（1）如图1所示，用两块$a×b$型的长方形和$a×a$型，$b×b$型的小正方形硬纸片拼成一个新的大正方形.用两种不同的方法计算图1中大正方形的面积.
（2）如图2所示，用若干块$a×b$型的小长方形和$a×a$型，$b×b$型的小正方形硬纸片拼成一个新的大长方形，试由图形推出$2a^2+3ab+b^2$因式分解的结果.
（3）请你用拼图的方法推出$a^2+4ab+3b^2$因式分解的结果，并画出你的拼图.

解:（1）大正方形的面积：方法1：$a^2+2ab+b^2$；方法2：$(a+b)^2$.
（2）由图形可得$2a^2+3ab+b^2=(a+b)(2a+b)$.
（3）如图，由图形可得$a^2+4ab+3b^2=(a+b)(a+3b)$.拼图见.

【分析】
（1）计算大正方形面积可从两个角度思考：一是将大正方形分割成4个小图形，把4个小图形的面积相加得到总面积；二是直接确定大正方形的边长，利用正方形面积公式计算。
（2）推导$2a^2+3ab+b^2$的因式分解结果，先分别计算大长方形的总面积（长×宽）和各小图形的面积和，二者相等即可得到因式分解结果。
（3）推导$a^2+4ab+3b^2$的因式分解结果，首先分析多项式各部分的系数：需要1块$a×a$型正方形、3块$b×b$型正方形、4块$a×b$型长方形，将这些图形拼成大长方形，再通过大长方形长和宽的乘积得到对应的因式分解结果。
【解析】
（1）方法1：将大正方形拆分为1个$a×a$正方形、2个$a×b$长方形、1个$b×b$正方形，面积和为$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2+2ab+b^2$。
方法2：观察得大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，面积为$(a+b)(a+b)=(a+b)^2$。
（2）观察图2的大长方形：宽为$a+b$，长为$2a+b$，因此面积为$(a+b)(2a+b)$；同时大长方形由2个$a×a$正方形、3个$a×b$长方形、1个$b×b$正方形组成，面积和为$2a^2+3ab+b^2$，二者面积相等，因此$2a^2+3ab+b^2=(a+b)(2a+b)$。
（3）$a^2+4ab+3b^2$对应1块$a×a$正方形、4块$a×b$长方形、3块$b×b$正方形，将这些图形拼为一个大长方形，大长方形的宽为$a+b$，长为$a+3b$，因此面积为$(a+b)(a+3b)$，可得$a^2+4ab+3b^2=(a+b)(a+3b)$。
【答案】
（1）方法1：$\boxed{a^2+2ab+b^2}$；方法2：$\boxed{(a+b)^2}$
（2）$\boxed{2a^2+3ab+b^2=(a+b)(2a+b)}$
（3）$\boxed{a^2+4ab+3b^2=(a+b)(a+3b)}$，拼图见
【知识点】
1. 因式分解的几何意义
2. 整式乘法
3. 面积法解题
【点评】
本题以拼图为载体，将代数运算和几何面积计算结合，考查了整式乘法和因式分解的互逆关系，体现了数形结合的数学思想，解题关键是找准图形边长与代数式的对应关系。
【难度系数】
0.7