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10.若一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，则它的面积为
30
。答案
10.30
解析
【分析】
要求直角三角形的面积，需先确定两条直角边的长度。本题已知直角三角形的斜边和一条直角边，可先利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设该直角三角形的另一条直角边长为$x$，
根据勾股定理可得：$x^2 + 5^2 = 13^2$
整理得：$x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
因为三角形边长为正数，所以$x = \sqrt{144} = 12$
则该直角三角形的面积为：$S=\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
【答案】
30
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，只要牢记勾股定理和三角形面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要求直角三角形的面积，需先确定两条直角边的长度。本题已知直角三角形的斜边和一条直角边，可先利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设该直角三角形的另一条直角边长为$x$，
根据勾股定理可得：$x^2 + 5^2 = 13^2$
整理得：$x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
因为三角形边长为正数，所以$x = \sqrt{144} = 12$
则该直角三角形的面积为：$S=\frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$
【答案】
30
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，只要牢记勾股定理和三角形面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.9
11.如图，等边三角形ABC的边长为6，则高AD的长为
（第11题图）（第16题图）
$3\sqrt{3}$
。（第11题图）（第16题图）答案
11.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆等边三角形的相关性质：等边三角形的高、中线、顶角角平分线三线合一，因此高AD可将底边BC平分，得到BD的长度；此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，借助勾股定理即可求出另一条直角边AD的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴根据三线合一，D为BC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，且$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$AB=6$，$BD=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三线合一
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长，需要熟练掌握特殊三角形的性质及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件回忆等边三角形的相关性质：等边三角形的高、中线、顶角角平分线三线合一，因此高AD可将底边BC平分，得到BD的长度；此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，借助勾股定理即可求出另一条直角边AD的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴根据三线合一，D为BC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，且$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$AB=6$，$BD=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三线合一
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长，需要熟练掌握特殊三角形的性质及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.8
12.若一个直角三角形的三边长为连续整数，则这三个数为
3,4,5
。答案
12.3,4,5
解析
【分析】
本题是勾股定理结合一元二次方程的基础应用题，解题思路如下：首先明确直角三角形中斜边是最长的边，题目给出三边长是连续整数，因此可以先设三个连续整数，其中最大的数为斜边；其次根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程；最后求解方程，舍去不符合边长为正的解，即可得到三边长。
【解析】
设这三个连续整数分别为$x$、$x+1$、$x+2$（$x$为正整数），
∵直角三角形中斜边最长，
∴长度为$x+2$的边为斜边，剩余两边为直角边。
根据勾股定理列方程得：
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$
展开整理得：
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：
$(x-3)(x+1) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
∵三角形边长为正数，
∴舍去$x=-1$，
∴$x=3$，$x+1=4$，$x+2=5$，即三个数为3,4,5。
【答案】
3,4,5
【知识点】
1.勾股定理
2.一元二次方程求解
3.直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的常规应用题型，解题的核心是先确定斜边为三个连续整数中最大的数，再利用勾股定理建立方程求解，求解后要注意结合边长的实际意义对根进行取舍，整体解题逻辑清晰，是巩固勾股定理和方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理结合一元二次方程的基础应用题，解题思路如下：首先明确直角三角形中斜边是最长的边，题目给出三边长是连续整数，因此可以先设三个连续整数，其中最大的数为斜边；其次根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程；最后求解方程，舍去不符合边长为正的解，即可得到三边长。
【解析】
设这三个连续整数分别为$x$、$x+1$、$x+2$（$x$为正整数），
∵直角三角形中斜边最长，
∴长度为$x+2$的边为斜边，剩余两边为直角边。
根据勾股定理列方程得：
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$
展开整理得：
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得：
$(x-3)(x+1) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
∵三角形边长为正数，
∴舍去$x=-1$，
∴$x=3$，$x+1=4$，$x+2=5$，即三个数为3,4,5。
【答案】
3,4,5
【知识点】
1.勾股定理
2.一元二次方程求解
3.直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的常规应用题型，解题的核心是先确定斜边为三个连续整数中最大的数，再利用勾股定理建立方程求解，求解后要注意结合边长的实际意义对根进行取舍，整体解题逻辑清晰，是巩固勾股定理和方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
13. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,a:b=3:4,c=20$,则$a=$
12
.答案
13.12
解析
【分析】
本题是直角三角形边长计算问题，解题思路如下：首先已知直角三角形两条直角边的比例关系和斜边长度，可联想到勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；为了方便计算，我们可以根据边长比设参数，将两条直角边用含同一个参数的代数式表示，再代入勾股定理公式求出参数的值，最后就能计算得到a的长度，注意边长为正数，参数需取正值。
【解析】
解：
∵ $a:b=3:4$，
∴ 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），
∵ $\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$c=20$，根据勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$，
代入得：$(3k)^2 + (4k)^2 = 20^2$，
计算得：$9k^2 + 16k^2 = 400$，
合并同类项得：$25k^2 = 400$，
化简得：$k^2 = 16$，
∵ $k＞0$，
∴ $k=4$，
∴ $a=3k=3×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
1.勾股定理
2.比例的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过设参数的方法将比例关系转化为代数式代入公式求解，解题时注意边长为正，参数需取正值即可，是直角三角形边长计算的常考基础题。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形边长计算问题，解题思路如下：首先已知直角三角形两条直角边的比例关系和斜边长度，可联想到勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；为了方便计算，我们可以根据边长比设参数，将两条直角边用含同一个参数的代数式表示，再代入勾股定理公式求出参数的值，最后就能计算得到a的长度，注意边长为正数，参数需取正值。
