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解二元一次方程组的方法：
代入消元法
、加减消元法
。答案
代入消元法、加减消元法
解析
【分析】
本题考查解二元一次方程组的基本方法，解题时首先回忆二元一次方程组的核心解题思路是“消元”，也就是把含有两个未知数的方程组转化为只含一个未知数的一元一次方程求解，围绕消元的两种常见操作方式，就能对应得到两种常用解法。
【解析】
解二元一次方程组的核心思路为消元，将二元转化为一元后求解，常用的两种消元方法如下：
1. 代入消元法：把方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程消去该未知数，得到一元一次方程求解；
2. 加减消元法：当两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把两个方程的两边分别相减或相加，消去这个未知数，得到一元一次方程求解。
因此解二元一次方程组的常用方法为代入消元法、加减消元法。
【答案】
代入消元法、加减消元法
【知识点】
消元思想；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对解二元一次方程组常用方法的识记掌握，牢记这两种方法是后续正确求解二元一次方程组的重要前提。
【难度系数】
0.9
本题考查解二元一次方程组的基本方法，解题时首先回忆二元一次方程组的核心解题思路是“消元”，也就是把含有两个未知数的方程组转化为只含一个未知数的一元一次方程求解，围绕消元的两种常见操作方式，就能对应得到两种常用解法。
【解析】
解二元一次方程组的核心思路为消元，将二元转化为一元后求解，常用的两种消元方法如下：
1. 代入消元法：把方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程消去该未知数，得到一元一次方程求解；
2. 加减消元法：当两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，把两个方程的两边分别相减或相加，消去这个未知数，得到一元一次方程求解。
因此解二元一次方程组的常用方法为代入消元法、加减消元法。
【答案】
代入消元法、加减消元法
【知识点】
消元思想；代入消元法；加减消元法
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对解二元一次方程组常用方法的识记掌握，牢记这两种方法是后续正确求解二元一次方程组的重要前提。
【难度系数】
0.9
1. 若二元一次方程$2x - y = 5$，$4x + 5y = 3$，$y = kx - 9$有公共解，则$k$的取值为（
A.3
B.$-3$
C.$-4$
D.4
D
）。A.3
B.$-3$
C.$-4$
D.4
答案
1.D
解析
【分析】
三个二元一次方程有公共解，说明存在一组x、y的值同时满足这三个方程。解题时首先联立不含参数k的前两个方程，通过消元法求出x和y的取值，这组取值就是三个方程的公共解，再将x、y代入含k的第三个方程，即可求出k的值。
【解析】
先联立前两个方程得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - y = 5 \quad \mathrm{①} \\4x + 5y = 3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式移项得：$y = 2x - 5 \quad \mathrm{③}$
将③代入②式：
$4x + 5(2x - 5) = 3$
展开计算得：$4x + 10x - 25 = 3$
合并同类项得：$14x = 28$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入③式：$y = 2×2 - 5 = -1$
所以三个方程的公共解为$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$
将公共解代入$y = kx - 9$得：
$-1 = 2k - 9$
移项计算得：$2k = 8$，解得$k=4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程公共解，消元法解方程组，代入求参数
【点评】
本题核心是理解公共解的含义，即同时满足所有方程的解，先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程即可求出参数值，重点考察消元法解二元一次方程组的掌握程度。
【难度系数】
0.8
三个二元一次方程有公共解，说明存在一组x、y的值同时满足这三个方程。解题时首先联立不含参数k的前两个方程，通过消元法求出x和y的取值，这组取值就是三个方程的公共解，再将x、y代入含k的第三个方程，即可求出k的值。
【解析】
先联立前两个方程得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - y = 5 \quad \mathrm{①} \\4x + 5y = 3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式移项得：$y = 2x - 5 \quad \mathrm{③}$
将③代入②式：
$4x + 5(2x - 5) = 3$
展开计算得：$4x + 10x - 25 = 3$
合并同类项得：$14x = 28$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入③式：$y = 2×2 - 5 = -1$
所以三个方程的公共解为$\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}$
将公共解代入$y = kx - 9$得：
$-1 = 2k - 9$
移项计算得：$2k = 8$，解得$k=4$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程公共解，消元法解方程组，代入求参数
【点评】
本题核心是理解公共解的含义，即同时满足所有方程的解，先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程即可求出参数值，重点考察消元法解二元一次方程组的掌握程度。
【难度系数】
0.8
2. 用代入消元法解方程组$\begin{cases}y=1-x, \\ x-2y=4\end{cases}$时，代入正确的是（ ）.
