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1. 方程$x(x-3)=x$的解是$x=(\quad\quad)$.
A.3
B.4
C.0
D.4或0
A.3
B.4
C.0
D.4或0
答案
1.D
解析
【分析】
解这道题首先要注意，不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。正确的解题思路是先将方程右侧的项移到左侧，让等号右侧为0，再对左侧的多项式提取公因式进行因式分解，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解得到方程的所有解，再对应选项选择即可。
【解析】
解：原方程为$x(x-3)=x$
第一步，移项，将右侧的$x$移到等号左侧，得：
$x(x-3)-x=0$
第二步，提取公因式$x$，得：
$x[(x-3)-1]=0$
整理括号内的式子，得：
$x(x-4)=0$
第三步，令每个因式为0，得：
$x=0$ 或 $x-4=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$
所以方程的解是0或4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接在方程两边除以含未知数的项导致漏解，解题时要先将方程整理为一侧为0的形式，再用因式分解等方法求解，保证解的完整性。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要注意，不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。正确的解题思路是先将方程右侧的项移到左侧，让等号右侧为0，再对左侧的多项式提取公因式进行因式分解，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解得到方程的所有解，再对应选项选择即可。
【解析】
解：原方程为$x(x-3)=x$
第一步，移项，将右侧的$x$移到等号左侧，得：
$x(x-3)-x=0$
第二步，提取公因式$x$，得：
$x[(x-3)-1]=0$
整理括号内的式子，得：
$x(x-4)=0$
第三步，令每个因式为0，得：
$x=0$ 或 $x-4=0$
解得$x_1=0$，$x_2=4$
所以方程的解是0或4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接在方程两边除以含未知数的项导致漏解，解题时要先将方程整理为一侧为0的形式，再用因式分解等方法求解，保证解的完整性。
【难度系数】
0.7
2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + 6 = 0(a ≠ 0) $ 的一个根为 $ x = 2 $，则代数式 $ 2a + b + 6 = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
2.3
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。首先明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=2是方程的根，因此将x=2代入原方程，可得到含a、b的等式，再对等式进行变形，即可求出所求代数式的值。
【解析】
∵x=2是一元二次方程$ax^2 + bx + 6 = 0(a ≠ 0)$的一个根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$a× 2^2 + b× 2 + 6 = 0$
整理得：$4a + 2b + 6 = 0$
等式两边同时除以2，可得：$2a + b + 3 = 0$，即$2a + b = -3$
将$2a + b = -3$代入代数式$2a + b + 6$，得：
原式$=-3 + 6 = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握方程根的定义，直接代入根得到相关代数式的关系即可求解，计算量小，不容易出错。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解。首先明确：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=2是方程的根，因此将x=2代入原方程，可得到含a、b的等式，再对等式进行变形，即可求出所求代数式的值。
【解析】
∵x=2是一元二次方程$ax^2 + bx + 6 = 0(a ≠ 0)$的一个根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$a× 2^2 + b× 2 + 6 = 0$
整理得：$4a + 2b + 6 = 0$
等式两边同时除以2，可得：$2a + b + 3 = 0$，即$2a + b = -3$
将$2a + b = -3$代入代数式$2a + b + 6$，得：
原式$=-3 + 6 = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握方程根的定义，直接代入根得到相关代数式的关系即可求解，计算量小，不容易出错。
【难度系数】
0.8
3. 把方程$x^2 - 8x + 3 = 0$化成$(x + m)^2 = n$的形式，则$m=$
-4
，$n=$13
.答案
3. m=-4，n=13
解析
【分析】
这道题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式，解题思路如下：第一步先把方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的二次项和一次项在左侧；第二步根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；最后对比$(x+m)^2=n$的形式，即可直接得出$m$和$n$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x +3=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边：$x^2 -8x = -3$
2. 配方：一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$(-4)^2=16$，给方程两边同时加16：
$x^2 -8x +16 = -3 +16$
3. 整理变形：左侧写成完全平方式，右侧计算结果，得$(x-4)^2=13$，即$(x+(-4))^2=13$
对比$(x+m)^2=n$的形式，可得$m=-4$，$n=13$。
【答案】
$m=-4$，$n=13$
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的操作步骤，牢记完全平方公式的结构特征、熟练掌握移项、配方的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这道题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式，解题思路如下：第一步先把方程中的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的二次项和一次项在左侧；第二步根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；最后对比$(x+m)^2=n$的形式，即可直接得出$m$和$n$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x +3=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边：$x^2 -8x = -3$
2. 配方：一次项系数为$-8$，它的一半是$-4$，平方为$(-4)^2=16$，给方程两边同时加16：
$x^2 -8x +16 = -3 +16$
3. 整理变形：左侧写成完全平方式，右侧计算结果，得$(x-4)^2=13$，即$(x+(-4))^2=13$
对比$(x+m)^2=n$的形式，可得$m=-4$，$n=13$。
【答案】
$m=-4$，$n=13$
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查配方法的操作步骤，牢记完全平方公式的结构特征、熟练掌握移项、配方的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 若$α,β$是一元二次方程$x^2+2x-9=0$的两个根，则$α^2+β^2$的值是________.