【解析】
解：
∵ $a:b=3:4$，
∴ 设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$），
∵ $\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$c=20$，根据勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$，
代入得：$(3k)^2 + (4k)^2 = 20^2$，
计算得：$9k^2 + 16k^2 = 400$，
合并同类项得：$25k^2 = 400$，
化简得：$k^2 = 16$，
∵ $k＞0$，
∴ $k=4$，
∴ $a=3k=3×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
1.勾股定理
2.比例的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过设参数的方法将比例关系转化为代数式代入公式求解，解题时注意边长为正，参数需取正值即可，是直角三角形边长计算的常考基础题。
【难度系数】
0.85
14.已知一个正方形的边长为3，则它的对角线的长为
$3\sqrt{2}$
。答案
14.$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先回忆正方形的基本性质：正方形的四条边长度相等，四个内角都是直角，因此正方形的两条邻边与对角线可构成等腰直角三角形，对角线为该直角三角形的斜边。已知直角三角形的两条直角边（即正方形边长），即可通过勾股定理计算斜边（对角线）的长度。
【解析】
设正方形的对角线长为$ x $。
因为正方形的四个内角均为直角，且边长为3，所以对角线与相邻两条边构成直角三角形，两条直角边长均为3。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ 3^2 + 3^2 = x^2 $
计算得：$ 9 + 9 = x^2 $，即$ x^2 = 18 $
因为线段长度为正数，所以$ x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
【答案】
$ 3\sqrt{2} $
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，将正方形的性质与勾股定理结合考察，计算时注意二次根式的化简即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆正方形的基本性质：正方形的四条边长度相等，四个内角都是直角，因此正方形的两条邻边与对角线可构成等腰直角三角形，对角线为该直角三角形的斜边。已知直角三角形的两条直角边（即正方形边长），即可通过勾股定理计算斜边（对角线）的长度。
【解析】
设正方形的对角线长为$ x $。
因为正方形的四个内角均为直角，且边长为3，所以对角线与相邻两条边构成直角三角形，两条直角边长均为3。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ 3^2 + 3^2 = x^2 $
计算得：$ 9 + 9 = x^2 $，即$ x^2 = 18 $
因为线段长度为正数，所以$ x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
【答案】
$ 3\sqrt{2} $
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，将正方形的性质与勾股定理结合考察，计算时注意二次根式的化简即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
若一个直角三角形的两直角边的长分别为$\sqrt{3}$和$\sqrt{6}$，则斜边长为
3
答案
15.3
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知两直角边的长度，我们可以先分别计算两直角边的平方，求和得到斜边的平方，再对结果取正的算术平方根，就能得到斜边长，计算时利用二次根式的平方运算性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$可以简化计算。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$c$，两直角边分别为$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{6}$。
根据勾股定理$c^2 = a^2 + b^2$，代入数值计算：
$c^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 3 + 6 = 9$
因为斜边长为正数，所以$c = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，二次根式运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，主要考查对勾股定理的掌握程度和二次根式的基本运算能力，是常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。已知两直角边的长度，我们可以先分别计算两直角边的平方，求和得到斜边的平方，再对结果取正的算术平方根，就能得到斜边长，计算时利用二次根式的平方运算性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$可以简化计算。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$c$，两直角边分别为$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{6}$。
根据勾股定理$c^2 = a^2 + b^2$，代入数值计算：
$c^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 3 + 6 = 9$
因为斜边长为正数，所以$c = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，二次根式运算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，主要考查对勾股定理的掌握程度和二次根式的基本运算能力，是常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
16.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,斜边$c=5$,一条直角边$a=3$,则斜边上的高$CD$长为
$\frac{12}{5}$
.答案
16.$\frac{12}{5}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中求斜边上高的问题，解题思路清晰：第一步，先利用勾股定理求出未知直角边的长度；第二步，运用等面积法，分别用“两条直角边乘积的一半”和“斜边乘斜边上高的一半”表示三角形面积，根据面积相等建立等式，即可求解CD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，斜边$AB=5$，直角边$BC=3$，根据勾股定理可得另一条直角边：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
三角形面积可以用两种方式表示：
①用两条直角边计算：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$
②用斜边和斜边上的高计算：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$
联立两个面积表达式，代入$AB=5$、$S_{△ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}×5× CD=6$
解得：$CD=\frac{12}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考查等面积法在直角三角形线段求解中的应用，这类题型是直角三角形相关计算的常见考法，掌握面积的两种表示方式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中求斜边上高的问题，解题思路清晰：第一步，先利用勾股定理求出未知直角边的长度；第二步，运用等面积法，分别用“两条直角边乘积的一半”和“斜边乘斜边上高的一半”表示三角形面积，根据面积相等建立等式，即可求解CD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，斜边$AB=5$，直角边$BC=3$，根据勾股定理可得另一条直角边：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
三角形面积可以用两种方式表示：
①用两条直角边计算：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$
②用斜边和斜边上的高计算：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$
联立两个面积表达式，代入$AB=5$、$S_{△ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}×5× CD=6$
解得：$CD=\frac{12}{5}$
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心考查等面积法在直角三角形线段求解中的应用，这类题型是直角三角形相关计算的常见考法，掌握面积的两种表示方式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
17. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.$
(1)若$a=7,b=24$,求$c$的值；
(2)若$a=4,c=7$,求$b$的值.
