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7. 用代入消元法解二元一次方程组$\begin{cases}2x -7y=8, ① \\3x -8y -10=0②\end{cases}$的过程中，下列变形不正确的是（ ）。
A.由①得 $x=4+\frac{7}{2}y$
B.由①得 $y=\frac{2x-8}{7}$
C.由②得 $y=\frac{3x-10}{8}$
D.由②得 $x=\frac{8y -10}{3}$
A.由①得 $x=4+\frac{7}{2}y$
B.由①得 $y=\frac{2x-8}{7}$
C.由②得 $y=\frac{3x-10}{8}$
D.由②得 $x=\frac{8y -10}{3}$
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组时的方程变形，解题思路是对每个选项对应的方程，通过移项、系数化为1的步骤判断变形是否正确，注意移项要改变符号，系数化为1时分子的项和符号都要对应正确。
【解析】
我们逐个验证各选项的变形：
A. 由①$2x-7y=8$，移项得$2x=8+7y$，两边同时除以2，得$x=\frac{8+7y}{2}=4+\frac{7}{2}y$，变形正确，不符合题意。
B. 由①$2x-7y=8$，移项得$7y=2x-8$，两边同时除以7，得$y=\frac{2x-8}{7}$，变形正确，不符合题意。
C. 由②$3x-8y-10=0$，移项得$8y=3x-10$，两边同时除以8，得$y=\frac{3x-10}{8}$，变形正确，不符合题意。
D. 由②$3x-8y-10=0$，移项得$3x=8y+10$，两边同时除以3，得$x=\frac{8y+10}{3}$，选项中分子的10前面为减号，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；等式的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程的恒等变形，易错点是移项时未改变符号，做题时要注意核对移项后各项的符号是否正确。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组时的方程变形，解题思路是对每个选项对应的方程，通过移项、系数化为1的步骤判断变形是否正确，注意移项要改变符号，系数化为1时分子的项和符号都要对应正确。
【解析】
我们逐个验证各选项的变形：
A. 由①$2x-7y=8$，移项得$2x=8+7y$，两边同时除以2，得$x=\frac{8+7y}{2}=4+\frac{7}{2}y$，变形正确，不符合题意。
B. 由①$2x-7y=8$，移项得$7y=2x-8$，两边同时除以7，得$y=\frac{2x-8}{7}$，变形正确，不符合题意。
C. 由②$3x-8y-10=0$，移项得$8y=3x-10$，两边同时除以8，得$y=\frac{3x-10}{8}$，变形正确，不符合题意。
D. 由②$3x-8y-10=0$，移项得$3x=8y+10$，两边同时除以3，得$x=\frac{8y+10}{3}$，选项中分子的10前面为减号，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；等式的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程的恒等变形，易错点是移项时未改变符号，做题时要注意核对移项后各项的符号是否正确。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+3y=-a+2, \\ x-4y=5a+7\end{cases}$（$a$是常数），若不论$a$取什么实数，代数式$kx - y$（$k$是常数）的值始终不变，则$k$的值为 ______ 。
答案
8.$-\frac{6}{11}$
解析
【分析】
解题的关键是理解“不论a取何值，kx-y的值始终不变”的含义，即代数式kx-y的结果与a的取值无关。我们可以先通过解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示，再代入kx-y中整理，令整理后式子中a的系数为0，即可求出k的值。
【解析】
首先给方程组编号：
$\begin{cases}x+3y=-a+2&① \\ x-4y=5a+7&②\end{cases}$
用加减消元法消去x：①-②，得
$(x+3y)-(x-4y)=(-a+2)-(5a+7)$
化简得：$7y=-6a-5$，解得$y=\frac{-6a-5}{7}$
把$y=\frac{-6a-5}{7}$代入①，得：
$x+3×\frac{-6a-5}{7}=-a+2$
两边同乘7消分母：$7x-18a-15=-7a+14$
移项整理得：$7x=11a+29$，解得$x=\frac{11a+29}{7}$
将$x=\frac{11a+29}{7}$、$y=\frac{-6a-5}{7}$代入$kx-y$，得：
$kx-y=k·\frac{11a+29}{7}-\frac{-6a-5}{7}=\frac{11ka+29k+6a+5}{7}=\frac{(11k+6)a+(29k+5)}{7}$
因为不论a取何值，$kx-y$的值不变，所以式子中a的系数必须为0，即：
$11k+6=0$
解得$k=-\frac{6}{11}$
