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1.若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为 （
A.5
B.7
C.25
D.$\sqrt{7}$
A
）A.5
B.7
C.25
D.$\sqrt{7}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题是直角三角形求边长的基础题，解题时首先回忆直角三角形的边长关系相关知识，已知两条直角边求斜边，优先考虑勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题步骤为：先确定两条直角边的长度，代入勾股定理公式计算出斜边的平方，再对结果开算术平方根（因为边长为正数，所以取正根），即可得到斜边长。
【解析】
解：已知该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为3和4，设斜边长为$c$。
根据勾股定理可得：$c^2 = 3^2 + 4^2$
计算得：$c^2 = 9 + 16 = 25$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{25} = 5$
因此斜边长为5，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查勾股定理的简单应用，只要熟练掌握勾股定理的内容，就能快速计算得出结果，是勾股定理模块的常规考查题。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形求边长的基础题，解题时首先回忆直角三角形的边长关系相关知识，已知两条直角边求斜边，优先考虑勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题步骤为：先确定两条直角边的长度，代入勾股定理公式计算出斜边的平方，再对结果开算术平方根（因为边长为正数，所以取正根），即可得到斜边长。
【解析】
解：已知该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为3和4，设斜边长为$c$。
根据勾股定理可得：$c^2 = 3^2 + 4^2$
计算得：$c^2 = 9 + 16 = 25$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{25} = 5$
因此斜边长为5，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查勾股定理的简单应用，只要熟练掌握勾股定理的内容，就能快速计算得出结果，是勾股定理模块的常规考查题。
【难度系数】
0.9
2. 下列各组数中是勾股数的是 （
A.2,3,4
B.5,12,13
C.4,5,6
D.7,8,9
B
）A.2,3,4
B.5,12,13
C.4,5,6
D.7,8,9
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方（即勾股定理）。解题时可先逐个定位每个选项中的最大数，再分别计算另外两个数的平方和与最大数的平方，对比二者是否相等，同时确认三个数都是正整数，即可得出结果。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数称为勾股数，其中$c$为三个数中的最大数。我们对每个选项逐一验证：
A选项：最大数为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理，不是勾股数；
B选项：最大数为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，$169=169$，且三个数都是正整数，满足勾股数的条件，是勾股数；
C选项：最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，不是勾股数；
D选项：最大数为9，计算得$7^2+8^2=49+64=113$，$9^2=81$，$113≠81$，不满足勾股定理，不是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢记勾股数的两个判定条件，日常可以积累常见的勾股数，提高这类题的解题速度。
【难度系数】
0.9
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方（即勾股定理）。解题时可先逐个定位每个选项中的最大数，再分别计算另外两个数的平方和与最大数的平方，对比二者是否相等，同时确认三个数都是正整数，即可得出结果。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数称为勾股数，其中$c$为三个数中的最大数。我们对每个选项逐一验证：
A选项：最大数为4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不满足勾股定理，不是勾股数；
B选项：最大数为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，$169=169$，且三个数都是正整数，满足勾股数的条件，是勾股数；
C选项：最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，不是勾股数；
D选项：最大数为9，计算得$7^2+8^2=49+64=113$，$9^2=81$，$113≠81$，不满足勾股定理，不是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢记勾股数的两个判定条件，日常可以积累常见的勾股数，提高这类题的解题速度。
【难度系数】
0.9
3.一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（
A.4
B.8
C.$2\sqrt{34}$
D.16
B
）A.4
B.8
C.$2\sqrt{34}$
D.16
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。题目已知直角三角形的斜边长度和一条直角边长度，求另一条直角边，我们可以对勾股定理的公式做变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开算术平方根，就能得到未知直角边的长度。
【解析】
设该直角三角形的斜边为$c$，已知的直角边为$a$，待求的直角边为$b$。
根据题意得：$c=10$，$a=6$。
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得$b = \sqrt{c^2 - a^2}$（边长为正数，故取算术平方根）。
代入数值计算：
$b=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$
因此另一条直角边长为8，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，是勾股定理的直接应用，只要熟练掌握勾股定理的公式，明确直角三角形各边的关系，代入数值正确计算即可求解，注意计算开平方时不要出错。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。题目已知直角三角形的斜边长度和一条直角边长度，求另一条直角边，我们可以对勾股定理的公式做变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开算术平方根，就能得到未知直角边的长度。
【解析】
设该直角三角形的斜边为$c$，已知的直角边为$a$，待求的直角边为$b$。
根据题意得：$c=10$，$a=6$。
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得$b = \sqrt{c^2 - a^2}$（边长为正数，故取算术平方根）。