A.$x-2-x=4$
B.$x-2-2x=4$
C.$x-2+2x=4$
D.$x-2+x=4$
A.$x-2-x=4$
B.$x-2-2x=4$
C.$x-2+2x=4$
D.$x-2+x=4$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入操作，解题思路为：首先找到已用含x的代数式表示y的方程，将其整体代入第二个方程替换y，代入时注意给y的表达式加括号，去括号时遵循去括号法则，最后对比选项得出结果即可。
【解析】
先给方程组标号：$\begin{cases}y=1-x&①\\x-2y=4&②\end{cases}$
根据代入消元法的要求，将①代入②，把②中的y替换为$1-x$，注意整体代入要加括号，可得：
$x - 2(1 - x) = 4$
再根据去括号法则计算：括号前是$-2$，乘括号内每一项时符号要对应变化，即$-2×1=-2$，$-2×(-x)=+2x$，去括号后式子为：
$x - 2 + 2x = 4$
和选项对比可知C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，去括号运算
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，易错点是代入时忘记给表达式加括号、去括号时符号处理错误，熟练掌握去括号法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入操作，解题思路为：首先找到已用含x的代数式表示y的方程，将其整体代入第二个方程替换y，代入时注意给y的表达式加括号，去括号时遵循去括号法则，最后对比选项得出结果即可。
【解析】
先给方程组标号：$\begin{cases}y=1-x&①\\x-2y=4&②\end{cases}$
根据代入消元法的要求，将①代入②，把②中的y替换为$1-x$，注意整体代入要加括号，可得：
$x - 2(1 - x) = 4$
再根据去括号法则计算：括号前是$-2$，乘括号内每一项时符号要对应变化，即$-2×1=-2$，$-2×(-x)=+2x$，去括号后式子为：
$x - 2 + 2x = 4$
和选项对比可知C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法，去括号运算
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，易错点是代入时忘记给表达式加括号、去括号时符号处理错误，熟练掌握去括号法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知方程组$\begin{cases}3x - y = 5 - 2k, \\x + 3y = k,\end{cases}$那么$x$与$y$的关系是（ ）。
A.$4x + 2y = 5$
B.$2x - 2y = 5$
C.$x + y = 1$
D.$5x + 7y = 5$
A.$4x + 2y = 5$
B.$2x - 2y = 5$
C.$x + y = 1$
D.$5x + 7y = 5$
答案
3.C
解析
【分析】
本题要求得到x与y的关系，核心思路是消去方程组中的参数k。我们可以利用加减消元法，通过对两个方程进行变形，让k的系数互为相反数，相加后即可消去k，再化简得到仅含x、y的等式，对应选项即可。
【解析】
记方程组$\begin{cases}3x - y = 5 - 2k \ \ \ ①\\x + 3y = k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②\end{cases}$
要消去参数k，将②式左右两边同时乘2，得：
$2x + 6y = 2k \ \ \ ③$
将①+③，左边相加为$3x - y + 2x + 6y = 5x + 5y$，右边相加为$5 - 2k + 2k = 5$，可得：
$5x + 5y = 5$
两边同时除以5，化简得：$x + y = 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 加减消元法
2. 代数式化简
【点评】
本题重点考查消元法的应用，核心是消除无关参数得到目标变量的关系，属于消元知识点的基础应用题型，熟练掌握消元技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求得到x与y的关系，核心思路是消去方程组中的参数k。我们可以利用加减消元法，通过对两个方程进行变形，让k的系数互为相反数，相加后即可消去k，再化简得到仅含x、y的等式，对应选项即可。
【解析】
记方程组$\begin{cases}3x - y = 5 - 2k \ \ \ ①\\x + 3y = k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②\end{cases}$
要消去参数k，将②式左右两边同时乘2，得：
$2x + 6y = 2k \ \ \ ③$
将①+③，左边相加为$3x - y + 2x + 6y = 5x + 5y$，右边相加为$5 - 2k + 2k = 5$，可得：
$5x + 5y = 5$
两边同时除以5，化简得：$x + y = 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 加减消元法
2. 代数式化简
【点评】
本题重点考查消元法的应用，核心是消除无关参数得到目标变量的关系，属于消元知识点的基础应用题型，熟练掌握消元技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知方程组$\begin{cases}x+2y=5,\\2x+y=7,\end{cases}$则$x-y$的值是（ ）.
