x=-3$；
$\frac{-3+y}{2}=0.5$，解得$y=4$，此时$D(-3,4)$。
3. 当BC为平行四边形的对角线时：
BC的中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{-3+4}{2})=(2,0.5)$，该点也是AD的中点，因此：
$\frac{-1+x}{2}=2$，解得$x=5$；
$\frac{-3+y}{2}=0.5$，解得$y=4$，此时$D(5,4)$。
【答案】
(5, 4) 或 (-3, 4) 或 (1, -10)
【知识点】
平行四边形的性质；中点坐标公式；分类讨论思想
【点评】
本题的核心是掌握平行四边形对角线互相平分的性质，易错点是忽略未指定顶点顺序时需要分类讨论，解题时要按照对角线的不同情况逐一计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 如图，A、C在$□ BFDE$的对角线EF所在的直线上，且$AE=CF$，求证：$BC// AD$.
答案
证明成立，$BC// AD$。
解析
【分析】
要证明$BC// AD$，可先证明四边形$ABCD$是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质即可得结论。首先结合已知$□ BFDE$的性质，连接其对角线$BD$交$AC$于点$O$，根据平行四边形对角线互相平分可得$OB=OD$，$OE=OF$；再结合已知$AE=CF$，可推出$OA=OC$，即四边形$ABCD$的对角线互相平分，由此可判定$ABCD$为平行四边形，进而得到$BC// AD$。
【解析】
证明：连接$BD$，交$AC$于点$O$。
$\because$四边形$BFDE$是平行四边形，
$\therefore OB=OD$，$OE=OF$（平行四边形的对角线互相平分）。
又$\because AE=CF$，
$\therefore AE+OE=CF+OF$，即$OA=OC$。
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
$\therefore BC// AD$（平行四边形的对边互相平行）。
【答案】
证明成立，$BC// AD$。
【知识点】
平行四边形性质、平行四边形判定、平行线判定
【点评】
本题是典型的平行四边形性质与判定的综合应用题，解题的关键是合理作出连接对角线的辅助线，利用对角线的数量关系推导新的平行四边形，整体解题思路清晰，掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明$BC// AD$，可先证明四边形$ABCD$是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质即可得结论。首先结合已知$□ BFDE$的性质，连接其对角线$BD$交$AC$于点$O$，根据平行四边形对角线互相平分可得$OB=OD$，$OE=OF$；再结合已知$AE=CF$，可推出$OA=OC$，即四边形$ABCD$的对角线互相平分，由此可判定$ABCD$为平行四边形，进而得到$BC// AD$。
【解析】
证明：连接$BD$，交$AC$于点$O$。
$\because$四边形$BFDE$是平行四边形，
$\therefore OB=OD$，$OE=OF$（平行四边形的对角线互相平分）。
又$\because AE=CF$，
$\therefore AE+OE=CF+OF$，即$OA=OC$。
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
$\therefore BC// AD$（平行四边形的对边互相平行）。
【答案】
证明成立，$BC// AD$。
【知识点】
平行四边形性质、平行四边形判定、平行线判定
【点评】
本题是典型的平行四边形性质与判定的综合应用题，解题的关键是合理作出连接对角线的辅助线，利用对角线的数量关系推导新的平行四边形，整体解题思路清晰，掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.
仅用无刻度的直尺，在下列给定的由1×1的小正方形组成的6×5的网格中，完成下列画图，并说明理由.
如图，已知E，F分别是CD，AB上的一点，画EF的中点O.
如图，已知点E是在AB上，且点E在格点处，画正方形EFGH，使得点F，G，H分别在AD，CD，BC上.
如图，已知E是BC上的一点，在AD上画点F，使得DF=BE.
理由：
理由：
理由：
仅用无刻度的直尺，在下列给定的由1×1的小正方形组成的6×5的网格中，完成下列画图，并说明理由.
如图，已知E，F分别是CD，AB上的一点，画EF的中点O.
