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9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0 $。
（1）当 $ m $ 取什么值时，原方程没有实数根。
（2）对 $ m $ 选取一个合适的整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根的平方和。
（1）当 $ m $ 取什么值时，原方程没有实数根。
（2）对 $ m $ 选取一个合适的整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根的平方和。
答案
9.(1) $m＜-\frac{1}{2}$
(2) 当 $m=1$ 时,两根平方和为 14
(2) 当 $m=1$ 时,两根平方和为 14
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程实数根的个数，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。首先确定方程各项系数，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）要使方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta＞0$，先求出此时$m$的取值范围，在范围内选取一个合适的整数，再利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积，将两根平方和变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值即可计算结果。
【解析】
（1）对于方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$，
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-4×1× m^2$
$=4(m^2+2m+1)-4m^2$
$=8m+4$
若原方程没有实数根，则$\Delta＜0$，即：
$8m+4＜0$
解得$m＜-\frac{1}{2}$。
（2）若原方程有两个不相等的实数根，则$\Delta＞0$，即$8m+4＞0$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
选取符合条件的整数$m=1$，此时原方程为$x^2-4x+1=0$，
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=1$，
则两根的平方和为：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=16-2=14$。
【答案】
（1）$m＜-\frac{1}{2}$；
（2）当$m=1$时，两根平方和为14。
【知识点】
1.根的判别式
2.根与系数的关系
3.完全平方公式变形
【点评】
本题围绕一元二次方程根的性质考查，既需要掌握判别式判断根的情况的方法，也需要灵活运用根与系数的关系对代数式变形，选取参数时要注意符合前提条件，属于基础综合题型。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程实数根的个数，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。首先确定方程各项系数，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）要使方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta＞0$，先求出此时$m$的取值范围，在范围内选取一个合适的整数，再利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积，将两根平方和变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入数值即可计算结果。
【解析】
（1）对于方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$，
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-4×1× m^2$
$=4(m^2+2m+1)-4m^2$
$=8m+4$
若原方程没有实数根，则$\Delta＜0$，即：
$8m+4＜0$
解得$m＜-\frac{1}{2}$。
（2）若原方程有两个不相等的实数根，则$\Delta＞0$，即$8m+4＞0$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
选取符合条件的整数$m=1$，此时原方程为$x^2-4x+1=0$，
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=1$，
则两根的平方和为：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=16-2=14$。
【答案】
（1）$m＜-\frac{1}{2}$；
（2）当$m=1$时，两根平方和为14。
【知识点】
1.根的判别式
2.根与系数的关系
3.完全平方公式变形
【点评】
本题围绕一元二次方程根的性质考查，既需要掌握判别式判断根的情况的方法，也需要灵活运用根与系数的关系对代数式变形，选取参数时要注意符合前提条件，属于基础综合题型。
【难度系数】
0.7
10.（1）解答下列问题：
①方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解为________.
②方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的解为________.
③方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的解为________.
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为________.
②关于$x$的方程________的解为$x_1=1, x_2=n$.
（3）请用公式法验证（2）中②的结论.
①方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解为________.
②方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的解为________.
③方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的解为________.
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为________.
②关于$x$的方程________的解为$x_1=1, x_2=n$.
（3）请用公式法验证（2）中②的结论.