A.2
B.$-2$
C.0
D.$-1$
A.2
B.$-2$
C.0
D.$-1$
答案
4.A
解析
【分析】
拿到本题，我们有两种解题思路：一是常规思路，先运用代入消元法或加减消元法解出二元一次方程组中x、y的具体值，再代入计算x-y即可；二是观察两个方程的系数特征，发现用第二个方程减去第一个方程，左边化简后正好是x-y，右边是两个常数的差，不用单独求x、y就能直接得到结果，计算更简便。
【解析】
方法一：整体计算法
用第二个方程减去第一个方程，可得：
$(2x+y)-(x+2y)=7-5$
去括号得：$2x+y-x-2y=2$
合并同类项得：$x-y=2$
方法二：先解方程组再计算
解方程组$\begin{cases}x+2y=5&①\\2x+y=7&②\end{cases}$
由①得：$x=5-2y$ ③
把③代入②得：$2(5-2y)+y=7$
去括号：$10-4y+y=7$
合并同类项：$10-3y=7$
移项得：$-3y=7-10=-3$
解得：$y=1$
把$y=1$代入③得：$x=5-2×1=3$
所以$x-y=3-1=2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法、代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考查题，既可以用常规方法解方程组后代入计算，也可以观察式子特征用整体思想快速求解，日常解题时可以多留意方程的系数特点，尝试寻找更简便的计算方法。
【难度系数】
0.9
拿到本题，我们有两种解题思路：一是常规思路，先运用代入消元法或加减消元法解出二元一次方程组中x、y的具体值，再代入计算x-y即可；二是观察两个方程的系数特征，发现用第二个方程减去第一个方程，左边化简后正好是x-y，右边是两个常数的差，不用单独求x、y就能直接得到结果，计算更简便。
【解析】
方法一：整体计算法
用第二个方程减去第一个方程，可得：
$(2x+y)-(x+2y)=7-5$
去括号得：$2x+y-x-2y=2$
合并同类项得：$x-y=2$
方法二：先解方程组再计算
解方程组$\begin{cases}x+2y=5&①\\2x+y=7&②\end{cases}$
由①得：$x=5-2y$ ③
把③代入②得：$2(5-2y)+y=7$
去括号：$10-4y+y=7$
合并同类项：$10-3y=7$
移项得：$-3y=7-10=-3$
解得：$y=1$
把$y=1$代入③得：$x=5-2×1=3$
所以$x-y=3-1=2$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法、代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础考查题，既可以用常规方法解方程组后代入计算，也可以观察式子特征用整体思想快速求解，日常解题时可以多留意方程的系数特点，尝试寻找更简便的计算方法。
【难度系数】
0.9
5. 用加减消元法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 3, & ① \\4x + y = 15, & ②\end{cases}$消去$y$，最简捷的方法是（ ）.
A.①×4－②×3
B.①×4＋②×3
C.②×2－①
D.②×2＋①
A.①×4－②×3
B.①×4＋②×3
C.②×2－①
D.②×2＋①
答案
5.D
解析
【分析】
解题的核心是明确加减消元法的消元逻辑：要消去某个未知数，需先让两个方程中这个未知数的系数变为相等或者互为相反数，再通过相加或相减消去该未知数。本题目标是消去$y$，先观察两个方程中$y$的系数：方程①中$y$的系数是$-2$，方程②中$y$的系数是$1$，要最简捷消去$y$，只需将方程②乘2，此时②中$y$的系数变为2，和①中$y$的系数$-2$互为相反数，再将两个方程相加即可直接消去$y$，对应选项判断即可。
【解析】
要消去$y$，先观察两个方程$y$的系数：
方程①中$y$的系数为$-2$，方程②中$y$的系数为$1$。
将方程②两边同乘2，可得$8x+2y=30$，此时该式中$y$的系数为2，和①中$y$的系数$-2$互为相反数。
将变形后的式子和方程①相加，即$\mathrm{②}×2+\mathrm{①}$，此时$y$项直接抵消：$(3x-2y)+(8x+2y)=3+30$，化简得$11x=33$，成功消去$y$，是最简捷的方法。
对应选项，D符合该操作。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，消元时优先观察未知数的系数，选择将系数绝对值较小的未知数转化为相同或互为相反数的方式，能最大程度简化计算。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确加减消元法的消元逻辑：要消去某个未知数，需先让两个方程中这个未知数的系数变为相等或者互为相反数，再通过相加或相减消去该未知数。本题目标是消去$y$，先观察两个方程中$y$的系数：方程①中$y$的系数是$-2$，方程②中$y$的系数是$1$，要最简捷消去$y$，只需将方程②乘2，此时②中$y$的系数变为2，和①中$y$的系数$-2$互为相反数，再将两个方程相加即可直接消去$y$，对应选项判断即可。