答案
4.22
解析
【分析】
要求$α^2+β^2$的值，我们可以利用完全平方公式将其变形为与两根之和、两根之积相关的形式：$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$。已知$α$、$β$是一元二次方程的两根，我们可以先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$，再整体代入变形后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
∵$α$，$β$是一元二次方程$x^2+2x-9=0$的两个根，
该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-9$，
根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-9}{1}=-9$。
又由完全平方公式变形可得：
$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，
将$α+β=-2$，$αβ=-9$代入得：
原式$=(-2)^2 - 2×(-9)=4+18=22$。
【答案】
22
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 完全平方公式
3. 代数式求值
【点评】
本题是代数求值的常见题型，核心考查整体代入的思想，无需单独求解方程的两个根，通过根与系数的关系结合完全平方公式的变形即可快速得出结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要求$α^2+β^2$的值，我们可以利用完全平方公式将其变形为与两根之和、两根之积相关的形式：$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$。已知$α$、$β$是一元二次方程的两根，我们可以先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$，再整体代入变形后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
∵$α$，$β$是一元二次方程$x^2+2x-9=0$的两个根，
该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-9$，
根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-9}{1}=-9$。
又由完全平方公式变形可得：
$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，
将$α+β=-2$，$αβ=-9$代入得：
原式$=(-2)^2 - 2×(-9)=4+18=22$。
【答案】
22
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 完全平方公式
3. 代数式求值
【点评】
本题是代数求值的常见题型，核心考查整体代入的思想，无需单独求解方程的两个根，通过根与系数的关系结合完全平方公式的变形即可快速得出结果，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $ m $ 是方程 $ x^2 - x - 2 = 0 $ 的一个实数根,求代数式 $ (m^2 - m)(m - \dfrac{2}{m} + 1) $ 的值.
