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9. 矩形的长是$3\sqrt{35}$，宽为$\sqrt{20}$，则它的面积是
$30\sqrt{7}$
.答案
9. $30\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题首先回忆矩形面积计算公式为长×宽，本题已知长和宽均为二次根式，因此解题步骤为：第一步代入长和宽的数值列出面积算式；第二步按照二次根式的乘法法则计算，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘；第三步将得到的二次根式化简为最简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：矩形的面积=长×宽，将已知的长和宽代入公式得：
$\begin{aligned}S&=3\sqrt{35} × \sqrt{20}\\&=3×\sqrt{35×20}\\&=3×\sqrt{700}\\&=3×\sqrt{100×7}\\&=3×10\sqrt{7}\\&=30\sqrt{7}\end{aligned}$
【答案】
$30\sqrt{7}$
【知识点】
矩形面积公式；二次根式乘法；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察二次根式的运算法则和矩形面积公式的应用，计算时既可以先将二次根式化简后再相乘，也可以先相乘再化简，注意计算过程中不要出现被开方数计算错误即可。
【难度系数】
0.85
解题首先回忆矩形面积计算公式为长×宽，本题已知长和宽均为二次根式，因此解题步骤为：第一步代入长和宽的数值列出面积算式；第二步按照二次根式的乘法法则计算，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘；第三步将得到的二次根式化简为最简二次根式即可得到结果。
【解析】
解：矩形的面积=长×宽，将已知的长和宽代入公式得：
$\begin{aligned}S&=3\sqrt{35} × \sqrt{20}\\&=3×\sqrt{35×20}\\&=3×\sqrt{700}\\&=3×\sqrt{100×7}\\&=3×10\sqrt{7}\\&=30\sqrt{7}\end{aligned}$
【答案】
$30\sqrt{7}$
【知识点】
矩形面积公式；二次根式乘法；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察二次根式的运算法则和矩形面积公式的应用，计算时既可以先将二次根式化简后再相乘，也可以先相乘再化简，注意计算过程中不要出现被开方数计算错误即可。
【难度系数】
0.85
10. 计算：$|\sqrt{8} - π| + |\sqrt{2} - 2| = \underline{\hspace{15cm}}.$
答案
10. $π+2-3\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决这个含绝对值的实数运算题，核心是掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。首先需要分别判断两个绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后化简合并同类二次根式得到结果。第一步先估算各无理数的近似值，判断$\sqrt{8} - π$和$\sqrt{2} - 2$的正负；第二步根据绝对值性质去绝对值；第三步化简二次根式、合并同类项得到最终结果。
【解析】
首先判断绝对值内代数式的符号：
1.
∵$\sqrt{8}=2\sqrt{2}≈2.828$，$π≈3.14$，
∴$\sqrt{8}-π＜0$，根据绝对值性质可得：$|\sqrt{8}-π|=π-\sqrt{8}$；
2.
∵$\sqrt{2}≈1.414＜2$，
∴$\sqrt{2}-2＜0$，根据绝对值性质可得：$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$；
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(π - \sqrt{8}) + (2 - \sqrt{2})\\&=π - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}\\&=π + 2 - 3\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$π+2-3\sqrt{2}$
【知识点】
绝对值的性质、二次根式化简、实数的运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题的关键是准确判断绝对值内表达式的正负，再结合二次根式的化简规则合并同类二次根式，是对实数运算基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个含绝对值的实数运算题，核心是掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。首先需要分别判断两个绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后化简合并同类二次根式得到结果。第一步先估算各无理数的近似值，判断$\sqrt{8} - π$和$\sqrt{2} - 2$的正负；第二步根据绝对值性质去绝对值；第三步化简二次根式、合并同类项得到最终结果。
【解析】
首先判断绝对值内代数式的符号：
1.
∵$\sqrt{8}=2\sqrt{2}≈2.828$，$π≈3.14$，
∴$\sqrt{8}-π＜0$，根据绝对值性质可得：$|\sqrt{8}-π|=π-\sqrt{8}$；
2.