代入数值计算：
$b=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$
因此另一条直角边长为8，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，是勾股定理的直接应用，只要熟练掌握勾股定理的公式，明确直角三角形各边的关系，代入数值正确计算即可求解，注意计算开平方时不要出错。
【难度系数】
0.9
4.若一个等腰直角三角形的直角边长为2，则斜边长为 （
A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
C
）A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题需要结合等腰直角三角形的特征和勾股定理求解斜边长。首先明确等腰直角三角形的两条直角边长度相等，题干给出直角边长为2，因此两条直角边均为2；再回忆勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，将已知边长代入公式计算即可得到斜边长。
【解析】
已知该三角形为等腰直角三角形，直角边长为2，因此两条直角边长度均为2。
设斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2 = 2^2 + 2^2$
计算得$c^2 = 4 + 4 = 8$
因为边长为正数，因此$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
所以斜边长为$2\sqrt{2}$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理在特殊直角三角形中的应用，掌握勾股定理的基本公式，结合特殊三角形的边长特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题需要结合等腰直角三角形的特征和勾股定理求解斜边长。首先明确等腰直角三角形的两条直角边长度相等，题干给出直角边长为2，因此两条直角边均为2；再回忆勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，将已知边长代入公式计算即可得到斜边长。
【解析】
已知该三角形为等腰直角三角形，直角边长为2，因此两条直角边长度均为2。
设斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2 = 2^2 + 2^2$
计算得$c^2 = 4 + 4 = 8$
因为边长为正数，因此$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
所以斜边长为$2\sqrt{2}$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查勾股定理在特殊直角三角形中的应用，掌握勾股定理的基本公式，结合特殊三角形的边长特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.如图,一棵大树被台风刮断,若树在离地面3 m处折断,树顶端落在离树底部4 m处,则树折断之前高 (
A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
C
)A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
答案
5.C
解析
【分析】
解决本题首先要将实际场景转化为数学模型：树未折断的部分、地面、折断的部分恰好构成直角三角形，其中未折断的3m和树顶端到树根的4m是直角三角形的两条直角边，折断部分是直角三角形的斜边。我们先用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的3m，就能得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，折断后形成的直角三角形两条直角边长分别为3m、4m。
根据勾股定理，斜边长（即折断部分长度）为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5(m)$
则树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：
$3+5=8(m)$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题，解题关键是正确把实际问题抽象为直角三角形模型，再利用勾股定理计算未知边长，整体解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要将实际场景转化为数学模型：树未折断的部分、地面、折断的部分恰好构成直角三角形，其中未折断的3m和树顶端到树根的4m是直角三角形的两条直角边，折断部分是直角三角形的斜边。我们先用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的3m，就能得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，折断后形成的直角三角形两条直角边长分别为3m、4m。
根据勾股定理，斜边长（即折断部分长度）为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5(m)$
则树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：
$3+5=8(m)$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题，解题关键是正确把实际问题抽象为直角三角形模型，再利用勾股定理计算未知边长，整体解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
6.若一个直角三角形的三边长为3,4,x,则x的值为 （
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.5或$\sqrt{7}$
D.无法确定
C
）A.5
B.$\sqrt{7}$
C.5或$\sqrt{7}$
D.无法确定
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题时需注意题干未明确x是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论计算：①x为斜边；②长度为4的边为斜边，分别根据勾股定理列方程求解即可，同时注意边长为正数，需舍去负根。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当x为斜边长时，3和4为两条直角边长，根据勾股定理可得：
$x^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因为边长为正数，所以$x = 5$；
② 当长度为4的边为斜边长时，3和x为两条直角边长，根据勾股定理可得：
$3^2 + x^2 = 4^2$
即$x^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{7}$。
综上，x的值为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认x为斜边仅算出x=5，导致漏解。做直角三角形边长未明确斜边的题目时，要先判断已知较长边是否为斜边，分情况计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查勾股定理的应用，解题时需注意题干未明确x是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论计算：①x为斜边；②长度为4的边为斜边，分别根据勾股定理列方程求解即可，同时注意边长为正数，需舍去负根。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当x为斜边长时，3和4为两条直角边长，根据勾股定理可得：
