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三、解答题
19. 计算：
(1) $(\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12})×\sqrt{3}-2\sqrt{3}$；(2) $(2-\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$。
19. 计算：
(1) $(\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12})×\sqrt{3}-2\sqrt{3}$；(2) $(2-\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$。
答案
19.解:(1)$(\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12})×\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=\sqrt{\frac{1}{3}×3}+\sqrt{12×3}-2\sqrt{3}$
$=1+\sqrt{36}-2\sqrt{3}$
$=1+6-2\sqrt{3}$
$=7-2\sqrt{3}.$
(2)$(2-\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
$=4+2-4\sqrt{2}-[(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2]$
$=6-4\sqrt{2}-(18-12)$
$=6-4\sqrt{2}-6$
$=-4\sqrt{2}.$
$=\sqrt{\frac{1}{3}×3}+\sqrt{12×3}-2\sqrt{3}$
$=1+\sqrt{36}-2\sqrt{3}$
$=1+6-2\sqrt{3}$
$=7-2\sqrt{3}.$
(2)$(2-\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
$=4+2-4\sqrt{2}-[(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2]$
$=6-4\sqrt{2}-(18-12)$
$=6-4\sqrt{2}-6$
$=-4\sqrt{2}.$
解析
【分析】
(1) 第一小题可利用乘法分配律，将括号内的两个二次根式分别与$\sqrt{3}$相乘，再根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算每一项，化简后合并即可；
(2) 第二小题中，$(2-\sqrt{2})^2$符合完全平方差公式的结构，$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$符合平方差公式的结构，分别套用两个公式展开，再去括号合并同类二次根式即可，注意去括号时符号不要出错。
【解析】
(1) $(\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12})×\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{3}×3}+\sqrt{12×3}-2\sqrt{3}$
$=1+\sqrt{36}-2\sqrt{3}$
$=1+6-2\sqrt{3}$
$=7-2\sqrt{3}$
(2) $(2-\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
$=4+2-4\sqrt{2}-[(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2]$
$=6-4\sqrt{2}-(18-12)$
$=6-4\sqrt{2}-6$
$=-4\sqrt{2}$
【答案】
(1) $7-2\sqrt{3}$；(2) $-4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，灵活运用运算律和乘法公式可以大幅简化计算过程，解题时需注意二次根式化简的准确性，以及去括号时的符号变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小题可利用乘法分配律，将括号内的两个二次根式分别与$\sqrt{3}$相乘，再根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算每一项，化简后合并即可；
(2) 第二小题中，$(2-\sqrt{2})^2$符合完全平方差公式的结构，$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$符合平方差公式的结构，分别套用两个公式展开，再去括号合并同类二次根式即可，注意去括号时符号不要出错。
【解析】
(1) $(\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12})×\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{3}×3}+\sqrt{12×3}-2\sqrt{3}$
$=1+\sqrt{36}-2\sqrt{3}$
$=1+6-2\sqrt{3}$
$=7-2\sqrt{3}$
(2) $(2-\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
$=4+2-4\sqrt{2}-[(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2]$
$=6-4\sqrt{2}-(18-12)$
$=6-4\sqrt{2}-6$
$=-4\sqrt{2}$
【答案】
(1) $7-2\sqrt{3}$；(2) $-4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，灵活运用运算律和乘法公式可以大幅简化计算过程，解题时需注意二次根式化简的准确性，以及去括号时的符号变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
20. 已知 $x=2-\sqrt{3}$，求代数式 $(7+4\sqrt{3})x^2 + (2+\sqrt{3})x + \sqrt{3}$ 的值。
答案
20.解:$x^2=(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}$,
则原式$=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}$
$=49-48+1+\sqrt{3}$
$=2+\sqrt{3}.$
则原式$=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}$
$=49-48+1+\sqrt{3}$
$=2+\sqrt{3}.$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和代数式的结构特征：已知$x=2-\sqrt{3}$，代数式包含$x^2$项，因此优先计算$x^2$的值更简便；再注意到代数式中$7+4\sqrt{3}$与$x^2$的结果互为有理化因式，$2+\sqrt{3}$与$x$也符合平方差公式的结构，代入后用平方差公式计算可大幅简化运算，避免直接代入的复杂计算，降低出错率。