∵$\sqrt{2}≈1.414＜2$，
∴$\sqrt{2}-2＜0$，根据绝对值性质可得：$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$；
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(π - \sqrt{8}) + (2 - \sqrt{2})\\&=π - 2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}\\&=π + 2 - 3\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$π+2-3\sqrt{2}$
【知识点】
绝对值的性质、二次根式化简、实数的运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题的关键是准确判断绝对值内表达式的正负，再结合二次根式的化简规则合并同类二次根式，是对实数运算基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
11. 若$a＜1$，化简$\sqrt{(a - 1)^2} - 1=$
$-a$
.答案
11. $-a$
解析
【分析】
要化简这个式子，首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此第一步先将根号去掉转化为绝对值形式；接下来根据题目给出的$a＜1$的条件，判断绝对值内$a-1$的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行整式的加减计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$
$\because a＜1$
$\therefore a-1＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a-1|=-(a-1)=1-a$
$\therefore$ 原式$=1-a -1=-a$
【答案】
$-a$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记二次根式化简后要加绝对值，再结合给定的参数范围判断绝对值内式子的正负，进而完成化简，只要熟练掌握相关性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
要化简这个式子，首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此第一步先将根号去掉转化为绝对值形式；接下来根据题目给出的$a＜1$的条件，判断绝对值内$a-1$的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行整式的加减计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$
$\because a＜1$
$\therefore a-1＜0$
根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a-1|=-(a-1)=1-a$
$\therefore$ 原式$=1-a -1=-a$
【答案】
$-a$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记二次根式化简后要加绝对值，再结合给定的参数范围判断绝对值内式子的正负，进而完成化简，只要熟练掌握相关性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
12. 计算:
(1) $\sqrt{1\dfrac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{3}{5}}$；
(2) $(\sqrt{3}-\sqrt{12}) × 2\sqrt{3} +5\sqrt{2}-\sqrt{8}$；
(3) $(π-1)^0 + (-\dfrac{1}{2})^{-1} + |5-\sqrt{27}| -3\sqrt{3}$；
(4) $(4\sqrt{2}-\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2}$；
(5) $(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})-(5\sqrt{3}+2\sqrt{5})^2$；
(6) $(3\sqrt{18} + \dfrac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}}) ÷ \sqrt{32}$。
(1) $\sqrt{1\dfrac{1}{3}} ÷ \sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{3}{5}}$；
(2) $(\sqrt{3}-\sqrt{12}) × 2\sqrt{3} +5\sqrt{2}-\sqrt{8}$；
(3) $(π-1)^0 + (-\dfrac{1}{2})^{-1} + |5-\sqrt{27}| -3\sqrt{3}$；
(4) $(4\sqrt{2}-\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2}$；
(5) $(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})-(5\sqrt{3}+2\sqrt{5})^2$；
(6) $(3\sqrt{18} + \dfrac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}}) ÷ \sqrt{32}$。
答案
12. (1) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
(2) $3\sqrt{2}-6$.
(3) $-6$.
(4) $2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
(5) $-101-20\sqrt{15}$.
(6) $2$.
(2) $3\sqrt{2}-6$.
(3) $-6$.
(4) $2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
(5) $-101-20\sqrt{15}$.
(6) $2$.