如图，已知点E是在AB上，且点E在格点处，画正方形EFGH，使得点F，G，H分别在AD，CD，BC上.
如图，已知E是BC上的一点，在AD上画点F，使得DF=BE.
理由：
理由：
理由：
答案
9. 画图依次参考
、
、
，理由略.解析
【分析】
本题分三个作图任务，解题思路如下：
1. 作EF的中点：ABCD为平行四边形，具有中心对称的性质，对称中心是其对角线的交点，经过对称中心的直线与平行四边形对边的交点关于对称中心对称，因此对称中心即为两点的中点，只需连接平行四边形的对角线AC，与EF的交点就是所求中点O。
2. 作正方形EFGH：正方形需满足四边相等、邻边互相垂直，可借助网格格点构造全等直角三角形，保证各边对应的直角边组合一致，即可得到等长且互相垂直的边，依次确定AD上的F、CD上的G、BC上的H，顺次连接即可得到正方形。
3. 作点F使DF=BE：利用平行四边形的中心对称性，点B与点D关于对角线交点对称，连接点E并延长过对称中心，与AD的交点即为F，中心对称图形的对应线段长度相等，因此DF=BE。
【解析】
1. 第一问作图：连接平行四边形ABCD的对角线AC，AC与线段EF交于点O，点O即为EF的中点。
理由：平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线与对边的交点关于对称中心对称，故O为EF中点。
2. 第二问作图：在AD上取符合条件的格点F，再依次确定CD上的点G、BC上的点H，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH即为所求正方形。
理由：通过网格构造的全等直角三角形可证四边形四边相等，且有一个内角为直角，故四边形EFGH是正方形。
3. 第三问作图：先连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交于对称中心，再连接点E并延长，交AD于点F，点F即为所求。
理由：平行四边形是中心对称图形，点B与D对称、点E与F对称，对应线段BE=DF。
【答案】
、、
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；中心对称的性质
【点评】
本题是网格无刻度直尺作图题，综合考察了特殊四边形的性质和中心对称性质的灵活应用，要求学生能结合网格特征利用几何性质快速定位对应点，对几何作图能力和性质的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
本题分三个作图任务，解题思路如下：
1. 作EF的中点：ABCD为平行四边形，具有中心对称的性质，对称中心是其对角线的交点，经过对称中心的直线与平行四边形对边的交点关于对称中心对称，因此对称中心即为两点的中点，只需连接平行四边形的对角线AC，与EF的交点就是所求中点O。
2. 作正方形EFGH：正方形需满足四边相等、邻边互相垂直，可借助网格格点构造全等直角三角形，保证各边对应的直角边组合一致，即可得到等长且互相垂直的边，依次确定AD上的F、CD上的G、BC上的H，顺次连接即可得到正方形。
3. 作点F使DF=BE：利用平行四边形的中心对称性，点B与点D关于对角线交点对称，连接点E并延长过对称中心，与AD的交点即为F，中心对称图形的对应线段长度相等，因此DF=BE。
【解析】
1. 第一问作图：连接平行四边形ABCD的对角线AC，AC与线段EF交于点O，点O即为EF的中点。
理由：平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线与对边的交点关于对称中心对称，故O为EF中点。
2. 第二问作图：在AD上取符合条件的格点F，再依次确定CD上的点G、BC上的点H，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH即为所求正方形。
理由：通过网格构造的全等直角三角形可证四边形四边相等，且有一个内角为直角，故四边形EFGH是正方形。
3. 第三问作图：先连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交于对称中心，再连接点E并延长，交AD于点F，点F即为所求。
理由：平行四边形是中心对称图形，点B与D对称、点E与F对称，对应线段BE=DF。
【答案】
、、【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；中心对称的性质
【点评】
本题是网格无刻度直尺作图题，综合考察了特殊四边形的性质和中心对称性质的灵活应用，要求学生能结合网格特征利用几何性质快速定位对应点，对几何作图能力和性质的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