答案
10.(1) ①$x_1=x_2=1$ ②$x_1=1, x_2=2$ ③$x_1=1, x_2=3$
(2) ①$x_1=1, x_2=8$ ②$x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 略
(2) ①$x_1=1, x_2=8$ ②$x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 略
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步求解第（1）问的三个一元二次方程，三个方程二次项系数均为1，可采用十字相乘法因式分解快速求解，得到解后观察方程系数与解的对应关系，总结规律：方程的两个解分别为1和常数项，一次项系数为两个解之和的相反数；第二步利用总结的规律直接完成第（2）问的猜想；第三步采用公式法验证第（2）问②的结论，先确定方程各项系数，再计算判别式，最后代入求根公式计算出根验证即可。
【解析】
（1）①对$x^2 - 2x + 1 = 0$因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
②对$x^2 - 3x + 2 = 0$十字相乘分解为$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$；
③对$x^2 - 4x + 3 = 0$十字相乘分解为$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$；
（2）①根据前面方程和解的规律，常数项对应其中一个解，另一个解恒为1，因此$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为$x_1=1,x_2=8$；
②已知方程解为$x_1=1,x_2=n$，则一次项系数为$-(1+n)$，常数项为$1× n=n$，因此方程为$x^2-(1+n)x+n=0$；
（3）验证：对于方程$x^2-(1+n)x+n=0$，$a=1$，$b=-(1+n)$，$c=n$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (1+n)^2 - 4n = n^2-2n+1=(n-1)^2≥0$，
代入求根公式得$x=\frac{(1+n)\pm\sqrt{(n-1)^2}}{2}=\frac{(1+n)\pm(n-1)}{2}$，
计算得$x_1=\frac{1+n-n+1}{2}=1$，$x_2=\frac{1+n+n-1}{2}=n$，因此猜想成立。
【答案】
(1) ①$x_1=x_2=1$ ②$x_1=1, x_2=2$ ③$x_1=1, x_2=3$
(2) ①$x_1=1, x_2=8$ ②$x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 略
【知识点】
一元二次方程的解法、规律探究、公式法解方程
【点评】
本题以一元二次方程的求解为载体，引导学生通过解特殊方程归纳规律，再进行猜想验证，渗透了由特殊到一般的数学思想，考查学生的归纳推理能力和对一元二次方程基础解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题可分三步进行：第一步求解第（1）问的三个一元二次方程，三个方程二次项系数均为1，可采用十字相乘法因式分解快速求解，得到解后观察方程系数与解的对应关系，总结规律：方程的两个解分别为1和常数项，一次项系数为两个解之和的相反数；第二步利用总结的规律直接完成第（2）问的猜想；第三步采用公式法验证第（2）问②的结论，先确定方程各项系数，再计算判别式，最后代入求根公式计算出根验证即可。
【解析】
（1）①对$x^2 - 2x + 1 = 0$因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
②对$x^2 - 3x + 2 = 0$十字相乘分解为$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$；
③对$x^2 - 4x + 3 = 0$十字相乘分解为$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$；
（2）①根据前面方程和解的规律，常数项对应其中一个解，另一个解恒为1，因此$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为$x_1=1,x_2=8$；
②已知方程解为$x_1=1,x_2=n$，则一次项系数为$-(1+n)$，常数项为$1× n=n$，因此方程为$x^2-(1+n)x+n=0$；
（3）验证：对于方程$x^2-(1+n)x+n=0$，$a=1$，$b=-(1+n)$，$c=n$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (1+n)^2 - 4n = n^2-2n+1=(n-1)^2≥0$，
代入求根公式得$x=\frac{(1+n)\pm\sqrt{(n-1)^2}}{2}=\frac{(1+n)\pm(n-1)}{2}$，
计算得$x_1=\frac{1+n-n+1}{2}=1$，$x_2=\frac{1+n+n-1}{2}=n$，因此猜想成立。
【答案】
(1) ①$x_1=x_2=1$ ②$x_1=1, x_2=2$ ③$x_1=1, x_2=3$
(2) ①$x_1=1, x_2=8$ ②$x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 略
【知识点】
一元二次方程的解法、规律探究、公式法解方程
【点评】
本题以一元二次方程的求解为载体，引导学生通过解特殊方程归纳规律，再进行猜想验证，渗透了由特殊到一般的数学思想，考查学生的归纳推理能力和对一元二次方程基础解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
11. 甲、乙两家手机店对同一款单价为 1600 元的手机实行促销：
甲商店规定：购买一部，单价为 1560 元；购买两部，每部为 1520 元.依此类推，即每多买一部，手机单价均减少 40 元，但最低单价不得低于 880 元.
