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1. 下列根式中,不属于最简二次根式的是(
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{21}$
C
).A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{21}$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要牢记最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式；二是被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式。解题时我们只需要逐个验证四个选项是否满足这两个条件，不满足的即为本题答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：
①被开方数的因数为整数，因式为整式；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{2}$的被开方数2是整数，且不存在除1以外的完全平方因数，属于最简二次根式；
B选项：$\sqrt{6}$的被开方数6分解质因数为$2×3$，不存在完全平方因数，属于最简二次根式；
C选项：$\sqrt{8}$的被开方数8分解质因数为$2^2×2$，其中$2^2$是能开得尽方的因数，因此$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不属于最简二次根式；
D选项：$\sqrt{21}$的被开方数21分解质因数为$3×7$，不存在完全平方因数，属于最简二次根式。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对最简二次根式判定标准的记忆与应用，解题时注意将被开方数分解为质因数的乘积，即可快速判断是否存在可开方的因数，避免出错。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要牢记最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式；二是被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式。解题时我们只需要逐个验证四个选项是否满足这两个条件，不满足的即为本题答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：
①被开方数的因数为整数，因式为整式；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{2}$的被开方数2是整数，且不存在除1以外的完全平方因数，属于最简二次根式；
B选项：$\sqrt{6}$的被开方数6分解质因数为$2×3$，不存在完全平方因数，属于最简二次根式；
C选项：$\sqrt{8}$的被开方数8分解质因数为$2^2×2$，其中$2^2$是能开得尽方的因数，因此$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不属于最简二次根式；
D选项：$\sqrt{21}$的被开方数21分解质因数为$3×7$，不存在完全平方因数，属于最简二次根式。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对最简二次根式判定标准的记忆与应用，解题时注意将被开方数分解为质因数的乘积，即可快速判断是否存在可开方的因数，避免出错。
【难度系数】
0.85
2. 若$x=\sqrt{2}+1$，则$x^2-2x+1$的值是________.
答案
2.2
解析
【分析】
本题是代数式求值类题目，解题时首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的形式，因此可以先通过因式分解将代数式化简为$(x-1)^2$，再代入$x$的值计算，能避免直接计算$x^2$带来的复杂根式运算，提升计算效率和准确率。如果没有想到因式分解，也可以直接将$x$的值代入原式逐步计算。
【解析】
方法一（因式分解法）：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将$x=\sqrt{2}+1$代入上式：
原式$=(\sqrt{2}+1-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
方法二（直接代入法）：
将$x=\sqrt{2}+1$直接代入原式：
首先计算$x^2=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
再计算$-2x=-2×(\sqrt{2}+1)=-2\sqrt{2}-2$
因此原式$=3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2+1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式运算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是观察代数式结构，优先选择因式分解化简后再代入计算，能大幅降低运算量，减少出错概率，是二次根式相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.85
本题是代数式求值类题目，解题时首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2x+1$符合完全平方差公式的形式，因此可以先通过因式分解将代数式化简为$(x-1)^2$，再代入$x$的值计算，能避免直接计算$x^2$带来的复杂根式运算，提升计算效率和准确率。如果没有想到因式分解，也可以直接将$x$的值代入原式逐步计算。
【解析】
方法一（因式分解法）：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$
将$x=\sqrt{2}+1$代入上式：
原式$=(\sqrt{2}+1-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
方法二（直接代入法）：
将$x=\sqrt{2}+1$直接代入原式：
首先计算$x^2=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
再计算$-2x=-2×(\sqrt{2}+1)=-2\sqrt{2}-2$
因此原式$=3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2+1=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式运算
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是观察代数式结构，优先选择因式分解化简后再代入计算，能大幅降低运算量，减少出错概率，是二次根式相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.85
3. 若式子$\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是________.