答案
5.4
解析
【分析】
首先，已知m是一元二次方程的根，根据方程根的定义，将x=m代入方程可得到关于m的等式，无需直接求解m的值。观察所求代数式的结构，可先对代数式进行化简，再将得到的关于m的等式整体代入，就能快速算出结果，避免求解方程根带来的复杂运算。具体步骤：第一步，由根的定义得出$m^2 - m = 2$、$m^2 - 2 = m$；第二步，化简代数式中第二个括号内的分式，将$m^2 - 2 = m$代入化简；第三步，将两个化简后的结果相乘得到最终值。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 - x - 2 = 0$的实数根
∴将x=m代入方程得：$m^2 - m - 2 = 0$
∴$m^2 - m = 2$，$m^2 - 2 = m$
由原方程可知m≠0（若m=0，代入方程左边得-2≠0，矛盾）
对$m - \dfrac{2}{m} + 1$通分化简：
$m - \dfrac{2}{m} + 1 = \dfrac{m^2 - 2}{m} + 1$
将$m^2 - 2 = m$代入上式得：
$\dfrac{m}{m} + 1 = 1 + 1 = 2$
∴原式=$(m^2 - m)(m - \dfrac{2}{m} + 1) = 2 × 2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
3. 分式化简
【点评】
本题考查代数式求值，核心是利用一元二次方程根的性质得到等量关系，通过整体代入的方法简化计算，无需解出方程的根，既提升了解题效率也能减少运算失误，重点考查学生的整体思想和代数式化简能力。
【难度系数】
0.7
首先，已知m是一元二次方程的根，根据方程根的定义，将x=m代入方程可得到关于m的等式，无需直接求解m的值。观察所求代数式的结构，可先对代数式进行化简，再将得到的关于m的等式整体代入，就能快速算出结果，避免求解方程根带来的复杂运算。具体步骤：第一步，由根的定义得出$m^2 - m = 2$、$m^2 - 2 = m$；第二步，化简代数式中第二个括号内的分式，将$m^2 - 2 = m$代入化简；第三步，将两个化简后的结果相乘得到最终值。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 - x - 2 = 0$的实数根
∴将x=m代入方程得：$m^2 - m - 2 = 0$
∴$m^2 - m = 2$，$m^2 - 2 = m$
由原方程可知m≠0（若m=0，代入方程左边得-2≠0，矛盾）
对$m - \dfrac{2}{m} + 1$通分化简：
$m - \dfrac{2}{m} + 1 = \dfrac{m^2 - 2}{m} + 1$
将$m^2 - 2 = m$代入上式得：
$\dfrac{m}{m} + 1 = 1 + 1 = 2$
∴原式=$(m^2 - m)(m - \dfrac{2}{m} + 1) = 2 × 2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
3. 分式化简
【点评】
本题考查代数式求值，核心是利用一元二次方程根的性质得到等量关系，通过整体代入的方法简化计算，无需解出方程的根，既提升了解题效率也能减少运算失误，重点考查学生的整体思想和代数式化简能力。
【难度系数】
0.7
6. 用配方法解方程$x^2+4x+1=0$,经配方后得到(
A.$(x+2)^2=5$
B.$(x-2)^2=5$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x+2)^2=3$
D
).A.$(x+2)^2=5$
B.$(x-2)^2=5$
C.$(x-2)^2=3$
D.$(x+2)^2=3$
答案
6.D
解析
【分析】
这道题考查配方法解一元二次方程的应用，解题遵循配方法的固定逻辑：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，化简右侧即可得到配方后的结果，要注意一次项系数的符号决定完全平方式内的加减符号，避免符号出错。
【解析】
解：对原方程$x^2+4x+1=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2+4x=-1$
2. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，在等号两边同时加4：
$x^2+4x+4=-1+4$
3. 左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x+2)^2=3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的操作流程，只要牢记“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的步骤，注意完全平方的符号和一次项符号保持一致，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题考查配方法解一元二次方程的应用，解题遵循配方法的固定逻辑：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，化简右侧即可得到配方后的结果，要注意一次项系数的符号决定完全平方式内的加减符号，避免符号出错。
【解析】
解：对原方程$x^2+4x+1=0$按配方法步骤变形：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2+4x=-1$
2. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，在等号两边同时加4：
$x^2+4x+4=-1+4$
3. 左侧整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x+2)^2=3$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的操作流程，只要牢记“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的步骤，注意完全平方的符号和一次项符号保持一致，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
7. 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m. 如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动$ x $m，可列出方程为________.