乙商店规定：一律按原单价打 7.5 折.
两店促销活动期间，某公司在同一家店购买了若干部该款手机恰好花费 15000 元，问：该公司在哪家店购买了多少部手机？
甲商店规定：购买一部，单价为 1560 元；购买两部，每部为 1520 元.依此类推，即每多买一部，手机单价均减少 40 元，但最低单价不得低于 880 元.
乙商店规定：一律按原单价打 7.5 折.
两店促销活动期间，某公司在同一家店购买了若干部该款手机恰好花费 15000 元，问：该公司在哪家店购买了多少部手机？
答案
11. 在甲店购买了15部手机
解析
【分析】
解题时需分两种情况讨论：先判断是否在乙店购买，计算乙店单部手机价格，用总花费除以单价看购买数量是否为正整数；再判断是否在甲店购买，先根据甲店最低单价限制求出最多可购买的数量，再设购买数量为x，根据“单价×数量=总花费”列一元二次方程求解，最后检验解是否符合甲店的单价限制要求，排除不合理解即可得到答案。
【解析】
① 假设该公司在乙商店购买：
乙商店单部手机单价：$1600 × 0.75 = 1200$（元）
可购买数量：$15000 ÷ 1200 = 12.5$（部）
手机数量为正整数，因此不可能在乙商店购买。
② 假设该公司在甲商店购买，设购买了$x$部手机：
首先根据甲店最低单价不低于880元，列不等式：
$1600 - 40x ≥ 880$
解得：$x ≤ 18$
根据总花费列方程：
$x(1600 - 40x) = 15000$
整理得：$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 25) = 0$
解得：$x_1 = 15$，$x_2 = 25$
因为$x ≤ 18$，所以$x_2 = 25$不符合要求，舍去。
检验：当$x=15$时，单部单价为$1600 - 40 × 15 = 1000$元$＞880$元，符合要求，总花费$15 × 1000 = 15000$元，符合题意。
【答案】
在甲店购买了15部手机
【知识点】
一元二次方程应用，分类讨论，不等式应用
【点评】
本题结合实际促销场景命题，解题时需注意结合实际意义对解出的结果进行检验，不能直接套用公式计算，同时要完整讨论所有可能的购买情况，避免漏判购买商店的可能性。
【难度系数】
0.6
解题时需分两种情况讨论：先判断是否在乙店购买，计算乙店单部手机价格，用总花费除以单价看购买数量是否为正整数；再判断是否在甲店购买，先根据甲店最低单价限制求出最多可购买的数量，再设购买数量为x，根据“单价×数量=总花费”列一元二次方程求解，最后检验解是否符合甲店的单价限制要求，排除不合理解即可得到答案。
【解析】
① 假设该公司在乙商店购买：
乙商店单部手机单价：$1600 × 0.75 = 1200$（元）
可购买数量：$15000 ÷ 1200 = 12.5$（部）
手机数量为正整数，因此不可能在乙商店购买。
② 假设该公司在甲商店购买，设购买了$x$部手机：
首先根据甲店最低单价不低于880元，列不等式：
$1600 - 40x ≥ 880$
解得：$x ≤ 18$
根据总花费列方程：
$x(1600 - 40x) = 15000$
整理得：$x^2 - 40x + 375 = 0$
因式分解得：$(x - 15)(x - 25) = 0$
解得：$x_1 = 15$，$x_2 = 25$
因为$x ≤ 18$，所以$x_2 = 25$不符合要求，舍去。
检验：当$x=15$时，单部单价为$1600 - 40 × 15 = 1000$元$＞880$元，符合要求，总花费$15 × 1000 = 15000$元，符合题意。
【答案】
在甲店购买了15部手机
【知识点】
一元二次方程应用，分类讨论，不等式应用
【点评】
本题结合实际促销场景命题，解题时需注意结合实际意义对解出的结果进行检验，不能直接套用公式计算，同时要完整讨论所有可能的购买情况，避免漏判购买商店的可能性。
【难度系数】
0.6