解析
【分析】
这组题目均为二次根式混合运算类题目，解题思路如下：1. 先将题目中的带分数化为假分数，各二次根式化为最简二次根式，同时处理零指数幂、负整数指数幂、绝对值等特殊运算项；2. 遵循运算顺序：先算乘方（含平方、完全平方、平方差运算），再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容；3. 二次根式乘除运算可利用$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b＞0$）合并计算，符合乘法公式结构的优先用公式简化运算，最终结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再利用二次根式乘除法则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{\frac{4}{3}}÷\sqrt{\frac{8}{3}}×\sqrt{\frac{8}{5}}\\&=\sqrt{\frac{4}{3}÷\frac{8}{3}×\frac{8}{5}}\\&=\sqrt{\frac{4}{3}×\frac{3}{8}×\frac{8}{5}}\\&=\sqrt{\frac{4}{5}}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式，再按运算顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-2\sqrt{3})×2\sqrt{3}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\&=(-\sqrt{3})×2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\\&=-2×3+3\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}-6\end{aligned}$
(3) 分别计算零指数幂、负指数幂、绝对值，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+(-2)+\vert5-3\sqrt{3}\vert-3\sqrt{3}\\&=1-2+3\sqrt{3}-5-3\sqrt{3}\\&=-6\end{aligned}$
(4) 利用除法分配律展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4\sqrt{2}÷2\sqrt{2}-\sqrt{6}÷2\sqrt{2}\\&=2-\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\\&=2-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(5) 分别用平方差公式、完全平方公式展开，再合并：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2-[(5\sqrt{3})^2+2×5\sqrt{3}×2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^2]\\&=12-18-(75+20\sqrt{15}+20)\\&=-6-95-20\sqrt{15}\\&=-101-20\sqrt{15}\end{aligned}$
(6) 先化简括号内的二次根式，再做除法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}\\&=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；(2) $3\sqrt{2}-6$；(3) $-6$；(4) $2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(5) $-101-20\sqrt{15}$；(6) $2$
【知识点】
二次根式混合运算，零指数与负指数幂运算，乘法公式应用
【点评】
本组题重点考查二次根式的运算能力，涉及的运算规则和公式是代数运算的基础，计算时先化简再运算、合理运用公式可大幅提升正确率和运算效率。
【难度系数】
0.7
这组题目均为二次根式混合运算类题目，解题思路如下：1. 先将题目中的带分数化为假分数，各二次根式化为最简二次根式，同时处理零指数幂、负整数指数幂、绝对值等特殊运算项；2. 遵循运算顺序：先算乘方（含平方、完全平方、平方差运算），再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容；3. 二次根式乘除运算可利用$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b＞0$）合并计算，符合乘法公式结构的优先用公式简化运算，最终结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再利用二次根式乘除法则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{\frac{4}{3}}÷\sqrt{\frac{8}{3}}×\sqrt{\frac{8}{5}}\\&=\sqrt{\frac{4}{3}÷\frac{8}{3}×\frac{8}{5}}\\&=\sqrt{\frac{4}{3}×\frac{3}{8}×\frac{8}{5}}\\&=\sqrt{\frac{4}{5}}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式，再按运算顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-2\sqrt{3})×2\sqrt{3}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\&=(-\sqrt{3})×2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\\&=-2×3+3\sqrt{2}\\&=3\sqrt{2}-6\end{aligned}$
(3) 分别计算零指数幂、负指数幂、绝对值，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1+(-2)+\vert5-3\sqrt{3}\vert-3\sqrt{3}\\&=1-2+3\sqrt{3}-5-3\sqrt{3}\\&=-6\end{aligned}$
(4) 利用除法分配律展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4\sqrt{2}÷2\sqrt{2}-\sqrt{6}÷2\sqrt{2}\\&=2-\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\\&=2-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(5) 分别用平方差公式、完全平方公式展开，再合并：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2-[(5\sqrt{3})^2+2×5\sqrt{3}×2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^2]\\&=12-18-(75+20\sqrt{15}+20)\\&=-6-95-20\sqrt{15}\\&=-101-20\sqrt{15}\end{aligned}$
(6) 先化简括号内的二次根式，再做除法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}\\&=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$；(2) $3\sqrt{2}-6$；(3) $-6$；(4) $2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(5) $-101-20\sqrt{15}$；(6) $2$
【知识点】
二次根式混合运算，零指数与负指数幂运算，乘法公式应用
【点评】
本组题重点考查二次根式的运算能力，涉及的运算规则和公式是代数运算的基础，计算时先化简再运算、合理运用公式可大幅提升正确率和运算效率。
【难度系数】
0.7