【解析】
解：首先计算$x^2$的值：
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$
将$x=2-\sqrt{3}$、$x^2=7-4\sqrt{3}$代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}\\&=7^2-(4\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\\&=49-48 + 4-3 + \sqrt{3}\\&=1+1+\sqrt{3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的经典题型，解题的核心技巧是避免直接代入$x$计算，先计算$x^2$后观察算式的结构特征，利用平方差公式简化运算，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和代数式的结构特征：已知$x=2-\sqrt{3}$，代数式包含$x^2$项，因此优先计算$x^2$的值更简便；再注意到代数式中$7+4\sqrt{3}$与$x^2$的结果互为有理化因式，$2+\sqrt{3}$与$x$也符合平方差公式的结构，代入后用平方差公式计算可大幅简化运算，避免直接代入的复杂计算，降低出错率。
【解析】
解：首先计算$x^2$的值：
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$
将$x=2-\sqrt{3}$、$x^2=7-4\sqrt{3}$代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}\\&=7^2-(4\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\\&=49-48 + 4-3 + \sqrt{3}\\&=1+1+\sqrt{3}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题是二次根式化简求值的经典题型，解题的核心技巧是避免直接代入$x$计算，先计算$x^2$后观察算式的结构特征，利用平方差公式简化运算，能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
21.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}}$，其中$T$表示周期(单位:s)，$l$表示摆长(单位:m).假如一台座钟的摆长为0.2 m.($π$取3，$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$)
(1)求摆针摆动的周期；
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
(1)求摆针摆动的周期；
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
答案
21.解:(1)$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
$=2×3×\sqrt{\frac{0.2}{9.8}}$
$=6×\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{6}{7}(\mathrm{s}).$
(2)6分=360秒,
$360÷\frac{6}{7}=420(\mathrm{次}).$
$=2×3×\sqrt{\frac{0.2}{9.8}}$
$=6×\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{6}{7}(\mathrm{s}).$
(2)6分=360秒,
$360÷\frac{6}{7}=420(\mathrm{次}).$
解析
【分析】
(1) 第一问求摆动周期，解题思路是直接将题干给出的摆长$l$、$π$、$g$的数值代入周期计算公式，先计算根号内的数值，再化简二次根式即可求出结果。
(2) 第二问求6分钟内的滴答声次数，首先要统一时间单位，将分钟换算为秒；由于每摆动一个周期发出一次滴答声，用总时长除以单个周期的时长，得到的商就是滴答声的总次数。
【解析】
(1) 将$l=0.2\ \mathrm{m}$，$π=3$，$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$代入公式$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}}$得：
$\begin{aligned}T&=2×3×\sqrt{\dfrac{0.2}{9.8}}\\&=6×\sqrt{\dfrac{1}{49}}\\&=6×\dfrac{1}{7}\\&=\dfrac{6}{7}\ \mathrm{s}\end{aligned}$
(2) 先换算时间单位：$6\ \mathrm{分}=6×60=360\ \mathrm{秒}$
滴答声总次数为总时长除以单个周期时长：
$360÷\dfrac{6}{7}=360×\dfrac{7}{6}=420$（次）
【答案】
(1) 摆针摆动的周期为$\dfrac{6}{7}\ \mathrm{s}$；
(2) 6分钟内该座钟大约发出了420次滴答声。
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查公式代入求值和二次根式的化简计算，解题时注意统一单位即可，整体考查方向偏基础。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问求摆动周期，解题思路是直接将题干给出的摆长$l$、$π$、$g$的数值代入周期计算公式，先计算根号内的数值，再化简二次根式即可求出结果。
(2) 第二问求6分钟内的滴答声次数，首先要统一时间单位，将分钟换算为秒；由于每摆动一个周期发出一次滴答声，用总时长除以单个周期的时长，得到的商就是滴答声的总次数。
【解析】
(1) 将$l=0.2\ \mathrm{m}$，$π=3$，$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$代入公式$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}}$得：
$\begin{aligned}T&=2×3×\sqrt{\dfrac{0.2}{9.8}}\\&=6×\sqrt{\dfrac{1}{49}}\\&=6×\dfrac{1}{7}\\&=\dfrac{6}{7}\ \mathrm{s}\end{aligned}$
(2) 先换算时间单位：$6\ \mathrm{分}=6×60=360\ \mathrm{秒}$
滴答声总次数为总时长除以单个周期时长：
$360÷\dfrac{6}{7}=360×\dfrac{7}{6}=420$（次）
【答案】
(1) 摆针摆动的周期为$\dfrac{6}{7}\ \mathrm{s}$；
(2) 6分钟内该座钟大约发出了420次滴答声。
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，单位换算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查公式代入求值和二次根式的化简计算，解题时注意统一单位即可，整体考查方向偏基础。
【难度系数】
0.8
