登录
26. 两数的立方差公式是 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$，这个公式的推导过程如下：
$a^3 - b^3$
$= a^3 - a^2b + a^2b - b^3$
$= a^2(a - b) + b(a^2 - b^2)$
$= a^2(a - b) + b(a + b)(a - b)$
$= (a - b)[a^2 + b(a + b)]$
$= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$。
(1) 请参考立方差公式的推导过程推导立方和公式：$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$（从左往右推导）。
(2) 已知 $x - 2y = \sqrt{3}$，$xy = 9$，求 $x^3 - 8y^3$ 的值。
$a^3 - b^3$
$= a^3 - a^2b + a^2b - b^3$
$= a^2(a - b) + b(a^2 - b^2)$
$= a^2(a - b) + b(a + b)(a - b)$
$= (a - b)[a^2 + b(a + b)]$
$= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$。
(1) 请参考立方差公式的推导过程推导立方和公式：$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$（从左往右推导）。
(2) 已知 $x - 2y = \sqrt{3}$，$xy = 9$，求 $x^3 - 8y^3$ 的值。
答案
26.解:(1)$a^3+b^3$
$=a^3+a^2b-a^2b+b^3$
$=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)$
$=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)$
$=(a+b)(a^2-ab+b^2).$
(2)$x^3-8y^3$
$=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x-2y)(x^2-4xy+4y^2+6xy)$
$=(x-2y)[(x-2y)^2+6xy].$
$\because x-2y=\sqrt{3},xy=9,$
$\therefore$原式$=\sqrt{3}×[(\sqrt{3})^2+6×9]=57\sqrt{3}.$
$=a^3+a^2b-a^2b+b^3$
$=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)$
$=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)$
$=(a+b)(a^2-ab+b^2).$
(2)$x^3-8y^3$
$=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x-2y)(x^2-4xy+4y^2+6xy)$
$=(x-2y)[(x-2y)^2+6xy].$
$\because x-2y=\sqrt{3},xy=9,$
$\therefore$原式$=\sqrt{3}×[(\sqrt{3})^2+6×9]=57\sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 推导立方和公式可参考立方差的推导思路，采用添项拆项法，给$a^3+b^3$添加$+a^2b$和$-a^2b$两项保证式子值不变，再分组提取公因式，逐步整理得到右侧的因式乘积形式。
(2) 先将所求式子$x^3-8y^3$变形为$x^3-(2y)^3$，符合立方差公式结构，先用立方差公式分解，再将分解后的二次式通过配方法转化为含有已知条件$x-2y$和$xy$的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
(1) 立方和公式推导过程：
$\begin{aligned}a^3 + b^3 &= a^3 + a^2b - a^2b + b^3 \\&= a^2(a + b) - b(a^2 - b^2) \\&= a^2(a + b) - b(a + b)(a - b) \\&= (a + b)[a^2 - b(a - b)] \\&= (a + b)(a^2 - ab + b^2)\end{aligned}$
(2) 计算$x^3-8y^3$的值：
先将式子转化为立方差形式，再变形代入已知条件：
$\begin{aligned}x^3 - 8y^3 &= x^3 - (2y)^3 \\&= (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \\&= (x - 2y)(x^2 - 4xy + 4y^2 + 6xy) \\&= (x - 2y)[(x - 2y)^2 + 6xy]\end{aligned}$
把$x-2y=\sqrt{3}$，$xy=9$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{3} × [(\sqrt{3})^2 + 6 × 9] \\&=\sqrt{3} × (3 + 54) \\&=57\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) 推导如上，$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$成立；
(2) $57\sqrt{3}$
【知识点】
1. 立方和差公式
2. 因式分解
3. 代数式求值
【点评】
本题第一问考查类比推理能力，需模仿给出的立方差推导方法，通过添项拆项、分组分解完成公式推导，第二问考查公式的灵活运用，需要结合完全平方公式对式子变形，再整体代入已知条件计算，对因式分解和公式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 推导立方和公式可参考立方差的推导思路，采用添项拆项法，给$a^3+b^3$添加$+a^2b$和$-a^2b$两项保证式子值不变，再分组提取公因式，逐步整理得到右侧的因式乘积形式。
(2) 先将所求式子$x^3-8y^3$变形为$x^3-(2y)^3$，符合立方差公式结构，先用立方差公式分解，再将分解后的二次式通过配方法转化为含有已知条件$x-2y$和$xy$的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
(1) 立方和公式推导过程：
$\begin{aligned}a^3 + b^3 &= a^3 + a^2b - a^2b + b^3 \\&= a^2(a + b) - b(a^2 - b^2) \\&= a^2(a + b) - b(a + b)(a - b) \\&= (a + b)[a^2 - b(a - b)] \\&= (a + b)(a^2 - ab + b^2)\end{aligned}$
(2) 计算$x^3-8y^3$的值：
先将式子转化为立方差形式，再变形代入已知条件：
$\begin{aligned}x^3 - 8y^3 &= x^3 - (2y)^3 \\&= (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \\&= (x - 2y)(x^2 - 4xy + 4y^2 + 6xy) \\&= (x - 2y)[(x - 2y)^2 + 6xy]\end{aligned}$
把$x-2y=\sqrt{3}$，$xy=9$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{3} × [(\sqrt{3})^2 + 6 × 9] \\&=\sqrt{3} × (3 + 54) \\&=57\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) 推导如上，$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$成立；
(2) $57\sqrt{3}$
【知识点】
1. 立方和差公式
2. 因式分解
3. 代数式求值
【点评】
本题第一问考查类比推理能力，需模仿给出的立方差推导方法，通过添项拆项、分组分解完成公式推导，第二问考查公式的灵活运用，需要结合完全平方公式对式子变形，再整体代入已知条件计算，对因式分解和公式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
