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4. 写出一个能用平方差公式分解因式的多项式：
$a^2-4$（合理即可）
.答案
4. $a^2-4$（合理即可）
解析
【分析】
要构造符合要求的多项式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此能用该公式分解的多项式需满足三个特征：①共有两项；②每一项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项符号相反，一正一负。我们只需按照这三个特征构造多项式即可，例如选取$a^2$和$2^2=4$这两个平方项，用减号连接就能得到符合要求的多项式。
【解析】
平方差公式分解因式的表达式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，即两个整式的平方差可以分解为这两个整式的和与差的乘积。
我们构造多项式$a^2 - 4$，该式可改写为$a^2 - 2^2$，完全符合平方差公式的结构特征，可分解为$(a+2)(a-2)$，满足题目要求（答案不唯一，形如$m^2-n^2$的多项式均正确）。
【答案】
$a^2-4$（合理即可）
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的概念
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对平方差公式结构特征的掌握，只要牢记平方差公式是两项异号的平方项的差，就能轻松写出符合要求的多项式，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
要构造符合要求的多项式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此能用该公式分解的多项式需满足三个特征：①共有两项；②每一项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项符号相反，一正一负。我们只需按照这三个特征构造多项式即可，例如选取$a^2$和$2^2=4$这两个平方项，用减号连接就能得到符合要求的多项式。
【解析】
平方差公式分解因式的表达式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，即两个整式的平方差可以分解为这两个整式的和与差的乘积。
我们构造多项式$a^2 - 4$，该式可改写为$a^2 - 2^2$，完全符合平方差公式的结构特征，可分解为$(a+2)(a-2)$，满足题目要求（答案不唯一，形如$m^2-n^2$的多项式均正确）。
【答案】
$a^2-4$（合理即可）
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的概念
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对平方差公式结构特征的掌握，只要牢记平方差公式是两项异号的平方项的差，就能轻松写出符合要求的多项式，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
5. 因式分解：$a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2 =$
$(a+\frac{1}{2}b)^2$
.答案
5. $(a+\frac{1}{2}b)^2$
解析
【分析】
首先观察待因式分解的多项式结构：该式共有三项，其中两项为平方项，分别是$a^2$、$\frac{1}{4}b^2$（即$(\frac{1}{2}b)^2$），剩余一项$ab$恰好是两个平方项底数乘积的2倍，完全符合完全平方和公式的结构特征，因此我们可以套用完全平方和公式完成因式分解，解题时先将多项式变形为完全平方公式的标准形式，再代入公式计算即可。
【解析】
解：对原式进行变形可得：
$a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2 = a^2 + 2· a · \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2$
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，令$m=a$，$n=\frac{1}{2}b$，代入得：
$原式=(a+\frac{1}{2}b)^2$
【答案】
$(a+\frac{1}{2}b)^2$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，主要考查对完全平方公式结构的识别与应用能力，解题核心是准确找到两个平方项对应的底数，验证中间项是否为底数乘积的2倍，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先观察待因式分解的多项式结构：该式共有三项，其中两项为平方项，分别是$a^2$、$\frac{1}{4}b^2$（即$(\frac{1}{2}b)^2$），剩余一项$ab$恰好是两个平方项底数乘积的2倍，完全符合完全平方和公式的结构特征，因此我们可以套用完全平方和公式完成因式分解，解题时先将多项式变形为完全平方公式的标准形式，再代入公式计算即可。
【解析】
解：对原式进行变形可得：
$a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2 = a^2 + 2· a · \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2$
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，令$m=a$，$n=\frac{1}{2}b$，代入得：
$原式=(a+\frac{1}{2}b)^2$
【答案】
$(a+\frac{1}{2}b)^2$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，主要考查对完全平方公式结构的识别与应用能力，解题核心是准确找到两个平方项对应的底数，验证中间项是否为底数乘积的2倍，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6. 在分解因式$x^2+ax+b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果为$(x+6)(x-1)$；乙看错了$b$的值，分解的结果为$(x-2)(x+1)$，求正确的$a$，$b$的值。
答案
6. $\because (x+6)(x-1)=x^2+5x-6$，
甲看错了$a$的值，$b$的值未看错，$\therefore b=-6$.
$\because (x-2)(x+1)=x^2-x-2$，
乙看错了$b$的值，$a$的值未看错，$\therefore a=-1$，
$\therefore$ 正确的$a$，$b$的值分别是$-1$和$-6$.
甲看错了$a$的值，$b$的值未看错，$\therefore b=-6$.