答案
3.$x≥-2$且$x≠1$
解析
【分析】
要使含有二次根式和分式的式子有意义，需要同时满足两类限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们先分别列出对应不等式，再求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+2≥ 0$，解得$x≥ -2$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠ 0$，解得$x≠ 1$。
结合两个条件可得x的取值范围是$x≥ -2$且$x≠ 1$。
【答案】
$x≥-2$且$x≠1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的基础常考题，解题核心是先梳理出式子隐含的所有限制条件，分别求解后取公共解集即可，需注意不要遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.85
要使含有二次根式和分式的式子有意义，需要同时满足两类限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们先分别列出对应不等式，再求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+2≥ 0$，解得$x≥ -2$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠ 0$，解得$x≠ 1$。
结合两个条件可得x的取值范围是$x≥ -2$且$x≠ 1$。
【答案】
$x≥-2$且$x≠1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的基础常考题，解题核心是先梳理出式子隐含的所有限制条件，分别求解后取公共解集即可，需注意不要遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.85
4. 若二次根式$\sqrt{3a+5}$是最简二次根式,则最小的正整数$a=$
2
.答案
4.2
解析
【分析】要解决这道题，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数、因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。题目要求最小的正整数a，我们可以从最小的正整数a=1开始依次代入计算被开方数，检验是否满足最简二次根式的条件，找到第一个符合要求的a即可。
【解析】根据最简二次根式的判定要求，被开方数不能含有能开得尽方的因数。
已知a是正整数，从最小的正整数开始逐一验证：
当a=1时，$3a+5=3×1+5=8$，8含有能开得尽方的因数4（$4=2^2$），因此$\sqrt{8}$不是最简二次根式，不符合要求；
当a=2时，$3a+5=3×2+5=11$，11是质数，不含能开得尽方的因数，因此$\sqrt{11}$是最简二次根式，符合要求。
综上，最小的正整数a为2。
【答案】2
【知识点】最简二次根式的定义；二次根式的判定
【点评】本题考查最简二次根式概念的实际应用，采用枚举最小正整数逐一验证的方法可快速求解，牢记最简二次根式的两个判定条件是做对这类题的核心。
【难度系数】0.8
【解析】根据最简二次根式的判定要求，被开方数不能含有能开得尽方的因数。
已知a是正整数，从最小的正整数开始逐一验证：
当a=1时，$3a+5=3×1+5=8$，8含有能开得尽方的因数4（$4=2^2$），因此$\sqrt{8}$不是最简二次根式，不符合要求；
当a=2时，$3a+5=3×2+5=11$，11是质数，不含能开得尽方的因数，因此$\sqrt{11}$是最简二次根式，符合要求。
综上，最小的正整数a为2。
【答案】2
【知识点】最简二次根式的定义；二次根式的判定
【点评】本题考查最简二次根式概念的实际应用，采用枚举最小正整数逐一验证的方法可快速求解，牢记最简二次根式的两个判定条件是做对这类题的核心。
【难度系数】0.8
5. 已知$\sqrt{5}$的整数部分是$x$，小数部分是$y$，则$x-y=$
$4-\sqrt{5}$
.答案
5.$4-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确无理数整数部分和小数部分的确定逻辑：先估算出目标无理数在哪两个相邻整数之间，较小的整数就是它的整数部分，用无理数减去整数部分即可得到小数部分，最后代入代数式计算即可。第一步先估算$\sqrt{5}$的取值范围，第二步分别确定$x$、$y$的值，第三步代入$x-y$计算最终结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的取值范围
∵ $4＜5＜9$
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
第二步：确定$x$、$y$的值
$\sqrt{5}$的整数部分$x=2$
$\sqrt{5}$的小数部分$y=\sqrt{5}-x=\sqrt{5}-2$
第三步：代入计算$x-y$
$x-y=2-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$
【答案】
$4-\sqrt{5}$
【知识点】
无理数的估算；实数的整数与小数部分；二次根式加减运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题关键是正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号变化规则，掌握估算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确无理数整数部分和小数部分的确定逻辑：先估算出目标无理数在哪两个相邻整数之间，较小的整数就是它的整数部分，用无理数减去整数部分即可得到小数部分，最后代入代数式计算即可。第一步先估算$\sqrt{5}$的取值范围，第二步分别确定$x$、$y$的值，第三步代入$x-y$计算最终结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的取值范围
∵ $4＜5＜9$
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
第二步：确定$x$、$y$的值
$\sqrt{5}$的整数部分$x=2$
$\sqrt{5}$的小数部分$y=\sqrt{5}-x=\sqrt{5}-2$
第三步：代入计算$x-y$
$x-y=2-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$
【答案】
$4-\sqrt{5}$
【知识点】
无理数的估算；实数的整数与小数部分；二次根式加减运算
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题关键是正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号变化规则，掌握估算方法就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 计算.