$x^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
因为边长为正数，所以$x = 5$；
② 当长度为4的边为斜边长时，3和x为两条直角边长，根据勾股定理可得：
$3^2 + x^2 = 4^2$
即$x^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{7}$。
综上，x的值为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认x为斜边仅算出x=5，导致漏解。做直角三角形边长未明确斜边的题目时，要先判断已知较长边是否为斜边，分情况计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7.勾股定理的内容:直角三角形两
直角边
的平方和等于斜边
的平方。答案
7.直角边 斜边
解析
【分析】
本题考查勾股定理的基础识记，解题思路为回忆教材中勾股定理的标准表述：勾股定理描述的是直角三角形的三边平方关系，其中两条夹直角的边称为直角边，直角所对的最长边称为斜边，定理明确为两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应题干空缺直接填入对应名称即可。
【解析】
根据勾股定理的标准内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此第一个空填直角边，第二个空填斜边。
【答案】
直角边；斜边
【知识点】
勾股定理的内容
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对核心定理基础内容的记忆掌握程度，只要平时重视课本基础定义的识记，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的基础识记，解题思路为回忆教材中勾股定理的标准表述：勾股定理描述的是直角三角形的三边平方关系，其中两条夹直角的边称为直角边，直角所对的最长边称为斜边，定理明确为两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应题干空缺直接填入对应名称即可。
【解析】
根据勾股定理的标准内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此第一个空填直角边，第二个空填斜边。
【答案】
直角边；斜边
【知识点】
勾股定理的内容
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对核心定理基础内容的记忆掌握程度，只要平时重视课本基础定义的识记，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,a=5,b=12$,则$c=$
13
.答案
8.13
解析
【分析】
题目给出直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABC$，且$∠ C=90°$，可知$c$是直角对应的斜边，$a$、$b$为两条直角边，已知两条直角边长度求斜边，可直接运用勾股定理解题。首先回忆勾股定理内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入数值计算后，结合边长为正数的条件，取正的平方根即可得到$c$的值。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $c$为斜边，根据勾股定理可得：
$c^2 = a^2 + b^2$
将$a=5$，$b=12$代入上式：
$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
∵ 三角形边长为正数，即$c＞0$，
∴ $c = \sqrt{169} = 13$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础考查题，重点考察勾股定理的直接应用，解题时需先确认斜边是直角所对的边，避免混淆直角边和斜边代入公式，计算平方和时注意运算准确即可。
【难度系数】
0.9
题目给出直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABC$，且$∠ C=90°$，可知$c$是直角对应的斜边，$a$、$b$为两条直角边，已知两条直角边长度求斜边，可直接运用勾股定理解题。首先回忆勾股定理内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入数值计算后，结合边长为正数的条件，取正的平方根即可得到$c$的值。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $c$为斜边，根据勾股定理可得：
$c^2 = a^2 + b^2$
将$a=5$，$b=12$代入上式：
$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
∵ 三角形边长为正数，即$c＞0$，
∴ $c = \sqrt{169} = 13$
【答案】
13
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是基础考查题，重点考察勾股定理的直接应用，解题时需先确认斜边是直角所对的边，避免混淆直角边和斜边代入公式，计算平方和时注意运算准确即可。
【难度系数】
0.9
9. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$c=3$，$a=4$，则$b=$
5
。答案
9.5
解析
【分析】
本题考查直角三角形勾股定理的基础应用，解题思路如下：第一步先根据直角的位置确定斜边，直角三角形中直角所对的边为斜边，本题中∠B=90°，因此边b是斜边，a、c为两条直角边；第二步根据勾股定理的内容，代入已知边长计算即可，注意边长为正数，最终结果仅取算术平方根。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，因此$∠ B$对应的边$b$为斜边。
根据勾股定理可得：$b^2=a^2+c^2$
将$a=4$，$c=3$代入上式：
$b^2=4^2+3^2=16+9=25$
因为三角形边长为正数，所以$b=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、直角三角形斜边判定
【点评】
本题是勾股定理的基础题型，解题的关键是先根据直角的位置准确区分斜边和直角边，不要混淆边的对应关系，避免代入公式时出错。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形勾股定理的基础应用，解题思路如下：第一步先根据直角的位置确定斜边，直角三角形中直角所对的边为斜边，本题中∠B=90°，因此边b是斜边，a、c为两条直角边；第二步根据勾股定理的内容，代入已知边长计算即可，注意边长为正数，最终结果仅取算术平方根。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，因此$∠ B$对应的边$b$为斜边。
根据勾股定理可得：$b^2=a^2+c^2$
将$a=4$，$c=3$代入上式：
$b^2=4^2+3^2=16+9=25$
因为三角形边长为正数，所以$b=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理、直角三角形斜边判定
【点评】
本题是勾股定理的基础题型，解题的关键是先根据直角的位置准确区分斜边和直角边，不要混淆边的对应关系，避免代入公式时出错。
【难度系数】
0.9
