登录
22. 观察下列各式：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；……
（1）请观察规律，并写出第④个等式；
（2）请用含$n(n≥1)$的式子写出你猜想的规律。
（1）请观察规律，并写出第④个等式；
（2）请用含$n(n≥1)$的式子写出你猜想的规律。
答案
22.(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
解析
【分析】
解决这道题需要先观察已知的3个等式，分别对比等式左右两部分的数字和序号的对应关系：
1. 先看等式左边根号内的整数：①对应1，②对应2，③对应3，和等式序号完全一致；根号内分数的分子都是1，分母分别是3、4、5，均比对应等式序号大2。
2. 再看等式右边：根号外的系数分别是2、3、4，均比对应等式序号大1；根号内的分数和左边根号内的分数完全相同。
按照这个规律就能写出第④个等式，再把序号替换为n就能得到通用规律，最后可以用二次根式的性质验证规律是否成立。
【解析】
（1）根据已知等式的规律：
第④个等式对应的序号是4，因此左边根号内的整数为4，分数的分母为$4+2=6$，即左边为$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$；
右边根号外的系数为$4+1=5$，根号内为$\sqrt{\frac{1}{6}}$，因此第④个等式为：
$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
（2）设等式序号为$n(n≥1)$，按照规律：
左边根号内的整数为$n$，分数的分母为$n+2$，即左边为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$；
右边根号外的系数为$n+1$，根号内为$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，因此猜想的规律为：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
验证：左边通分化简可得$\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，和右边相等，规律成立。
【答案】
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类典型题型，重点考查观察、归纳、猜想的逻辑思维能力，解题时需要从特例中提取共性特征，总结出一般规律，同时可借助二次根式的运算验证规律的正确性，难度不大，只要细心观察数字对应关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要先观察已知的3个等式，分别对比等式左右两部分的数字和序号的对应关系：
1. 先看等式左边根号内的整数：①对应1，②对应2，③对应3，和等式序号完全一致；根号内分数的分子都是1，分母分别是3、4、5，均比对应等式序号大2。
2. 再看等式右边：根号外的系数分别是2、3、4，均比对应等式序号大1；根号内的分数和左边根号内的分数完全相同。
按照这个规律就能写出第④个等式，再把序号替换为n就能得到通用规律，最后可以用二次根式的性质验证规律是否成立。
【解析】
（1）根据已知等式的规律：
第④个等式对应的序号是4，因此左边根号内的整数为4，分数的分母为$4+2=6$，即左边为$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$；
右边根号外的系数为$4+1=5$，根号内为$\sqrt{\frac{1}{6}}$，因此第④个等式为：
$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
（2）设等式序号为$n(n≥1)$，按照规律：
左边根号内的整数为$n$，分数的分母为$n+2$，即左边为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$；
右边根号外的系数为$n+1$，根号内为$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，因此猜想的规律为：
$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
验证：左边通分化简可得$\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，和右边相等，规律成立。
【答案】
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类典型题型，重点考查观察、归纳、猜想的逻辑思维能力，解题时需要从特例中提取共性特征，总结出一般规律，同时可借助二次根式的运算验证规律的正确性，难度不大，只要细心观察数字对应关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
23.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂足,且DE+DF=2√2,△ABC的面积为3√2+2√6,求AB的长. 
答案
23.解:如图,连接AD,
则$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$
$=\frac{1}{2}AB(DE+DF).$
$\because DE+DF=2\sqrt{2},$
$\therefore\frac{1}{2}AB×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6},$
$\therefore AB=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{3}.$
解析
【分析】
要计算AB的长，已知△ABC的面积和DE+DF的和，且△ABC为等腰三角形AB=AC。我们可以通过连接AD，将△ABC分割为△ABD和△ACD两部分，两个小三角形的面积和等于△ABC的面积。结合三角形面积公式，两个小三角形的面积可分别用AB、DE和AC、DF表示，再利用AB=AC的条件提取公因子AB，代入已知的DE+DF的数值，即可建立关于AB的等式，求解得到AB的长度。
【解析】
解：连接AD，
由面积和差关系可知：
$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$
∵AB=AC，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB(DE+DF)$
将$DE+DF=2\sqrt{2}$，$S_{△ABC}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$代入上式：
$\frac{1}{2}AB×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
化简得：$\sqrt{2}·AB=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
解得：$AB=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{3}$
【答案】
AB的长为$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题巧妙运用分割法将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，结合等腰三角形两腰相等的性质整合条件，避免了单独求解DE、DF长度的复杂计算，是面积法解决几何问题的典型应用，解题关键是正确作出辅助线AD。
【难度系数】
0.7
要计算AB的长，已知△ABC的面积和DE+DF的和，且△ABC为等腰三角形AB=AC。我们可以通过连接AD，将△ABC分割为△ABD和△ACD两部分，两个小三角形的面积和等于△ABC的面积。结合三角形面积公式，两个小三角形的面积可分别用AB、DE和AC、DF表示，再利用AB=AC的条件提取公因子AB，代入已知的DE+DF的数值，即可建立关于AB的等式，求解得到AB的长度。
【解析】
解：连接AD，
由面积和差关系可知：
$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF$
∵AB=AC，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB(DE+DF)$
将$DE+DF=2\sqrt{2}$，$S_{△ABC}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$代入上式：
$\frac{1}{2}AB×2\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
化简得：$\sqrt{2}·AB=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$
解得：$AB=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{3}$
【答案】
AB的长为$3+2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题巧妙运用分割法将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，结合等腰三角形两腰相等的性质整合条件，避免了单独求解DE、DF长度的复杂计算，是面积法解决几何问题的典型应用，解题关键是正确作出辅助线AD。
【难度系数】
0.7
