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24.长方体容器中装有一定量的水，相关数据(单位:cm)如图所示；另有一些大玻璃球和小玻璃球，每个大玻璃球的体积是小玻璃球的1.5倍.
(1)求长方体容器的底面面积；
(2)嘉嘉通过实验发现，若单独加入小玻璃球若干个或单独加入大玻璃球若干个都会使水面上升2 cm(水没过全部玻璃球)，且加入的小玻璃球比大玻璃球多两个，求小玻璃球的体积.
(1)求长方体容器的底面面积；
(2)嘉嘉通过实验发现，若单独加入小玻璃球若干个或单独加入大玻璃球若干个都会使水面上升2 cm(水没过全部玻璃球)，且加入的小玻璃球比大玻璃球多两个，求小玻璃球的体积.
答案
24.解:(1)$2\sqrt{6}×\sqrt{6}=12(\mathrm{cm}^2).$
(2)设小玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$,则大玻璃球的体积为$1.5x\ \mathrm{cm}^3$,设加入的小玻璃球$a$个,则加入的大玻璃球$(a-2)$个,
由题意得,$ax=1.5x(a-2),$
解得$a=6,$
$\therefore6x=12×2$,解得$x=4.$
$\therefore$小玻璃球的体积为$4\ \mathrm{cm}^3.$
(2)设小玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$,则大玻璃球的体积为$1.5x\ \mathrm{cm}^3$,设加入的小玻璃球$a$个,则加入的大玻璃球$(a-2)$个,
由题意得,$ax=1.5x(a-2),$
解得$a=6,$
$\therefore6x=12×2$,解得$x=4.$
$\therefore$小玻璃球的体积为$4\ \mathrm{cm}^3.$
解析
【分析】
(1) 求长方体容器的底面积，直接用长方形面积公式“面积=长×宽”，代入给出的长和宽，结合二次根式乘法法则计算即可。
(2) 解题核心是排水法原理：放入玻璃球的总体积等于水面上升部分水的体积，单独放小球和大球时水面上升高度相同，因此两类球的总体积相等。先设小玻璃球体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，则大玻璃球体积为$1.5x\ \mathrm{cm}^3$；再设加入小玻璃球$a$个，则大玻璃球为$(a-2)$个，根据总体积相等列方程先求出小玻璃球的个数，再结合上升部分水的体积即可求出小玻璃球的体积。
【解析】
(1) 长方体底面为长方形，长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，因此底面积为：
$2\sqrt{6} × \sqrt{6} = 2 × (\sqrt{6} × \sqrt{6}) = 2 × 6 = 12(\mathrm{cm}^2)$
(2) 设小玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，则每个大玻璃球的体积为$1.5x\ \mathrm{cm}^3$；设加入的小玻璃球有$a$个，则加入的大玻璃球有$(a-2)$个。
两类玻璃球总体积相等，列方程得：
$ax = 1.5x(a-2)$
$x≠0$，方程两边同时除以$x$得：
$a = 1.5(a-2)$
解得$a=6$。
玻璃球总体积等于上升部分水的体积，即$12 × 2 = 24\ \mathrm{cm}^3$，因此：
$6x = 24$
解得$x=4$。
【答案】
(1) $\boxed{12\ \mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{4\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
二次根式运算，一元一次方程应用，排水法求体积
【点评】
本题属于基础的几何代数综合应用题，核心是理解水面上升的体积等于放入物体的总体积这一等量关系，考查了二次根式基础运算和列方程解应用题的能力，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
(1) 求长方体容器的底面积，直接用长方形面积公式“面积=长×宽”，代入给出的长和宽，结合二次根式乘法法则计算即可。
(2) 解题核心是排水法原理：放入玻璃球的总体积等于水面上升部分水的体积，单独放小球和大球时水面上升高度相同，因此两类球的总体积相等。先设小玻璃球体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，则大玻璃球体积为$1.5x\ \mathrm{cm}^3$；再设加入小玻璃球$a$个，则大玻璃球为$(a-2)$个，根据总体积相等列方程先求出小玻璃球的个数，再结合上升部分水的体积即可求出小玻璃球的体积。
【解析】
(1) 长方体底面为长方形，长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，因此底面积为：
$2\sqrt{6} × \sqrt{6} = 2 × (\sqrt{6} × \sqrt{6}) = 2 × 6 = 12(\mathrm{cm}^2)$