【答案】
$-\frac{6}{11}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，整式的化简，参数无关问题求解
【点评】
本题是消元解二元一次方程组的灵活应用题，需要结合代数式值与参数无关的特征，通过令参数的系数为0建立方程求解，能很好地考察知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
解题的关键是理解“不论a取何值，kx-y的值始终不变”的含义，即代数式kx-y的结果与a的取值无关。我们可以先通过解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示，再代入kx-y中整理，令整理后式子中a的系数为0，即可求出k的值。
【解析】
首先给方程组编号：
$\begin{cases}x+3y=-a+2&① \\ x-4y=5a+7&②\end{cases}$
用加减消元法消去x：①-②，得
$(x+3y)-(x-4y)=(-a+2)-(5a+7)$
化简得：$7y=-6a-5$，解得$y=\frac{-6a-5}{7}$
把$y=\frac{-6a-5}{7}$代入①，得：
$x+3×\frac{-6a-5}{7}=-a+2$
两边同乘7消分母：$7x-18a-15=-7a+14$
移项整理得：$7x=11a+29$，解得$x=\frac{11a+29}{7}$
将$x=\frac{11a+29}{7}$、$y=\frac{-6a-5}{7}$代入$kx-y$，得：
$kx-y=k·\frac{11a+29}{7}-\frac{-6a-5}{7}=\frac{11ka+29k+6a+5}{7}=\frac{(11k+6)a+(29k+5)}{7}$
因为不论a取何值，$kx-y$的值不变，所以式子中a的系数必须为0，即：
$11k+6=0$
解得$k=-\frac{6}{11}$
【答案】
$-\frac{6}{11}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，整式的化简，参数无关问题求解
【点评】
本题是消元解二元一次方程组的灵活应用题，需要结合代数式值与参数无关的特征，通过令参数的系数为0建立方程求解，能很好地考察知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
9. 用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}5x - y = 6, \quad ① \\3x + 2y = 14②\end{cases}$时，下列消元方案中正确的有________个。
方案一：要消去$x$，可以将①$×3+$②$×5$。
方案二：要消去$x$，可以将①$×5-$②$×3$。
方案三：要消去$y$，可以将①$×2-$②。
方案四：要消去$y$，可以将①$×2+$②。
方案一：要消去$x$，可以将①$×3+$②$×5$。
方案二：要消去$x$，可以将①$×5-$②$×3$。
方案三：要消去$y$，可以将①$×2-$②。
方案四：要消去$y$，可以将①$×2+$②。
答案
9.1
解析
【分析】
要判断各消元方案是否正确，需依据加减消元法的规则：消去某一未知数时，先将两个方程中该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过相减（系数相等时）或相加（系数互为相反数时）消去该未知数。我们逐个分析四个方案：
1. 消去x时，方程①中x系数为5，方程②中x系数为3，要让x系数相等，需将①×3、②×5，此时x系数均为15，再用①×3 - ②×5才可消去x，据此判断消x的两个方案。
2. 消去y时，方程①中y系数为-1，方程②中y系数为2，要让y系数互为相反数，需将①×2，此时y系数为-2，和②中y的系数+2互为相反数，再将①×2 + ②即可消去y，据此判断消y的两个方案。
【解析】
我们逐个验证四个方案：
1. 方案一：消去x，①×3得$15x - 3y = 18$，②×5得$15x + 10y = 70$，两式相加得$30x + 7y = 88$，未消去x，方案错误。
2. 方案二：消去x，①×5得$25x - 5y = 30$，②×3得$9x + 6y = 42$，两式相减得$16x - 11y = -12$，未消去x，方案错误。
3. 方案三：消去y，①×2得$10x - 2y = 12$，减去②得$7x - 4y = -2$，未消去y，方案错误。
4. 方案四：消去y，①×2得$10x - 2y = 12$，加上②得$13x = 26$，成功消去y，方案正确。
综上，正确的方案只有1个。
【答案】
1
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题关键是明确消元时要先将目标未知数的系数化为相等或互为相反数，再选择相加或相减运算，计算时要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
要判断各消元方案是否正确，需依据加减消元法的规则：消去某一未知数时，先将两个方程中该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过相减（系数相等时）或相加（系数互为相反数时）消去该未知数。我们逐个分析四个方案：
