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10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$是$BC$上一点，$DE// AC$交$AB$于$E$，$DF// AB$交$AC$于点$F$.
解答下列问题：
（1）如图1，当点$D$在$BC$上时，有$DE+DF=AB$，请你说明理由；
（2）如图2，当点$D$在$BC$的延长线上时，请你参考图1画出正确的图形，并写出$DE$、$DF$、$AB$之间的关系.
解答下列问题：
（1）如图1，当点$D$在$BC$上时，有$DE+DF=AB$，请你说明理由；
（2）如图2，当点$D$在$BC$的延长线上时，请你参考图1画出正确的图形，并写出$DE$、$DF$、$AB$之间的关系.
答案
10. (1) 提示：由平行线的相关性质，可得BE=DE，再证明AEDF是平行四边形，则AE=DF，所以DE+DF=AB. (2) DE-DF=AB，图略.
解析
【分析】
（1）要证明DE+DF=AB，可将AB拆分为AE和BE两段，分别证明两段与DE、DF相等即可。首先根据两组对边分别平行可判定四边形AEDF是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到DF=AE；再结合等腰△ABC的等边对等角性质和平行线的同位角相等，推出∠EDB=∠B，利用等角对等边得到BE=DE，最后将两段相加即可得证。
（2）类比第一问的解题思路，先按要求画出图形，仍然先利用平行四边形的性质得到对应边相等，再结合等腰三角形的性质推导线段的差量关系即可。
【解析】
（1）证明：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴DF=AE（平行四边形对边相等）。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）。
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE（等角对等边）。
∵AB=AE+BE，
∴AB=DF+DE，即DE+DF=AB。
（2）画图步骤：过点D作DE//AC交AB的延长线于点E，作DF//AB交AC的延长线于点F，即可得到正确图形。
关系推导：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵DF//AB，
∴∠FDC=∠B，
又
∵∠ACB=∠FCD（对顶角相等），
∴∠FDC=∠FCD，
∴DF=FC。
∵AF=AC+CF，AC=AB，CF=DF，
∴AF=AB+DF，
又
∵AF=DE，
∴DE=AB+DF，即DE-DF=AB。
【答案】
（1）理由见上述解析；（2）DE-DF=AB，图略。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何动态探究类问题，通过点的位置变化探究线段和差关系，解题核心是利用平行线实现角的等量转化，结合平行四边形和等腰三角形的性质得到线段的等量关系，解题中用到的类比思想也是几何探究题的常用思想。
【难度系数】
0.7
（1）要证明DE+DF=AB，可将AB拆分为AE和BE两段，分别证明两段与DE、DF相等即可。首先根据两组对边分别平行可判定四边形AEDF是平行四边形，利用平行四边形对边相等得到DF=AE；再结合等腰△ABC的等边对等角性质和平行线的同位角相等，推出∠EDB=∠B，利用等角对等边得到BE=DE，最后将两段相加即可得证。
（2）类比第一问的解题思路，先按要求画出图形，仍然先利用平行四边形的性质得到对应边相等，再结合等腰三角形的性质推导线段的差量关系即可。
【解析】
（1）证明：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴DF=AE（平行四边形对边相等）。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）。
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE（等角对等边）。
∵AB=AE+BE，
∴AB=DF+DE，即DE+DF=AB。
（2）画图步骤：过点D作DE//AC交AB的延长线于点E，作DF//AB交AC的延长线于点F，即可得到正确图形。
关系推导：
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵DF//AB，
∴∠FDC=∠B，
又
∵∠ACB=∠FCD（对顶角相等），
∴∠FDC=∠FCD，
∴DF=FC。
∵AF=AC+CF，AC=AB，CF=DF，
∴AF=AB+DF，
又
∵AF=DE，
∴DE=AB+DF，即DE-DF=AB。
【答案】
（1）理由见上述解析；（2）DE-DF=AB，图略。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何动态探究类问题，通过点的位置变化探究线段和差关系，解题核心是利用平行线实现角的等量转化，结合平行四边形和等腰三角形的性质得到线段的等量关系，解题中用到的类比思想也是几何探究题的常用思想。
【难度系数】
0.7
11. 由于制作需要，工人师傅现在计划把一块三角形的铁板（如图），通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形，你能帮助他设计一种可行的方案吗？请在图中画出切割线，并说明理由.
答案
11.提示：沿三角形的中位线切割.
解析
【分析】
要将三角形切割焊接成面积相等的平行四边形，需满足两个核心要求：一是拼接后图形符合平行四边形“对边平行且相等”的特征，二是拼接前后总面积不变。我们可以借助三角形中位线的性质实现这一目标：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，沿中位线切割后得到的小三角形，通过旋转可与剩余梯形拼接，使拼接后图形的对边满足平行且相等的条件，且总面积与原三角形一致。
【解析】
设计方案：
1. 分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，DE即为切割线；
2. 沿DE切割△ABC，得到△ADE和四边形BCED两部分；
3. 将△ADE绕点E旋转180°，使点A与点C重合，与四边形BCED拼接，即可得到面积与原三角形相等的平行四边形。
理由：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
由旋转的性质可知$△ ADE ≌ △ CFE$（F为旋转后点D的对应点），
∴ $AD=CF$，$∠ A=∠ ECF$，
∴ $AB// CF$，
又
∵ $AD=BD$，
∴ $BD=CF$，
∴ $BD// CF$且$BD=CF$，
∴ 四边形DBCF是平行四边形。
拼接前后图形总面积不变，故该平行四边形面积与原△ABC面积相等。
【答案】
沿三角形任意一条中位线切割，将切下的小三角形绕中位线与侧边的交点旋转180°，与剩余梯形拼接即可得到面积相等的平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，图形旋转的性质
【点评】
本题是实践操作类的几何应用题，需要将三角形、平行四边形的性质与割补拼接的方法结合起来解决问题，既考查基础几何定理的掌握程度，也锻炼知识灵活运用和逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.7
要将三角形切割焊接成面积相等的平行四边形，需满足两个核心要求：一是拼接后图形符合平行四边形“对边平行且相等”的特征，二是拼接前后总面积不变。我们可以借助三角形中位线的性质实现这一目标：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，沿中位线切割后得到的小三角形，通过旋转可与剩余梯形拼接，使拼接后图形的对边满足平行且相等的条件，且总面积与原三角形一致。
【解析】
设计方案：
1. 分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，DE即为切割线；
2. 沿DE切割△ABC，得到△ADE和四边形BCED两部分；
3. 将△ADE绕点E旋转180°，使点A与点C重合，与四边形BCED拼接，即可得到面积与原三角形相等的平行四边形。
理由：
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
由旋转的性质可知$△ ADE ≌ △ CFE$（F为旋转后点D的对应点），
∴ $AD=CF$，$∠ A=∠ ECF$，
∴ $AB// CF$，
又
∵ $AD=BD$，
∴ $BD=CF$，
∴ $BD// CF$且$BD=CF$，
∴ 四边形DBCF是平行四边形。
拼接前后图形总面积不变，故该平行四边形面积与原△ABC面积相等。
【答案】
沿三角形任意一条中位线切割，将切下的小三角形绕中位线与侧边的交点旋转180°，与剩余梯形拼接即可得到面积相等的平行四边形。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，图形旋转的性质
【点评】
本题是实践操作类的几何应用题，需要将三角形、平行四边形的性质与割补拼接的方法结合起来解决问题，既考查基础几何定理的掌握程度，也锻炼知识灵活运用和逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.7
