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1.如图，网格中每个小正方形的边长为1，则网格上的$△ ABC$中，AB的边长为（
A.$5$
B.$\sqrt{5}$
C.$17$
D.$\sqrt{17}$
D
）.A.$5$
B.$\sqrt{5}$
C.$17$
D.$\sqrt{17}$
答案
1.D
解析
【分析】
要计算网格中线段AB的长度，可借助勾股定理求解：首先确定线段AB对应的直角三角形的两条直角边长度，横向数出A、B两点的水平距离，纵向数出两点的竖直距离，再代入勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1，观察线段AB的位置：
A、B两点的水平距离为1，竖直距离为4，将AB看作直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2 + 4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是准确找到线段对应的两条直角边的长度，熟练掌握勾股定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要计算网格中线段AB的长度，可借助勾股定理求解：首先确定线段AB对应的直角三角形的两条直角边长度，横向数出A、B两点的水平距离，纵向数出两点的竖直距离，再代入勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1，观察线段AB的位置：
A、B两点的水平距离为1，竖直距离为4，将AB看作直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2 + 4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是准确找到线段对应的两条直角边的长度，熟练掌握勾股定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（
A.2
B.4
C.5
D.7
B
）步路（假设2步长为1 m），却踩伤了花草.A.2
B.4
C.5
D.7
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确少走的路程是走拐角的总路程和斜“路”长度的差值，再结合步长换算成步数即可。首先计算原本沿拐角行走的总长度，再利用勾股定理求出斜路的长度，算出二者的路程差后，根据“2步长为1m”的条件换算为步数，就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算沿拐角行走的总路程：沿着拐角走需要经过3m和4m两段路，总路程为$3+4=7\,\mathrm{m}$。
2. 计算斜“路”的长度：斜路是直角边分别为3m、4m的直角三角形的斜边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得斜路长度$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m}$。
3. 计算少走的路程：两种走法的路程差为$7-5=2\,\mathrm{m}$。
4. 换算为步数：已知2步长为1m，因此少走的步数为$2×2=4$步。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的基础应用，解题关键是准确计算两种行走路线的长度差，同时题目也具有一定的教育意义，引导大家爱护公共绿化。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确少走的路程是走拐角的总路程和斜“路”长度的差值，再结合步长换算成步数即可。首先计算原本沿拐角行走的总长度，再利用勾股定理求出斜路的长度，算出二者的路程差后，根据“2步长为1m”的条件换算为步数，就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算沿拐角行走的总路程：沿着拐角走需要经过3m和4m两段路，总路程为$3+4=7\,\mathrm{m}$。
2. 计算斜“路”的长度：斜路是直角边分别为3m、4m的直角三角形的斜边，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得斜路长度$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{m}$。
3. 计算少走的路程：两种走法的路程差为$7-5=2\,\mathrm{m}$。
4. 换算为步数：已知2步长为1m，因此少走的步数为$2×2=4$步。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的基础应用，解题关键是准确计算两种行走路线的长度差，同时题目也具有一定的教育意义，引导大家爱护公共绿化。
【难度系数】
0.8
3.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽.问，绳索长是多少？设绳索长为$x$尺，可列方程为（
A.$x^2 - 8=(x - 3)^2$
B.$x^2 + 8^2=(x - 3)^2$
C.$x^2 - 8^2=(x - 3)^2$
D.$x^2 + 8=(x - 3)^2$
C
）.A.$x^2 - 8=(x - 3)^2$
B.$x^2 + 8^2=(x - 3)^2$
C.$x^2 - 8^2=(x - 3)^2$
D.$x^2 + 8=(x - 3)^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，解题时首先要梳理题干中的数量关系，找到直角三角形的三条边：设绳索长为x尺，那么柱子的高度等于绳索总长减去堆在地面的3尺，即(x-3)尺；当在距柱子根部8尺处绳索用尽时，垂直于地面的柱子、地面8尺的水平线段、拉紧的绳索恰好构成直角三角形，其中绳索是斜边，柱子高度和8尺水平距离是两条直角边，再结合勾股定理列方程整理即可得到对应选项。
【解析】
设绳索长为$x$尺，则竖立木头柱子的高度为$(x-3)$尺。
由题意可知，柱子与地面垂直，因此柱子高度、距柱子根部的水平距离8尺、绳索长度恰好构成直角三角形，且绳索为直角三角形的斜边。
根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
对方程移项整理得：
$x^2 - 8^2 = (x-3)^2$
符合选项C的表达式。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学典籍的经典问题设计，既考查了勾股定理的应用，也要求同学们具备将实际问题转化为几何模型的能力，找准直角三角形的斜边和直角边是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股定理的实际应用，解题时首先要梳理题干中的数量关系，找到直角三角形的三条边：设绳索长为x尺，那么柱子的高度等于绳索总长减去堆在地面的3尺，即(x-3)尺；当在距柱子根部8尺处绳索用尽时，垂直于地面的柱子、地面8尺的水平线段、拉紧的绳索恰好构成直角三角形，其中绳索是斜边，柱子高度和8尺水平距离是两条直角边，再结合勾股定理列方程整理即可得到对应选项。
【解析】
设绳索长为$x$尺，则竖立木头柱子的高度为$(x-3)$尺。
由题意可知，柱子与地面垂直，因此柱子高度、距柱子根部的水平距离8尺、绳索长度恰好构成直角三角形，且绳索为直角三角形的斜边。
根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
对方程移项整理得：
$x^2 - 8^2 = (x-3)^2$
符合选项C的表达式。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学典籍的经典问题设计，既考查了勾股定理的应用，也要求同学们具备将实际问题转化为几何模型的能力，找准直角三角形的斜边和直角边是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$AB=BC=CD=DE=1$，且$BC⊥ AB$，$CD⊥ AC$，$DE⊥ AD$，则线段$AE$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
4.2
解析
【分析】
本题存在多个垂直关系，已知各短边长度均为1，我们可以借助勾股定理，从最下方的直角三角形开始逐层向上计算斜边长度：首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中计算$AC$的长度，再用得到的$AC$长度在$\mathrm{Rt}△ ACD$中计算$AD$的长度，最后用$AD$的长度在$\mathrm{Rt}△ ADE$中计算$AE$的长度即可。
【解析】
解：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=1$，
由勾股定理可得：$AC^2=AB^2+BC^2=1^2+1^2=2$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD=90°$，$CD=1$，
由勾股定理可得：$AD^2=AC^2+CD^2=2+1^2=3$；
3. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，$DE=1$，
由勾股定理可得：$AE^2=AD^2+DE^2=3+1^2=4$，
因为线段长度为正数，因此$AE=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确识别图中的三个直角三角形，按顺序逐步计算对应斜边的长度，计算难度较低，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题存在多个垂直关系，已知各短边长度均为1，我们可以借助勾股定理，从最下方的直角三角形开始逐层向上计算斜边长度：首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中计算$AC$的长度，再用得到的$AC$长度在$\mathrm{Rt}△ ACD$中计算$AD$的长度，最后用$AD$的长度在$\mathrm{Rt}△ ADE$中计算$AE$的长度即可。
【解析】
解：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=1$，
由勾股定理可得：$AC^2=AB^2+BC^2=1^2+1^2=2$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD=90°$，$CD=1$，
由勾股定理可得：$AD^2=AC^2+CD^2=2+1^2=3$；
3. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，$DE=1$，
由勾股定理可得：$AE^2=AD^2+DE^2=3+1^2=4$，
因为线段长度为正数，因此$AE=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确识别图中的三个直角三角形，按顺序逐步计算对应斜边的长度，计算难度较低，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
