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12. 用指定的方法解下列方程组：
（1）$\begin{cases} y=2x-3, \\ 3x+2y=8; \end{cases}$（代入消元法）
（2）$\begin{cases} 3x+4y=16, \\ 5x-6y=33. \end{cases}$（加减消元法）
（1）$\begin{cases} y=2x-3, \\ 3x+2y=8; \end{cases}$（代入消元法）
（2）$\begin{cases} 3x+4y=16, \\ 5x-6y=33. \end{cases}$（加减消元法）
答案
12.（1）$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=6, \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=6, \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}$
解析
【分析】
（1）使用代入消元法时，观察到第一个方程已直接给出y关于x的表达式，可直接将该式代入第二个方程，消去y，把二元方程组转化为一元一次方程先求出x的值，再将x的值回代求出y即可。
（2）使用加减消元法时，先观察未知数系数，y的系数分别为4和-6，最小公倍数是12，因此将两个方程分别乘对应系数，使y的系数变为互为相反数，相加后消去y，转化为一元一次方程求出x，再回代求y即可。
【解析】
（1）记方程组为$\begin{cases} y=2x-3&① \\ 3x+2y=8&② \end{cases}$
把①代入②得：
$3x+2(2x-3)=8$
去括号得：$3x+4x-6=8$
移项、合并同类项得：$7x=14$
解得：$x=2$
将$x=2$代入①得：$y=2×2-3=1$
（2）记方程组为$\begin{cases} 3x+4y=16&① \\ 5x-6y=33&② \end{cases}$
①$×3$得：$9x+12y=48$ ③
②$×2$得：$10x-12y=66$ ④
③+④得：$19x=114$
解得：$x=6$
将$x=6$代入①得：$3×6+4y=16$
整理得：$4y=-2$
解得：$y=-\frac{1}{2}$
【答案】
（1）$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=6, \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组求解
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础消元解法，核心思路是通过消元将二元方程转化为一元一次方程求解，计算时要注意系数运算和符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）使用代入消元法时，观察到第一个方程已直接给出y关于x的表达式，可直接将该式代入第二个方程，消去y，把二元方程组转化为一元一次方程先求出x的值，再将x的值回代求出y即可。
（2）使用加减消元法时，先观察未知数系数，y的系数分别为4和-6，最小公倍数是12，因此将两个方程分别乘对应系数，使y的系数变为互为相反数，相加后消去y，转化为一元一次方程求出x，再回代求y即可。
【解析】
（1）记方程组为$\begin{cases} y=2x-3&① \\ 3x+2y=8&② \end{cases}$
把①代入②得：
$3x+2(2x-3)=8$
去括号得：$3x+4x-6=8$
移项、合并同类项得：$7x=14$
解得：$x=2$
将$x=2$代入①得：$y=2×2-3=1$
（2）记方程组为$\begin{cases} 3x+4y=16&① \\ 5x-6y=33&② \end{cases}$
①$×3$得：$9x+12y=48$ ③
②$×2$得：$10x-12y=66$ ④
③+④得：$19x=114$
解得：$x=6$
将$x=6$代入①得：$3×6+4y=16$
整理得：$4y=-2$
解得：$y=-\frac{1}{2}$
【答案】
（1）$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=6, \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组求解
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础消元解法，核心思路是通过消元将二元方程转化为一元一次方程求解，计算时要注意系数运算和符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
13. 对于两个正数$a(a≠1)$，$b$，定义一种新的运算，记作$(a,b)$，即：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。例如：$3^4=81$，则$(3,81)=4$。
（1）根据上述运算填空：$(2,4)=$
（2）先观察$(2,4)$，$(2,8)$与$(2,32)$的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：$(a,m)+(a,n)=$
（3）如图
，四边形$ABED$，$CGHD$是长方形纸条，$AD=CD=m$，$CG=n$，按图所示叠放在一起，将重叠部分的长方形$HFED$沿着$DE$翻折得到长方形$DEMN$，若$(a,m)=(b,n)=2$，长方形$ABMN$的面积是15，$AN=5$，求$(a-b)^2$的值。
（1）根据上述运算填空：$(2,4)=$
2
；$(2,8)=$3
；$(2,32)=$5
。（2）先观察$(2,4)$，$(2,8)$与$(2,32)$的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：$(a,m)+(a,n)=$
(a, mn)
。（3）如图
，四边形$ABED$，$CGHD$是长方形纸条，$AD=CD=m$，$CG=n$，按图所示叠放在一起，将重叠部分的长方形$HFED$沿着$DE$翻折得到长方形$DEMN$，若$(a,m)=(b,n)=2$，长方形$ABMN$的面积是15，$AN=5$，求$(a-b)^2$的值。答案
13.（1）2 3 5
（2）$\because (2,4)=2,\ (2,8)=3,\ (2,32)=5,\ 2+3=5,\ 4×8=32,\ \therefore (2,4)+(2,8)=(2,32)=(2,4×8),\ \therefore (a,m)+(a,n)=(a,mn)$，故答案为$(a,mn)$