答案
7. $7^2+(6+x)^2=10^2$
解析
【分析】
本题是直角三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确梯子斜靠在墙上时，始终与墙面、地面构成直角三角形，且梯子长度为固定不变的斜边长；第一步先利用勾股定理算出初始状态下梯子底端到墙的水平距离；第二步表示出顶端下滑1m后的垂直高度，以及底端滑动x m后的水平距离；最后结合滑动后仍满足直角三角形的勾股定理，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 计算初始时梯子底端到墙的水平距离：
初始状态下，梯子为斜边，长10m，顶端垂直高度为8m，由勾股定理可得，水平距离为$\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$m。
2. 表示滑动后直角三角形的两条直角边：
顶端下滑1m后，当前顶端垂直高度为$8 - 1 = 7$m；底端滑动$x$m后，当前底端到墙的水平距离为$(6 + x)$m，梯子长度仍为10m。
3. 根据勾股定理列方程：
滑动后仍满足直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此可列方程为$7^2 + (6 + x)^2 = 10^2$。
【答案】
$7^2+(6+x)^2=10^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础题型，解题的核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，准确找到滑动前后直角三角形各边的长度或表达式，结合勾股定理即可顺利列出方程，是勾股定理相关的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确梯子斜靠在墙上时，始终与墙面、地面构成直角三角形，且梯子长度为固定不变的斜边长；第一步先利用勾股定理算出初始状态下梯子底端到墙的水平距离；第二步表示出顶端下滑1m后的垂直高度，以及底端滑动x m后的水平距离；最后结合滑动后仍满足直角三角形的勾股定理，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 计算初始时梯子底端到墙的水平距离：
初始状态下，梯子为斜边，长10m，顶端垂直高度为8m，由勾股定理可得，水平距离为$\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$m。
2. 表示滑动后直角三角形的两条直角边：
顶端下滑1m后，当前顶端垂直高度为$8 - 1 = 7$m；底端滑动$x$m后，当前底端到墙的水平距离为$(6 + x)$m，梯子长度仍为10m。
3. 根据勾股定理列方程：
滑动后仍满足直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此可列方程为$7^2 + (6 + x)^2 = 10^2$。
【答案】
$7^2+(6+x)^2=10^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础题型，解题的核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，准确找到滑动前后直角三角形各边的长度或表达式，结合勾股定理即可顺利列出方程，是勾股定理相关的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
8. (1) 用公式法解方程.
$x^2=3(x+1)$
(2) 用配方法解方程.
$x^2-2x-24=0$
$x^2=3(x+1)$
(2) 用配方法解方程.
$x^2-2x-24=0$
答案
8.(1) $x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$
(2) $x_1=6,x_2=-4$
(2) $x_1=6,x_2=-4$
解析
【分析】
(1) 用公式法解一元二次方程，首先要把原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的取值后，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$，再代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$就能求出方程的根。
(2) 用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再通过直接开平方求解即可。
【解析】
(1) 整理原方程：
$x^2=3(x+1)$
去括号得：$x^2=3x+3$
移项化为一般形式：$x^2 - 3x - 3 = 0$
得$a=1$，$b=-3$，$c=-3$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-3) = 21 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$
(2) 原方程$x^2 - 2x - 24 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 24$
配方：给方程两边同时加$(-2÷2)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 24 + 1$
即$(x - 1)^2 = 25$
开平方得：$x - 1 = ±5$
解得$x=1+5=6$或$x=1-5=-4$
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$
(2) $x_1=6,x_2=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程公式法
2. 一元二次方程配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，解题时需严格遵循对应解法的步骤：公式法需先将方程化为一般形式再确定系数，避免符号错误；配方法要注意配方时需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立，是对基础解题能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 用公式法解一元二次方程，首先要把原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a、b、c$的取值后，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta≥0$，再代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$就能求出方程的根。
(2) 用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再通过直接开平方求解即可。
【解析】
(1) 整理原方程：
$x^2=3(x+1)$
去括号得：$x^2=3x+3$
移项化为一般形式：$x^2 - 3x - 3 = 0$
得$a=1$，$b=-3$，$c=-3$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-3) = 21 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$
(2) 原方程$x^2 - 2x - 24 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 24$
配方：给方程两边同时加$(-2÷2)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 24 + 1$
即$(x - 1)^2 = 25$
开平方得：$x - 1 = ±5$
解得$x=1+5=6$或$x=1-5=-4$
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$
(2) $x_1=6,x_2=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程公式法
2. 一元二次方程配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的两种基础解法，解题时需严格遵循对应解法的步骤：公式法需先将方程化为一般形式再确定系数，避免符号错误；配方法要注意配方时需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立，是对基础解题能力的考查。
【难度系数】
0.8