(2) 设小玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，则每个大玻璃球的体积为$1.5x\ \mathrm{cm}^3$；设加入的小玻璃球有$a$个，则加入的大玻璃球有$(a-2)$个。
两类玻璃球总体积相等，列方程得：
$ax = 1.5x(a-2)$
$x≠0$，方程两边同时除以$x$得：
$a = 1.5(a-2)$
解得$a=6$。
玻璃球总体积等于上升部分水的体积，即$12 × 2 = 24\ \mathrm{cm}^3$，因此：
$6x = 24$
解得$x=4$。
【答案】
(1) $\boxed{12\ \mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{4\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
二次根式运算，一元一次方程应用，排水法求体积
【点评】
本题属于基础的几何代数综合应用题，核心是理解水面上升的体积等于放入物体的总体积这一等量关系，考查了二次根式基础运算和列方程解应用题的能力，侧重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
25. (1)用“=”“＞”或“＜”填空：
$4+3\_\_\_\_\_\_2\sqrt{4×3}$，$1+\dfrac{1}{6}\_\_\_\_\_\_2\sqrt{1×\dfrac{1}{6}}$。
(2)由(1)中各式猜想$m+n$与$2\sqrt{mn}$($m≥0,n≥0$)的大小，并说明理由。
(3)请利用上述结论解决下面问题:某园林设计师要将园林的一个区域用篱笆围成长方形的花圃,如图所示,花圃恰好可以借用一段墙体,为了围成面积为$200\ \mathrm{m}^2$的花圃,所用的篱笆至少为多少米？
$4+3\_\_\_\_\_\_2\sqrt{4×3}$，$1+\dfrac{1}{6}\_\_\_\_\_\_2\sqrt{1×\dfrac{1}{6}}$。
(2)由(1)中各式猜想$m+n$与$2\sqrt{mn}$($m≥0,n≥0$)的大小，并说明理由。
(3)请利用上述结论解决下面问题:某园林设计师要将园林的一个区域用篱笆围成长方形的花圃,如图所示,花圃恰好可以借用一段墙体,为了围成面积为$200\ \mathrm{m}^2$的花圃,所用的篱笆至少为多少米？
答案
25.解:(1)$＞$
(2)当$m≥0,n≥0$时,
$\because(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0,$
$\therefore(\sqrt{m})^2-2\sqrt{m}·\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2≥0,$
$\therefore m-2\sqrt{mn}+n≥0,$
$\therefore m+n≥2\sqrt{mn}.$
(3)设花圃的长为$a\ \mathrm{m}$,宽为$b\ \mathrm{m}$,则$a＞0,b＞0,S=ab=200,$
根据(2)的结论可得:
$a+2b≥2\sqrt{a·2b}=2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2×200}=2×20=40,$
$\therefore$篱笆至少需要$40\ \mathrm{m}.$
(2)当$m≥0,n≥0$时,
$\because(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0,$
$\therefore(\sqrt{m})^2-2\sqrt{m}·\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2≥0,$
$\therefore m-2\sqrt{mn}+n≥0,$
$\therefore m+n≥2\sqrt{mn}.$
(3)设花圃的长为$a\ \mathrm{m}$,宽为$b\ \mathrm{m}$,则$a＞0,b＞0,S=ab=200,$
根据(2)的结论可得:
$a+2b≥2\sqrt{a·2b}=2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2×200}=2×20=40,$
$\therefore$篱笆至少需要$40\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
(1) 分别计算横线左右两边的数值，直接比较大小即可；
(2) 利用完全平方数的非负性推导：任何实数的平方都大于等于0，将$(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2$展开后整理即可得到$m+n$和$2\sqrt{mn}$的大小关系；
(3) 首先结合图形明确篱笆总长的表达式：设平行于墙体的边长为$a\ \mathrm{m}$，垂直于墙体的边长为$b\ \mathrm{m}$，则篱笆总长为$a+2b$，已知面积$ab=200$，直接套用(2)中得到的不等式即可求出篱笆的最小值。
【解析】
(1) 计算第一组：左边$4+3=7$，右边$2\sqrt{4×3}=2\sqrt{12}\approx6.928$，故$4+3＞2\sqrt{4×3}$；
