登录
8. 小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高，小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有。数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能知道！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A，B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150m，CD=10m，∠A=30°，∠B=45°.(A,C,D,B四点在同一直线上）
（1）楼高多少米？（保留根号）
（2）若每层楼按3m计算，你支持小明还是小华的观点？请说明理由.（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{5} \approx 2.24$）
（1）楼高多少米？（保留根号）
（2）若每层楼按3m计算，你支持小明还是小华的观点？请说明理由.（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{5} \approx 2.24$）
答案
8.(1)$(70\sqrt{3}-70)$米 (2)$70\sqrt{3}-70≈51.1＜60$,支持小华的观点
解析
【分析】
要解决本题，首先明确矩形CDEF的边CF、DE均为楼高且长度相等，我们可以设楼高为x米。利用特殊角的三角函数值，分别在Rt△ACF和Rt△DEB中表示出AC、DB的长度，再根据“AC+CD+DB=AB”的线段和关系列方程，即可求出楼高；第二问先计算20层楼的总高度，再将第一问所求楼高取近似值与该高度比较，即可判断谁的观点正确。
【解析】
（1）设楼高为x米。
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=x米，且FC⊥AB，ED⊥AB。
在Rt△ACF中，∠A=30°，$\tan A=\frac{CF}{AC}$，
∴$AC=\frac{CF}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$米。
在Rt△DEB中，∠B=45°，∠EDB=90°，
∴△DEB是等腰直角三角形，即$DB=DE=x$米。
∵A、C、D、B四点共线，AB=150m，CD=10m，
∴$AC+CD+DB=AB$，代入得：
$\sqrt{3}x + 10 + x = 150$
整理得：$x(\sqrt{3}+1)=140$
解得：$x=\frac{140}{\sqrt{3}+1}=\frac{140(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=70\sqrt{3}-70$。
（2）支持小华的观点，理由如下：
20层楼的总高度为$20×3=60$米。
将$\sqrt{3}\approx1.73$代入楼高得：
$70\sqrt{3}-70\approx70×1.73 -70=51.1$米，
∵$51.1＜60$，
∴楼高不足20层，支持小华的观点。
【答案】
（1）$(70\sqrt{3}-70)$米
（2）支持小华的观点，理由：$70\sqrt{3}-70≈51.1＜60$，楼高不足20层。
【知识点】
解直角三角形应用；特殊角三角函数；矩形性质
【点评】
本题以实际测量楼高为背景，考查了直角三角形的相关应用，解题关键是结合图形找到线段的等量关系列方程求解，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确矩形CDEF的边CF、DE均为楼高且长度相等，我们可以设楼高为x米。利用特殊角的三角函数值，分别在Rt△ACF和Rt△DEB中表示出AC、DB的长度，再根据“AC+CD+DB=AB”的线段和关系列方程，即可求出楼高；第二问先计算20层楼的总高度，再将第一问所求楼高取近似值与该高度比较，即可判断谁的观点正确。
【解析】
（1）设楼高为x米。
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=x米，且FC⊥AB，ED⊥AB。
在Rt△ACF中，∠A=30°，$\tan A=\frac{CF}{AC}$，
∴$AC=\frac{CF}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$米。
在Rt△DEB中，∠B=45°，∠EDB=90°，
∴△DEB是等腰直角三角形，即$DB=DE=x$米。
∵A、C、D、B四点共线，AB=150m，CD=10m，
∴$AC+CD+DB=AB$，代入得：
$\sqrt{3}x + 10 + x = 150$
整理得：$x(\sqrt{3}+1)=140$
解得：$x=\frac{140}{\sqrt{3}+1}=\frac{140(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=70\sqrt{3}-70$。
（2）支持小华的观点，理由如下：
20层楼的总高度为$20×3=60$米。
将$\sqrt{3}\approx1.73$代入楼高得：
$70\sqrt{3}-70\approx70×1.73 -70=51.1$米，
∵$51.1＜60$，
∴楼高不足20层，支持小华的观点。
【答案】
（1）$(70\sqrt{3}-70)$米
（2）支持小华的观点，理由：$70\sqrt{3}-70≈51.1＜60$，楼高不足20层。
【知识点】
解直角三角形应用；特殊角三角函数；矩形性质
【点评】
本题以实际测量楼高为背景，考查了直角三角形的相关应用，解题关键是结合图形找到线段的等量关系列方程求解，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
9. 若$x,y$是实数，且$y=\sqrt{1-4x}+\sqrt{4x-1}+4$，求$\sqrt{\dfrac{x}{y}+2+\dfrac{y}{x}}-\sqrt{\dfrac{x}{y}-2+\dfrac{y}{x}}$的值.
答案
9.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算所求代数式的值，首先需要确定x和y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于x的不等式组，解出x的值，进而求出y的值。得到x、y的值后，代入所求代数式化简计算即可，注意二次根式开方结果为非负数。
【解析】
第一步：求x的取值
根据二次根式被开方数非负，可得：
$\begin{cases}1-4x≥0 \\ 4x-1≥0\end{cases}$
两个不等式同时成立，只能$1-4x=4x-1=0$，解得$x=\dfrac{1}{4}$。
第二步：求y的取值
将$x=\dfrac{1}{4}$代入$y=\sqrt{1-4x}+\sqrt{4x-1}+4$，得：
$y=0+0+4=4$
第三步：计算所求代数式的值
先计算$\dfrac{x}{y}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{4}=\dfrac{1}{16}$，$\dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16$。
代入原式：
$\sqrt{\dfrac{1}{16}+2+16}-\sqrt{\dfrac{1}{16}-2+16}$
$=\sqrt{\dfrac{289}{16}}-\sqrt{\dfrac{225}{16}}$
$=\dfrac{17}{4}-\dfrac{15}{4}$
$=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的运算；完全平方公式
【点评】
本题解题的核心是先利用二次根式的被开方数非负性确定未知参数的值，再代入计算，计算过程中要注意二次根式开方结果的非负性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要计算所求代数式的值，首先需要确定x和y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可列出关于x的不等式组，解出x的值，进而求出y的值。得到x、y的值后，代入所求代数式化简计算即可，注意二次根式开方结果为非负数。
【解析】
第一步：求x的取值
根据二次根式被开方数非负，可得：
$\begin{cases}1-4x≥0 \\ 4x-1≥0\end{cases}$
两个不等式同时成立，只能$1-4x=4x-1=0$，解得$x=\dfrac{1}{4}$。
第二步：求y的取值
将$x=\dfrac{1}{4}$代入$y=\sqrt{1-4x}+\sqrt{4x-1}+4$，得：
$y=0+0+4=4$
第三步：计算所求代数式的值
先计算$\dfrac{x}{y}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{4}=\dfrac{1}{16}$，$\dfrac{y}{x}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{4}}=16$。
代入原式：
$\sqrt{\dfrac{1}{16}+2+16}-\sqrt{\dfrac{1}{16}-2+16}$
$=\sqrt{\dfrac{289}{16}}-\sqrt{\dfrac{225}{16}}$
$=\dfrac{17}{4}-\dfrac{15}{4}$
$=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的运算；完全平方公式
【点评】
本题解题的核心是先利用二次根式的被开方数非负性确定未知参数的值，再代入计算，计算过程中要注意二次根式开方结果的非负性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