1. 消去x时，方程①中x系数为5，方程②中x系数为3，要让x系数相等，需将①×3、②×5，此时x系数均为15，再用①×3 - ②×5才可消去x，据此判断消x的两个方案。
2. 消去y时，方程①中y系数为-1，方程②中y系数为2，要让y系数互为相反数，需将①×2，此时y系数为-2，和②中y的系数+2互为相反数，再将①×2 + ②即可消去y，据此判断消y的两个方案。
【解析】
我们逐个验证四个方案：
1. 方案一：消去x，①×3得$15x - 3y = 18$，②×5得$15x + 10y = 70$，两式相加得$30x + 7y = 88$，未消去x，方案错误。
2. 方案二：消去x，①×5得$25x - 5y = 30$，②×3得$9x + 6y = 42$，两式相减得$16x - 11y = -12$，未消去x，方案错误。
3. 方案三：消去y，①×2得$10x - 2y = 12$，减去②得$7x - 4y = -2$，未消去y，方案错误。
4. 方案四：消去y，①×2得$10x - 2y = 12$，加上②得$13x = 26$，成功消去y，方案正确。
综上，正确的方案只有1个。
【答案】
1
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题关键是明确消元时要先将目标未知数的系数化为相等或互为相反数，再选择相加或相减运算，计算时要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
10. 在解二元一次方程组$\begin{cases}mx - 3y = 1, & ① \\ 4x + ny = 4 & ②\end{cases}$时，若①×2－②可直接消去未知数x，①＋②可直接消去未知数y，则$m^{-n}=$ ______ 。
答案
10.$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
解题时首先回忆加减消元法的核心原理：若要通过加减运算消去某个未知数，需使两个方程中该未知数的系数相等（用减法消元）或互为相反数（用加法消元）。第一步先根据“①×2－②可直接消去x”的条件，推导x的系数关系求出m的值；第二步根据“①＋②可直接消去y”的条件，推导y的系数关系求出n的值；最后将m、n代入$m^{-n}$计算即可得到结果。
【解析】
1. 求m的值：
将方程①两边乘2，可得$2mx - 6y = 2$，用该式减去方程②消去x，说明x的系数差为0，即：
$2m - 4 = 0$
解得$m = 2$。
2. 求n的值：
将方程①和方程②相加消去y，说明y的系数和为0，即：
$-3 + n = 0$
解得$n = 3$。
3. 计算$m^{-n}$：
根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），代入$m=2$，$n=3$得：
$m^{-n}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
加减消元法，负整数指数幂，解一元一次方程
【点评】
本题侧重考察加减消元法的基本原理，只有理解消元的本质是让对应未知数的系数满足相等或相反的关系，才能快速列出等式求出参数，整体解题逻辑清晰，属于基础类的参数求解题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆加减消元法的核心原理：若要通过加减运算消去某个未知数，需使两个方程中该未知数的系数相等（用减法消元）或互为相反数（用加法消元）。第一步先根据“①×2－②可直接消去x”的条件，推导x的系数关系求出m的值；第二步根据“①＋②可直接消去y”的条件，推导y的系数关系求出n的值；最后将m、n代入$m^{-n}$计算即可得到结果。
【解析】
1. 求m的值：
将方程①两边乘2，可得$2mx - 6y = 2$，用该式减去方程②消去x，说明x的系数差为0，即：
$2m - 4 = 0$
解得$m = 2$。
2. 求n的值：
将方程①和方程②相加消去y，说明y的系数和为0，即：
$-3 + n = 0$
解得$n = 3$。
3. 计算$m^{-n}$：
根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），代入$m=2$，$n=3$得：
$m^{-n}=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
加减消元法，负整数指数幂，解一元一次方程
【点评】
本题侧重考察加减消元法的基本原理，只有理解消元的本质是让对应未知数的系数满足相等或相反的关系，才能快速列出等式求出参数，整体解题逻辑清晰，属于基础类的参数求解题型。
【难度系数】
0.7
11. 王老师让全班同学解关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + ay = 1, &① \\ bx - y = 7 &②\end{cases}$（其中$a$和$b$代表确定的数）.甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的$a$，解得$\begin{cases}x=1, \\ y=-4.\end{cases}$乙看错了②中的$b$，解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=1.\end{cases}$这个方程组的正确解应为________.