(1) $(-2)^2 - \sqrt{25} + \sqrt{3^2}$
(2) $\sqrt{27} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{2} + \sqrt{(-4)^2}$
(3) $(2\sqrt{3} - 2)(2 + 2\sqrt{3}) - (3\sqrt{3} - 1)^2$
(4) $\sqrt{1\dfrac{3}{5}} × 2\sqrt{3} × (-\dfrac{1}{2}\sqrt{10})$
(1) $(-2)^2 - \sqrt{25} + \sqrt{3^2}$
(2) $\sqrt{27} - \sqrt{24} ÷ \sqrt{2} + \sqrt{(-4)^2}$
(3) $(2\sqrt{3} - 2)(2 + 2\sqrt{3}) - (3\sqrt{3} - 1)^2$
(4) $\sqrt{1\dfrac{3}{5}} × 2\sqrt{3} × (-\dfrac{1}{2}\sqrt{10})$
答案
6.(1)2 (2)$\sqrt{3}+4$ (3)$-20+6\sqrt{3}$ (4)$-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
这组题目为二次根式的混合运算，解题遵循实数运算顺序：先计算乘方、开方，再计算乘除，最后计算加减，有括号优先计算括号内的内容。遇到符合乘法公式结构的式子，可优先用平方差、完全平方公式简化计算，避免硬算出错；计算过程中先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，同时注意运算符号的处理。
【解析】
(1) 先分别计算乘方、开方，再按从左到右顺序计算：
原式$=4 - 5 + 3 = 2$
(2) 先化简二次根式、计算二次根式除法和开方，再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3} - \sqrt{24÷2} + 4 = 3\sqrt{3} - \sqrt{12} + 4 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4 = \sqrt{3} + 4$
(3) 前半部分用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算，后半部分用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算，再去括号合并：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - 2^2 - [(3\sqrt{3})^2 - 2×3\sqrt{3}×1 + 1^2]$
$=12 - 4 - (27 - 6\sqrt{3} + 1)$
$=8 - 28 + 6\sqrt{3}$
$=-20 + 6\sqrt{3}$
(4) 将系数和二次根式分别归类计算，再将结果相乘：
原式$=2×(-\frac{1}{2}) × \sqrt{1\frac{3}{5}×3×10}$
$=-1 × \sqrt{\frac{8}{5}×3×10}$
$=-\sqrt{48} = -4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $2$；(2) $\sqrt{3}+4$；(3) $-20+6\sqrt{3}$；(4) $-4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的混合运算，乘法公式的应用
【点评】
本题侧重考查二次根式的运算能力，解题时需严格遵循运算顺序，灵活运用乘法公式可大幅简化计算过程，计算时要注意二次根式化简结果为最简形式，同时注意运算符号的正确性，避免去括号、系数计算时出错。
【难度系数】
0.7
这组题目为二次根式的混合运算，解题遵循实数运算顺序：先计算乘方、开方，再计算乘除，最后计算加减，有括号优先计算括号内的内容。遇到符合乘法公式结构的式子，可优先用平方差、完全平方公式简化计算，避免硬算出错；计算过程中先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，同时注意运算符号的处理。
【解析】
(1) 先分别计算乘方、开方，再按从左到右顺序计算：
原式$=4 - 5 + 3 = 2$
(2) 先化简二次根式、计算二次根式除法和开方，再合并同类二次根式：
原式$=3\sqrt{3} - \sqrt{24÷2} + 4 = 3\sqrt{3} - \sqrt{12} + 4 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4 = \sqrt{3} + 4$
(3) 前半部分用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算，后半部分用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算，再去括号合并：
原式$=(2\sqrt{3})^2 - 2^2 - [(3\sqrt{3})^2 - 2×3\sqrt{3}×1 + 1^2]$
$=12 - 4 - (27 - 6\sqrt{3} + 1)$
$=8 - 28 + 6\sqrt{3}$
$=-20 + 6\sqrt{3}$
(4) 将系数和二次根式分别归类计算，再将结果相乘：
原式$=2×(-\frac{1}{2}) × \sqrt{1\frac{3}{5}×3×10}$
$=-1 × \sqrt{\frac{8}{5}×3×10}$
$=-\sqrt{48} = -4\sqrt{3}$
【答案】
(1) $2$；(2) $\sqrt{3}+4$；(3) $-20+6\sqrt{3}$；(4) $-4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的性质，二次根式的混合运算，乘法公式的应用
【点评】
本题侧重考查二次根式的运算能力，解题时需严格遵循运算顺序，灵活运用乘法公式可大幅简化计算过程，计算时要注意二次根式化简结果为最简形式，同时注意运算符号的正确性，避免去括号、系数计算时出错。
【难度系数】
0.7
7. 已知 $a=1+\sqrt{2}\ ,b=\sqrt{3}\ ,$ 求 $a^2+b^2-2a+1$ 的值.
答案
7.5
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现式子中的$a^2-2a+1$符合完全平方公式的特征，因此可以先利用完全平方公式对代数式进行化简，将其转化为更简便的形式后再代入$a$、$b$的值计算，避免直接展开计算带来的繁琐运算，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - 2a + 1&=(a^2 - 2a + 1) + b^2\\&=(a-1)^2 + b^2\end{aligned}$
将$a=1+\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$代入化简后的式子：
$\because a-1=(1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}$，$\therefore (a-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
又$\because b^2=(\sqrt{3})^2=3$
$\therefore$原式$=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，代数式求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，核心是学会观察代数式的结构，优先选择化简后代入的方法计算，比直接代入原始数值运算更简便。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，发现式子中的$a^2-2a+1$符合完全平方公式的特征，因此可以先利用完全平方公式对代数式进行化简，将其转化为更简便的形式后再代入$a$、$b$的值计算，避免直接展开计算带来的繁琐运算，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - 2a + 1&=(a^2 - 2a + 1) + b^2\\&=(a-1)^2 + b^2\end{aligned}$
将$a=1+\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$代入化简后的式子：
$\because a-1=(1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}$，$\therefore (a-1)^2=(\sqrt{2})^2=2$
又$\because b^2=(\sqrt{3})^2=3$
$\therefore$原式$=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，代数式求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，核心是学会观察代数式的结构，优先选择化简后代入的方法计算，比直接代入原始数值运算更简便。
【难度系数】
0.8
