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问题情境
【问题提出】定义：任意两个数$a$，$b$，按规则$c = ab + a + b$扩充得到一个新数$c$，称所得的新数$c$为“如意数”.
（1）若$a = \sqrt{2}$，$b = 1$，直接写出$a$，$b$的“如意数”$c$.
（2）如果$a = m - 4$，$b = -m$，求$a$，$b$的“如意数”$c$，并证明“如意数”$c ≤ 0$.
（3）已知$a = x^2 - 1$（$x ≠ 0$），且$a$，$b$的“如意数”$c = x^3 + 3x^2 - 1$，求$b$（用含$x$的式子表示）.
【问题分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断.（2）利用配方法即可解决问题.（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出$b$即可.
【问题解决】
【问题反思】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
【问题提出】定义：任意两个数$a$，$b$，按规则$c = ab + a + b$扩充得到一个新数$c$，称所得的新数$c$为“如意数”.
（1）若$a = \sqrt{2}$，$b = 1$，直接写出$a$，$b$的“如意数”$c$.
（2）如果$a = m - 4$，$b = -m$，求$a$，$b$的“如意数”$c$，并证明“如意数”$c ≤ 0$.
（3）已知$a = x^2 - 1$（$x ≠ 0$），且$a$，$b$的“如意数”$c = x^3 + 3x^2 - 1$，求$b$（用含$x$的式子表示）.
【问题分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断.（2）利用配方法即可解决问题.（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出$b$即可.
【问题解决】
【问题反思】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
答案
（1）$c= \sqrt{2} ×1+ \sqrt{2} +1=2 \sqrt{2} +1$.
（2）$∵c=(m-4)(-m)+(m-4)+(-m)=-m^2+4m-4=-(m-2)^2≤0$,
$∴c≤0$.
（3）由题意$x^3+3x^2-1=(x^2-1) b+(x^2-1)+b$, $∴x^2b=x^3+2x^2$, $∵x≠0$,
$∴b=x+2$.
（2）$∵c=(m-4)(-m)+(m-4)+(-m)=-m^2+4m-4=-(m-2)^2≤0$,
$∴c≤0$.
（3）由题意$x^3+3x^2-1=(x^2-1) b+(x^2-1)+b$, $∴x^2b=x^3+2x^2$, $∵x≠0$,
$∴b=x+2$.
解析
【分析】
（1）直接根据“如意数”的运算规则$c=ab+a+b$，将已知的$a=\sqrt{2}$、$b=1$代入公式，直接计算即可得到$c$的值。
（2）先把$a=m-4$、$b=-m$代入如意数公式，展开后合并同类项，再将所得式子配方为完全平方的相反数形式，结合平方的非负性即可证明$c≤0$。
（3）把已知的$a=x^2-1$和$c=x^3+3x^2-1$代入如意数运算公式，得到关于$b$的方程，通过移项、合并同类项整理后，结合$x≠0$的条件将$b$的系数化为1，即可求出$b$的表达式。
【解析】
（1）根据“如意数”定义$c=ab+a+b$，代入$a=\sqrt{2}$，$b=1$：
$c=\sqrt{2}×1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}+1$
（2）将$a=m-4$，$b=-m$代入公式得：
$\begin{aligned}c&=(m-4)(-m)+(m-4)+(-m)\\&=-m^2+4m+m-4-m\\&=-m^2+4m-4\\&=-(m-2)^2\end{aligned}$
∵平方数具有非负性，即$(m-2)^2≥0$，
∴$-(m-2)^2≤0$，即$c≤0$。
（3）把$a=x^2-1$，$c=x^3+3x^2-1$代入$c=ab+a+b$得：
$x^3+3x^2-1=(x^2-1)b+(x^2-1)+b$
整理右侧含$b$的项：
$\begin{aligned}x^3+3x^2-1&=b(x^2-1+1)+x^2-1\\x^3+3x^2-1&=x^2b+x^2-1\end{aligned}$
移项合并同类项得：$x^3+2x^2=x^2b$
∵$x≠0$，
∴$x^2≠0$，两边同时除以$x^2$得：
$b=x+2$
【答案】
（1）$c=2\sqrt{2}+1$；
（2）$c=-(m-2)^2$，$c≤0$得证；
（3）$b=x+2$
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题以“如意数”新定义为载体，将陌生运算转化为熟悉的整式运算问题，既考查对新规则的理解能力，也考查整式运算、配方等基础技能，解题核心是准确把握新定义的运算逻辑，灵活运用已学知识求解。
【难度系数】
0.7
（1）直接根据“如意数”的运算规则$c=ab+a+b$，将已知的$a=\sqrt{2}$、$b=1$代入公式，直接计算即可得到$c$的值。
（2）先把$a=m-4$、$b=-m$代入如意数公式，展开后合并同类项，再将所得式子配方为完全平方的相反数形式，结合平方的非负性即可证明$c≤0$。
（3）把已知的$a=x^2-1$和$c=x^3+3x^2-1$代入如意数运算公式，得到关于$b$的方程，通过移项、合并同类项整理后，结合$x≠0$的条件将$b$的系数化为1，即可求出$b$的表达式。
【解析】
（1）根据“如意数”定义$c=ab+a+b$，代入$a=\sqrt{2}$，$b=1$：
$c=\sqrt{2}×1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}+1$
（2）将$a=m-4$，$b=-m$代入公式得：
$\begin{aligned}c&=(m-4)(-m)+(m-4)+(-m)\\&=-m^2+4m+m-4-m\\&=-m^2+4m-4\\&=-(m-2)^2\end{aligned}$
∵平方数具有非负性，即$(m-2)^2≥0$，
∴$-(m-2)^2≤0$，即$c≤0$。
（3）把$a=x^2-1$，$c=x^3+3x^2-1$代入$c=ab+a+b$得：
$x^3+3x^2-1=(x^2-1)b+(x^2-1)+b$
整理右侧含$b$的项：
$\begin{aligned}x^3+3x^2-1&=b(x^2-1+1)+x^2-1\\x^3+3x^2-1&=x^2b+x^2-1\end{aligned}$
移项合并同类项得：$x^3+2x^2=x^2b$
∵$x≠0$，
∴$x^2≠0$，两边同时除以$x^2$得：
$b=x+2$
【答案】
（1）$c=2\sqrt{2}+1$；
（2）$c=-(m-2)^2$，$c≤0$得证；
（3）$b=x+2$
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，整式化简
【点评】
本题以“如意数”新定义为载体，将陌生运算转化为熟悉的整式运算问题，既考查对新规则的理解能力，也考查整式运算、配方等基础技能，解题核心是准确把握新定义的运算逻辑，灵活运用已学知识求解。
【难度系数】
0.7