（3）$\because (a,m)=(b,n)=2,\ \therefore a^2=m,\ b^2=n$。由题图可得长方形$ABMN$的面积是$(m+n)(m-n)=15,\ AN=m+n=5,\ \therefore \begin{cases} m-n=3, \\ m+n=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=1, \end{cases} \therefore a^2=4,\ b^2=1,\ \therefore a=\pm2,\ b=\pm1$。$\because a,b$为正数，$\therefore a=2,\ b=1,\ \therefore (a-b)^2=(2-1)^2=1$
（2）$\because (2,4)=2,\ (2,8)=3,\ (2,32)=5,\ 2+3=5,\ 4×8=32,\ \therefore (2,4)+(2,8)=(2,32)=(2,4×8),\ \therefore (a,m)+(a,n)=(a,mn)$，故答案为$(a,mn)$
（3）$\because (a,m)=(b,n)=2,\ \therefore a^2=m,\ b^2=n$。由题图可得长方形$ABMN$的面积是$(m+n)(m-n)=15,\ AN=m+n=5,\ \therefore \begin{cases} m-n=3, \\ m+n=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=1, \end{cases} \therefore a^2=4,\ b^2=1,\ \therefore a=\pm2,\ b=\pm1$。$\because a,b$为正数，$\therefore a=2,\ b=1,\ \therefore (a-b)^2=(2-1)^2=1$
解析
【分析】
（1）根据新运算的定义：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，只需计算2的多少次方分别等于4、8、32，即可得到对应结果。
（2）观察（1）的结果可知，$(2,4)+(2,8)$的和等于$(2,32)$，而$4×8=32$，据此可归纳出同底数的新运算相加的规律。
（3）首先根据新运算定义得出$a^2=m$、$b^2=n$；再结合图形分析长方形$ABMN$的长为$AN=m+n$，宽为$m-n$，根据面积和$AN$的长度列二元一次方程组，求解得到$m$、$n$的值，进而求出正数$a$、$b$的值，最后代入计算$(a-b)^2$即可。
【解析】
（1）$\because 2^2=4$，$\therefore (2,4)=2$；
$\because 2^3=8$，$\therefore (2,8)=3$；
$\because 2^5=32$，$\therefore (2,32)=5$。
（2）观察可得：$(2,4)+(2,8)=2+3=5=(2,32)$，且$4×8=32$，即$(2,4)+(2,8)=(2,4×8)$，因此归纳得：$(a,m)+(a,n)=(a,mn)$。
（3）$\because (a,m)=2$，$(b,n)=2$，根据新运算定义得：$a^2=m$，$b^2=n$。
由图可知，长方形$ABMN$的长$AN=m+n=5$，面积为$(m+n)(m-n)=15$，
将$m+n=5$代入面积公式得：$5×(m-n)=15$，解得$m-n=3$。
联立得方程组：$\begin{cases}m+n=5\\m-n=3\end{cases}$
两式相加得$2m=8$，解得$m=4$，代入$m+n=5$得$n=1$。
$\therefore a^2=4$，$b^2=1$，又$\because a$、$b$均为正数，$\therefore a=2$，$b=1$。
$\therefore (a-b)^2=(2-1)^2=1$。
【答案】
（1）2；3；5
（2）$(a,mn)$
（3）1
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的应用，乘方的意义
【点评】
本题将新定义运算、几何图形面积计算与二元一次方程组的应用相结合，既考查对新规则的理解迁移能力，也考查读图分析图形边长关系的能力，计算难度不大，需要注意题目中$a$、$b$为正数的条件，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
（1）根据新运算的定义：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，只需计算2的多少次方分别等于4、8、32，即可得到对应结果。
（2）观察（1）的结果可知，$(2,4)+(2,8)$的和等于$(2,32)$，而$4×8=32$，据此可归纳出同底数的新运算相加的规律。
（3）首先根据新运算定义得出$a^2=m$、$b^2=n$；再结合图形分析长方形$ABMN$的长为$AN=m+n$，宽为$m-n$，根据面积和$AN$的长度列二元一次方程组，求解得到$m$、$n$的值，进而求出正数$a$、$b$的值，最后代入计算$(a-b)^2$即可。
【解析】
（1）$\because 2^2=4$，$\therefore (2,4)=2$；
$\because 2^3=8$，$\therefore (2,8)=3$；
$\because 2^5=32$，$\therefore (2,32)=5$。
（2）观察可得：$(2,4)+(2,8)=2+3=5=(2,32)$，且$4×8=32$，即$(2,4)+(2,8)=(2,4×8)$，因此归纳得：$(a,m)+(a,n)=(a,mn)$。
（3）$\because (a,m)=2$，$(b,n)=2$，根据新运算定义得：$a^2=m$，$b^2=n$。
由图可知，长方形$ABMN$的长$AN=m+n=5$，面积为$(m+n)(m-n)=15$，
将$m+n=5$代入面积公式得：$5×(m-n)=15$，解得$m-n=3$。
联立得方程组：$\begin{cases}m+n=5\\m-n=3\end{cases}$
两式相加得$2m=8$，解得$m=4$，代入$m+n=5$得$n=1$。
$\therefore a^2=4$，$b^2=1$，又$\because a$、$b$均为正数，$\therefore a=2$，$b=1$。
$\therefore (a-b)^2=(2-1)^2=1$。
【答案】
（1）2；3；5
（2）$(a,mn)$
（3）1
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的应用，乘方的意义
【点评】
本题将新定义运算、几何图形面积计算与二元一次方程组的应用相结合，既考查对新规则的理解迁移能力，也考查读图分析图形边长关系的能力，计算难度不大，需要注意题目中$a$、$b$为正数的条件，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