(1)若$a=7,b=24$,求$c$的值；
(2)若$a=4,c=7$,求$b$的值.
答案
17.解:(1)由勾股定理得 $c^2=a^2+b^2$,
代入 $a=7,b=24$,得
$c^2=7^2+24^2=49+576=625.$
$\because c＞0,\therefore c=25.$
(2)由勾股定理得 $b^2=c^2-a^2$,
代入 $a=4,c=7$,得
$b^2=7^2-4^2=49-16=33.$
$\because b＞0,\therefore b=\sqrt{33}.$
代入 $a=7,b=24$,得
$c^2=7^2+24^2=49+576=625.$
$\because c＞0,\therefore c=25.$
(2)由勾股定理得 $b^2=c^2-a^2$,
代入 $a=4,c=7$,得
$b^2=7^2-4^2=49-16=33.$
$\because b＞0,\therefore b=\sqrt{33}.$
解析
【分析】
这是直角三角形已知两边求第三边的基础题，解题核心是运用勾股定理。首先明确△ABC中∠C为直角，因此斜边是AB=c，两条直角边为BC=a、AC=b，勾股定理的基本表达式为$a^2+b^2=c^2$。（1）问已知两条直角边a、b，直接代入勾股定理计算斜边c的平方，再结合边长为正的属性，对结果开平方取正值即可；（2）问已知斜边c和一条直角边a，先将勾股定理变形为$b^2=c^2-a^2$，代入数值计算后同样取正的平方根就能得到b的值。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$
将$a=7,b=24$代入得：
$c^2=7^2+24^2=49+576=625$
$\because$ 三角形边长为正数，即$c＞0$
$\therefore c=\sqrt{625}=25$
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$变形得：$b^2=c^2-a^2$
将$a=4,c=7$代入得：
$b^2=7^2-4^2=49-16=33$
$\because$ 三角形边长为正数，即$b＞0$
$\therefore b=\sqrt{33}$
【答案】
(1) $c=25$；(2) $b=\sqrt{33}$
【知识点】
勾股定理；算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角三角形的斜边和直角边，正确代入勾股定理计算，注意边长为非负数，最终结果要取正的平方根，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这是直角三角形已知两边求第三边的基础题，解题核心是运用勾股定理。首先明确△ABC中∠C为直角，因此斜边是AB=c，两条直角边为BC=a、AC=b，勾股定理的基本表达式为$a^2+b^2=c^2$。（1）问已知两条直角边a、b，直接代入勾股定理计算斜边c的平方，再结合边长为正的属性，对结果开平方取正值即可；（2）问已知斜边c和一条直角边a，先将勾股定理变形为$b^2=c^2-a^2$，代入数值计算后同样取正的平方根就能得到b的值。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$
将$a=7,b=24$代入得：
$c^2=7^2+24^2=49+576=625$
$\because$ 三角形边长为正数，即$c＞0$
$\therefore c=\sqrt{625}=25$
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2$变形得：$b^2=c^2-a^2$
将$a=4,c=7$代入得：
$b^2=7^2-4^2=49-16=33$
$\because$ 三角形边长为正数，即$b＞0$
$\therefore b=\sqrt{33}$
【答案】
(1) $c=25$；(2) $b=\sqrt{33}$
【知识点】
勾股定理；算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是准确区分直角三角形的斜边和直角边，正确代入勾股定理计算，注意边长为非负数，最终结果要取正的平方根，熟练掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