计算第二组：左边$1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\approx1.167$，右边$2\sqrt{1×\frac{1}{6}}\approx0.816$，故$1+\frac{1}{6}＞2\sqrt{1×\frac{1}{6}}$。
(2) 猜想：当$m≥0,n≥0$时，$m+n≥2\sqrt{mn}$，理由如下：
$\because (\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0$（完全平方数的非负性）
将左边展开得：$(\sqrt{m})^2-2\sqrt{m}·\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2≥0$
化简得：$m-2\sqrt{mn}+n≥0$
移项可得：$m+n≥2\sqrt{mn}$，当且仅当$m=n$时等号成立。
(3) 设平行于墙体的花圃边长为$a\ \mathrm{m}$，垂直于墙体的边长为$b\ \mathrm{m}$，由题意得$a＞0,b＞0$，花圃面积$ab=200\ \mathrm{m}^2$，所需篱笆总长为$a+2b$。
根据(2)的结论可得：
$a+2b≥2\sqrt{a·2b}=2\sqrt{2ab}$
将$ab=200$代入得：
$2\sqrt{2×200}=2\sqrt{400}=2×20=40$
即$a+2b≥40$，当且仅当$a=2b$时等号成立，此时篱笆长度最小。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$
(2) $\boxed{m+n≥2\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)}$，理由见解析
(3) 所用的篱笆至少为$\boxed{40}$米
【知识点】
1. 完全平方的非负性
2. 代数式大小比较
3. 不等式的实际应用
【点评】
本题遵循从特殊到一般的认知规律，先通过计算比较大小猜想规律，再用代数方法证明规律，最后结合实际场景应用规律，既考查了基础代数运算能力，也锻炼了知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 分别计算横线左右两边的数值，直接比较大小即可；
(2) 利用完全平方数的非负性推导：任何实数的平方都大于等于0，将$(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2$展开后整理即可得到$m+n$和$2\sqrt{mn}$的大小关系；
(3) 首先结合图形明确篱笆总长的表达式：设平行于墙体的边长为$a\ \mathrm{m}$，垂直于墙体的边长为$b\ \mathrm{m}$，则篱笆总长为$a+2b$，已知面积$ab=200$，直接套用(2)中得到的不等式即可求出篱笆的最小值。
【解析】
(1) 计算第一组：左边$4+3=7$，右边$2\sqrt{4×3}=2\sqrt{12}\approx6.928$，故$4+3＞2\sqrt{4×3}$；
计算第二组：左边$1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\approx1.167$，右边$2\sqrt{1×\frac{1}{6}}\approx0.816$，故$1+\frac{1}{6}＞2\sqrt{1×\frac{1}{6}}$。
(2) 猜想：当$m≥0,n≥0$时，$m+n≥2\sqrt{mn}$，理由如下：
$\because (\sqrt{m}-\sqrt{n})^2≥0$（完全平方数的非负性）
将左边展开得：$(\sqrt{m})^2-2\sqrt{m}·\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2≥0$
化简得：$m-2\sqrt{mn}+n≥0$
移项可得：$m+n≥2\sqrt{mn}$，当且仅当$m=n$时等号成立。
(3) 设平行于墙体的花圃边长为$a\ \mathrm{m}$，垂直于墙体的边长为$b\ \mathrm{m}$，由题意得$a＞0,b＞0$，花圃面积$ab=200\ \mathrm{m}^2$，所需篱笆总长为$a+2b$。
根据(2)的结论可得：
$a+2b≥2\sqrt{a·2b}=2\sqrt{2ab}$
将$ab=200$代入得：
$2\sqrt{2×200}=2\sqrt{400}=2×20=40$
即$a+2b≥40$，当且仅当$a=2b$时等号成立，此时篱笆长度最小。
【答案】
(1) $\boxed{＞}$；$\boxed{＞}$
(2) $\boxed{m+n≥2\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)}$，理由见解析
(3) 所用的篱笆至少为$\boxed{40}$米
【知识点】
1. 完全平方的非负性
2. 代数式大小比较
3. 不等式的实际应用
【点评】
本题遵循从特殊到一般的认知规律，先通过计算比较大小猜想规律，再用代数方法证明规律，最后结合实际场景应用规律，既考查了基础代数运算能力，也锻炼了知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