$\because (x-2)(x+1)=x^2-x-2$，
乙看错了$b$的值，$a$的值未看错，$\therefore a=-1$，
$\therefore$ 正确的$a$，$b$的值分别是$-1$和$-6$.
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算，将因式分解的结果展开即可得到对应的多项式。甲仅看错a的值，说明他计算时b的值是正确的，因此展开甲的分解结果，取所得多项式的常数项即为正确的b值；乙仅看错b的值，说明他计算时a的值是正确的，因此展开乙的分解结果，取所得多项式的一次项系数即为正确的a值。
【解析】
首先展开甲的分解结果：
$\because (x+6)(x-1)=x^2 -x +6x -6 = x^2 +5x -6$
甲看错了$a$的值但$b$的值未看错，所以常数项正确，可得$\boldsymbol{b=-6}$。
再展开乙的分解结果：
$\because (x-2)(x+1)=x^2 +x -2x -2 = x^2 -x -2$
乙看错了$b$的值但$a$的值未看错，所以一次项系数正确，可得$\boldsymbol{a=-1}$。
【答案】
正确的$a$的值为$-1$，$b$的值为$-6$
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 因式分解与整式乘法的互逆关系
【点评】
本题考查对因式分解和整式乘法互逆性的应用，解题关键是明确看错某一系数时，另一系数不受影响，只需对应提取正确的系数即可，侧重对概念理解能力的考查。
【难度系数】
0.7
因式分解与整式乘法是互逆运算，将因式分解的结果展开即可得到对应的多项式。甲仅看错a的值，说明他计算时b的值是正确的，因此展开甲的分解结果，取所得多项式的常数项即为正确的b值；乙仅看错b的值，说明他计算时a的值是正确的，因此展开乙的分解结果，取所得多项式的一次项系数即为正确的a值。
【解析】
首先展开甲的分解结果：
$\because (x+6)(x-1)=x^2 -x +6x -6 = x^2 +5x -6$
甲看错了$a$的值但$b$的值未看错，所以常数项正确，可得$\boldsymbol{b=-6}$。
再展开乙的分解结果：
$\because (x-2)(x+1)=x^2 +x -2x -2 = x^2 -x -2$
乙看错了$b$的值但$a$的值未看错，所以一次项系数正确，可得$\boldsymbol{a=-1}$。
【答案】
正确的$a$的值为$-1$，$b$的值为$-6$
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 因式分解与整式乘法的互逆关系
【点评】
本题考查对因式分解和整式乘法互逆性的应用，解题关键是明确看错某一系数时，另一系数不受影响，只需对应提取正确的系数即可，侧重对概念理解能力的考查。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a+b=3$，$ab=2$，求代数式$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$的值为（
A.6
B.18
C.28
D.50
B
）A.6
B.18
C.28
D.50
答案
7. B
解析
【分析】
本题如果直接求解a、b的具体值再代入计算会比较繁琐，我们可以先观察所求代数式的结构特征：代数式每一项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的形式，可进一步因式分解为含(a+b)和ab的式子，最后将已知的a+b和ab的值整体代入计算即可，无需单独求a、b的值。
【解析】
对代数式$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$因式分解：
第一步：提取公因式$ab$，得：
原式$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
第二步：根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，进一步变形得：
原式$=ab(a+b)^2$
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式：
$ab(a+b)^2=2×3^2=2×9=18$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是利用整体代入思想简化计算，解题时要先观察代数式的结构，选择合适的因式分解方法将代数式转化为含已知条件的形式，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.7
本题如果直接求解a、b的具体值再代入计算会比较繁琐，我们可以先观察所求代数式的结构特征：代数式每一项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的形式，可进一步因式分解为含(a+b)和ab的式子，最后将已知的a+b和ab的值整体代入计算即可，无需单独求a、b的值。
【解析】
对代数式$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$因式分解：
第一步：提取公因式$ab$，得：
原式$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
第二步：根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，进一步变形得：
原式$=ab(a+b)^2$
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式：