【解析】
要消去$y$，先观察两个方程$y$的系数：
方程①中$y$的系数为$-2$，方程②中$y$的系数为$1$。
将方程②两边同乘2，可得$8x+2y=30$，此时该式中$y$的系数为2，和①中$y$的系数$-2$互为相反数。
将变形后的式子和方程①相加，即$\mathrm{②}×2+\mathrm{①}$，此时$y$项直接抵消：$(3x-2y)+(8x+2y)=3+30$，化简得$11x=33$，成功消去$y$，是最简捷的方法。
对应选项，D符合该操作。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，消元时优先观察未知数的系数，选择将系数绝对值较小的未知数转化为相同或互为相反数的方式，能最大程度简化计算。
【难度系数】
0.8
6. 解方程组$\begin{cases}2a + 2b = 3, \quad ① \\3a + b = 4 \quad ②\end{cases}$时，下列消元方法不正确的是（ ）.
A.①×3－②×2，消去a
B.由②×2－①，消去b
C.①＋②×2，消去b
D.由②得$b = 4 - 3a$③，把③代入①中消去b
A.①×3－②×2，消去a
B.由②×2－①，消去b
C.①＋②×2，消去b
D.由②得$b = 4 - 3a$③，把③代入①中消去b
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组的消元方法，解题思路是逐一验证各选项的消元操作是否能消去对应未知数：对于加减消元，需将待消去的未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过加减运算消去该未知数；对于代入消元，需将一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程消元，最终选出消元方法不正确的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：①×3得$6a+6b=9$，②×2得$6a+2b=8$，两式相减得$(6a+6b)-(6a+2b)=9-8$，化简得$4b=1$，成功消去a，方法正确，不符合题意。
B选项：②×2得$6a+2b=8$，减去①得$(6a+2b)-(2a+2b)=8-3$，化简得$4a=5$，成功消去b，方法正确，不符合题意。
C选项：②×2得$6a+2b=8$，加上①得$(2a+2b)+(6a+2b)=3+8$，化简得$8a+4b=11$，没有消去b，方法错误，符合题意。
D选项：将②变形为$b=4-3a$代入①，得$2a+2(4-3a)=3$，成功消去b，属于代入消元法，方法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 加减消元法
2. 代入消元法
【点评】
本题侧重考查消元法的基本操作规则，只要熟练掌握加减消元时系数的匹配要求、代入消元的变形方法，就能轻松判断正误，做题时注意计算系数时不要出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二元一次方程组的消元方法，解题思路是逐一验证各选项的消元操作是否能消去对应未知数：对于加减消元，需将待消去的未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过加减运算消去该未知数；对于代入消元，需将一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程消元，最终选出消元方法不正确的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：①×3得$6a+6b=9$，②×2得$6a+2b=8$，两式相减得$(6a+6b)-(6a+2b)=9-8$，化简得$4b=1$，成功消去a，方法正确，不符合题意。
B选项：②×2得$6a+2b=8$，减去①得$(6a+2b)-(2a+2b)=8-3$，化简得$4a=5$，成功消去b，方法正确，不符合题意。
C选项：②×2得$6a+2b=8$，加上①得$(2a+2b)+(6a+2b)=3+8$，化简得$8a+4b=11$，没有消去b，方法错误，符合题意。
D选项：将②变形为$b=4-3a$代入①，得$2a+2(4-3a)=3$，成功消去b，属于代入消元法，方法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 加减消元法
2. 代入消元法
【点评】
本题侧重考查消元法的基本操作规则，只要熟练掌握加减消元时系数的匹配要求、代入消元的变形方法，就能轻松判断正误，做题时注意计算系数时不要出错。
【难度系数】
0.8