答案
11.$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的关键是理解“看错系数”的含义：甲看错了方程①中的a，说明甲得到的解满足他没看错的方程②，代入即可求出正确的b值；乙看错了方程②中的b，说明乙得到的解满足他没看错的方程①，代入即可求出正确的a值。得到a、b的正确值后，写出原方程组，用消元法求解即可得到正确解。
【解析】
1. 求正确的$b$值：
甲看错了①中的$a$，因此$\begin{cases}x=1 \\ y=-4\end{cases}$满足方程②，代入②得：
$b×1 - (-4) =7$
解得$b=3$。
2. 求正确的$a$值：
乙看错了②中的$b$，因此$\begin{cases}x=-1 \\ y=1\end{cases}$满足方程①，代入①得：
$2×(-1) + a×1 =1$
解得$a=3$。
3. 解正确的方程组：
将$a=3$，$b=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2x + 3y =1 \quad ③ \\ 3x - y =7 \quad ④\end{cases}$
用代入消元法，由④得：$y=3x-7 \quad ⑤$
把⑤代入③：
$2x + 3(3x -7) =1$
$2x +9x -21 =1$
$11x=22$
解得$x=2$
把$x=2$代入⑤，得$y=3×2 -7=-1$
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组解的意义 2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题核心是理解二元一次方程组的解的定义，即使看错其中一个方程的系数，得到的解仍然符合未看错的方程，据此求出未知系数后再求解方程组，是二元一次方程组章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题的关键是理解“看错系数”的含义：甲看错了方程①中的a，说明甲得到的解满足他没看错的方程②，代入即可求出正确的b值；乙看错了方程②中的b，说明乙得到的解满足他没看错的方程①，代入即可求出正确的a值。得到a、b的正确值后，写出原方程组，用消元法求解即可得到正确解。
【解析】
1. 求正确的$b$值：
甲看错了①中的$a$，因此$\begin{cases}x=1 \\ y=-4\end{cases}$满足方程②，代入②得：
$b×1 - (-4) =7$
解得$b=3$。
2. 求正确的$a$值：
乙看错了②中的$b$，因此$\begin{cases}x=-1 \\ y=1\end{cases}$满足方程①，代入①得：
$2×(-1) + a×1 =1$
解得$a=3$。
3. 解正确的方程组：
将$a=3$，$b=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2x + 3y =1 \quad ③ \\ 3x - y =7 \quad ④\end{cases}$
用代入消元法，由④得：$y=3x-7 \quad ⑤$
把⑤代入③：
$2x + 3(3x -7) =1$
$2x +9x -21 =1$
$11x=22$
解得$x=2$
把$x=2$代入⑤，得$y=3×2 -7=-1$
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组解的意义 2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题核心是理解二元一次方程组的解的定义，即使看错其中一个方程的系数，得到的解仍然符合未看错的方程，据此求出未知系数后再求解方程组，是二元一次方程组章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