$ab(a+b)^2=2×3^2=2×9=18$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是利用整体代入思想简化计算，解题时要先观察代数式的结构，选择合适的因式分解方法将代数式转化为含已知条件的形式，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.7
8. 数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是$x^2+2mx+16$能在有理数的范围内因式分解，则整数$m$的值有几个. 小军和小华为此争论不休，请你判断整数$m$的值有几个？（
A.4
B.5
C.6
D.8
A
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
8. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用$x^2+px+q$型二次三项式的因式分解规律：形如$x^2+px+q$的二次三项式，如果能分解为$(x+a)(x+b)$，那么必须满足$q=ab$，$p=a+b$。本题中二次三项式是$x^2+2mx+16$，常数项为16，一次项系数为$2m$，且要求m为整数、分解在有理数范围内，因此我们只需要找出所有乘积为16的整数因数对，计算每对因数的和，再判断和是否为偶数（保证m是整数），统计符合条件的不同m的个数即可。
【解析】
设$x^2+2mx+16=(x+a)(x+b)$，将右边展开可得：
$x^2+(a+b)x+ab$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
$ab=16$，$a+b=2m$
因为m是整数，所以$a+b$必须是偶数，且有理数范围内分解、首项系数为1时，a、b必为整数。
接下来列出所有乘积为16的整数因数对：
1. $1×16=16$，和为$1+16=17$，是奇数，不符合$a+b=2m$（2m是偶数），排除；
2. $(-1)×(-16)=16$，和为$-1+(-16)=-17$，是奇数，排除；
3. $2×8=16$，和为$2+8=10$，则$2m=10$，解得$m=5$；
4. $(-2)×(-8)=16$，和为$-2+(-8)=-10$，则$2m=-10$，解得$m=-5$；
5. $4×4=16$，和为$4+4=8$，则$2m=8$，解得$m=4$；
6. $(-4)×(-4)=16$，和为$-4+(-4)=-8$，则$2m=-8$，解得$m=-4$；
其余因数对（如8×2、16×1等）的和与上述情况重复，得到的m也相同。
综上，符合条件的整数m为4、-4、5、-5，共4个。
【答案】
A
【知识点】
十字相乘法因式分解；多项式对应系数相等；整数因数求解
【点评】
本题解题的核心是掌握十字相乘法因式分解的系数对应关系，易错点是容易忽略负因数对，或者误将和为奇数的情况得到的非整数m计入结果，解题时要注意分类讨论所有可能的因数组合，再筛选符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用$x^2+px+q$型二次三项式的因式分解规律：形如$x^2+px+q$的二次三项式，如果能分解为$(x+a)(x+b)$，那么必须满足$q=ab$，$p=a+b$。本题中二次三项式是$x^2+2mx+16$，常数项为16，一次项系数为$2m$，且要求m为整数、分解在有理数范围内，因此我们只需要找出所有乘积为16的整数因数对，计算每对因数的和，再判断和是否为偶数（保证m是整数），统计符合条件的不同m的个数即可。
【解析】
设$x^2+2mx+16=(x+a)(x+b)$，将右边展开可得：
$x^2+(a+b)x+ab$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
$ab=16$，$a+b=2m$
因为m是整数，所以$a+b$必须是偶数，且有理数范围内分解、首项系数为1时，a、b必为整数。
接下来列出所有乘积为16的整数因数对：
1. $1×16=16$，和为$1+16=17$，是奇数，不符合$a+b=2m$（2m是偶数），排除；
2. $(-1)×(-16)=16$，和为$-1+(-16)=-17$，是奇数，排除；
3. $2×8=16$，和为$2+8=10$，则$2m=10$，解得$m=5$；
4. $(-2)×(-8)=16$，和为$-2+(-8)=-10$，则$2m=-10$，解得$m=-5$；
5. $4×4=16$，和为$4+4=8$，则$2m=8$，解得$m=4$；
6. $(-4)×(-4)=16$，和为$-4+(-4)=-8$，则$2m=-8$，解得$m=-4$；
其余因数对（如8×2、16×1等）的和与上述情况重复，得到的m也相同。
综上，符合条件的整数m为4、-4、5、-5，共4个。
【答案】
A
【知识点】
十字相乘法因式分解；多项式对应系数相等；整数因数求解
【点评】
本题解题的核心是掌握十字相乘法因式分解的系数对应关系，易错点是容易忽略负因数对，或者误将和为奇数的情况得到的非整数m计入结果，解题时要注意分类讨论所有可能的因数组合，再筛选符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
9. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足$a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$，那么这个三角形一定是
直角三角形
。答案
9. 直角三角形
解析
【分析】
首先观察给出的等式，等式中包含三边的平方项、一次项和常数项，解题第一步先将含a、b、c的项全部移到等式左侧，再利用配方法将左侧式子拆分成三个完全平方的和，根据平方的非负性，几个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b、c的具体长度，最后验证三边是否满足勾股定理的逆定理，就能判断三角形的形状。
【解析】
首先对原式进行移项，将右侧的项移到左侧：
$a^2 -6a + b^2 -8b + c^2 -10c +50 = 0$
将常数50拆分为9、16、25的和，分别凑完全平方：
$(a^2 -6a +9) + (b^2 -8b +16) + (c^2 -10c +25) = 0$
根据完全平方公式，上式可变形为：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
因为任意数的平方都是非负数，三个非负数的和为0，说明每个平方项都为0：
$a-3=0，b-4=0，c-5=0$
解得：$a=3，b=4，c=5$
验证三边关系：$3^2 +4^2 =9+16=25=5^2$，即$a^2 +b^2 =c^2$，满足勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，勾股逆定理
【点评】
本题属于代数与几何结合的常考题型，解题核心是熟练掌握配方法凑完全平方，结合非负数的性质求出三边长，再通过勾股逆定理判断三角形形状，难度不大，需要注意配方时分拆常数项要准确。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的等式，等式中包含三边的平方项、一次项和常数项，解题第一步先将含a、b、c的项全部移到等式左侧，再利用配方法将左侧式子拆分成三个完全平方的和，根据平方的非负性，几个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、b、c的具体长度，最后验证三边是否满足勾股定理的逆定理，就能判断三角形的形状。
【解析】
首先对原式进行移项，将右侧的项移到左侧：
$a^2 -6a + b^2 -8b + c^2 -10c +50 = 0$
将常数50拆分为9、16、25的和，分别凑完全平方：
$(a^2 -6a +9) + (b^2 -8b +16) + (c^2 -10c +25) = 0$
根据完全平方公式，上式可变形为：
$(a-3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0$
因为任意数的平方都是非负数，三个非负数的和为0，说明每个平方项都为0：
$a-3=0，b-4=0，c-5=0$
解得：$a=3，b=4，c=5$
验证三边关系：$3^2 +4^2 =9+16=25=5^2$，即$a^2 +b^2 =c^2$，满足勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，勾股逆定理
【点评】
本题属于代数与几何结合的常考题型，解题核心是熟练掌握配方法凑完全平方，结合非负数的性质求出三边长，再通过勾股逆定理判断三角形形状，难度不大，需要注意配方时分拆常数项要准确。
【难度系数】
0.7
10. 对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$这样的完全平方式，可以用公式法将它分解为$(x+a)^2$的形式. 但是对于一般二次三项式，就不一定能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，如$x^2+2ax-3a^2=x^2+2ax+a^2-a^2-3a^2=(x+a)^2-(2a)^2=(x+3a)(x-a)$.像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作配方法.用上述方法把$m^2-6m+8$分解因式.
答案
10. 解: $m^2-6m+8=m^2-6m+9-1=(m-3)^2-1=(m-2)(m-4)$.
解析
【分析】
解题时需仿照题干给出的配方法思路操作：首先观察二次三项式的二次项和一次项，本题二次项为$m^2$，一次项为$-6m$，结合完全平方公式的结构特征，需要加上$9$凑出完全平方式，为保证原式值不变，加$9$后要再减去$9$；再将前三项整理为完全平方的形式，合并剩余常数项后可得到平方差结构，最后用平方差公式分解即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}m^2-6m+8&=m^2-6m+9-9+8\\&=(m-3)^2-1\\&=(m-3)^2-1^2\\&=(m-3+1)(m-3-1)\\&=(m-2)(m-4)\end{aligned}$
【答案】
$(m-2)(m-4)$
【知识点】
配方法分解因式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是配方法因式分解的基础应用，核心是先根据一次项系数凑出完全平方式，再将式子转化为平方差结构完成分解，要求熟练掌握乘法公式的结构特点。
【难度系数】
0.75
解题时需仿照题干给出的配方法思路操作：首先观察二次三项式的二次项和一次项，本题二次项为$m^2$，一次项为$-6m$，结合完全平方公式的结构特征，需要加上$9$凑出完全平方式，为保证原式值不变，加$9$后要再减去$9$；再将前三项整理为完全平方的形式，合并剩余常数项后可得到平方差结构，最后用平方差公式分解即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}m^2-6m+8&=m^2-6m+9-9+8\\&=(m-3)^2-1\\&=(m-3)^2-1^2\\&=(m-3+1)(m-3-1)\\&=(m-2)(m-4)\end{aligned}$
【答案】
$(m-2)(m-4)$
【知识点】
配方法分解因式；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是配方法因式分解的基础应用，核心是先根据一次项系数凑出完全平方式，再将式子转化为平方差结构完成分解，要求熟练掌握乘法公式的结构特点。
【难度系数】
0.75
