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1.9 的平方根是 （
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$9$
D.$\pm 9$
A
）A.$\pm 3$
B.$3$
C.$9$
D.$\pm 9$
答案
1.A
解析
【分析】
要解这道题，首先需要回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。其次要明确正数的平方根有两个，二者互为相反数，注意不要和只有非负值的算术平方根混淆。我们只需要找到平方后等于9的所有数，再对应选项判断即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=9$，则$x$是9的平方根。
因为$3^2=9$，$(-3)^2=9$，所以满足条件的数是3和-3，即9的平方根是$\pm3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的概念；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是明确平方根与算术平方根的区别，避免因只记得正的平方根出现漏解、误选的情况。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。其次要明确正数的平方根有两个，二者互为相反数，注意不要和只有非负值的算术平方根混淆。我们只需要找到平方后等于9的所有数，再对应选项判断即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=9$，则$x$是9的平方根。
因为$3^2=9$，$(-3)^2=9$，所以满足条件的数是3和-3，即9的平方根是$\pm3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的概念；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是明确平方根与算术平方根的区别，避免因只记得正的平方根出现漏解、误选的情况。
【难度系数】
0.8
2. 如图,一条数轴被覆盖了一部分,被覆盖的数可能为
（
A.$-π$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
（
C
）A.$-π$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察数轴可得，被覆盖部分的数的取值范围是大于3、小于4。解题时我们只需要分别估算四个选项中的数的大小，判断哪个数落在3~4的区间内，即可得到正确答案。估算无理数大小时，可以通过计算整数的平方，对比被开方数的大小来确定无理数的范围。
【解析】
由数轴可知，被覆盖的数$ x $满足$ 3 ＜ x ＜ 4 $，我们逐一分析选项：
A. $ -π\approx-3.14 ＜ 3 $，不在该区间，排除；
B. 因为$ 2^2=4 $，$ 3^2=9 $，$ 4＜5＜9 $，所以$ 2＜\sqrt{5}＜3 $，不在该区间，排除；
C. 因为$ 3^2=9 $，$ 4^2=16 $，$ 9＜13＜16 $，所以$ 3＜\sqrt{13}＜4 $，正好落在该区间，符合要求；
D. 因为$ 4^2=16 $，$ 5^2=25 $，$ 16＜17＜25 $，所以$ 4＜\sqrt{17}＜5 $，不在该区间，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，无理数大小估算
【点评】
本题解题核心是先通过数轴确定待求数的取值范围，再利用平方法估算无理数的大致区间，属于基础类题型，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得，被覆盖部分的数的取值范围是大于3、小于4。解题时我们只需要分别估算四个选项中的数的大小，判断哪个数落在3~4的区间内，即可得到正确答案。估算无理数大小时，可以通过计算整数的平方，对比被开方数的大小来确定无理数的范围。
【解析】
由数轴可知，被覆盖的数$ x $满足$ 3 ＜ x ＜ 4 $，我们逐一分析选项：
A. $ -π\approx-3.14 ＜ 3 $，不在该区间，排除；
B. 因为$ 2^2=4 $，$ 3^2=9 $，$ 4＜5＜9 $，所以$ 2＜\sqrt{5}＜3 $，不在该区间，排除；
C. 因为$ 3^2=9 $，$ 4^2=16 $，$ 9＜13＜16 $，所以$ 3＜\sqrt{13}＜4 $，正好落在该区间，符合要求；
D. 因为$ 4^2=16 $，$ 5^2=25 $，$ 16＜17＜25 $，所以$ 4＜\sqrt{17}＜5 $，不在该区间，排除。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，无理数大小估算
【点评】
本题解题核心是先通过数轴确定待求数的取值范围，再利用平方法估算无理数的大致区间，属于基础类题型，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 （
A.2
B.5
C.10
D.20
B
）A.2
B.5
C.10
D.20
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，4个完全相同的正方形总面积为100，第一步先计算单个正方形的面积，用总面积除以正方形的个数即可得到。再回忆正方形的面积公式：正方形面积=边长×边长，已知面积求正数的边长，本质就是求该面积的算术平方根，按这个思路逐步计算就能得到结果。
【解析】
解：①先计算单个正方形的面积：
因为4个完全相同的正方形面积之和是100，所以1个正方形的面积为 $100÷4=25$。
②设正方形的边长为$x$（$x＞0$），根据正方形面积公式可得：
$x^2=25$
③因为边长为正数，所以$x=\sqrt{25}=5$，即正方形的边长是5。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】
本题是基础运算类题目，解题逻辑清晰，只要掌握正方形面积公式和算术平方根的基本运算就能轻松解答，计算时注意不要直接用总面积求边长，避免出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件出发，4个完全相同的正方形总面积为100，第一步先计算单个正方形的面积，用总面积除以正方形的个数即可得到。再回忆正方形的面积公式：正方形面积=边长×边长，已知面积求正数的边长，本质就是求该面积的算术平方根，按这个思路逐步计算就能得到结果。
【解析】
解：①先计算单个正方形的面积：
因为4个完全相同的正方形面积之和是100，所以1个正方形的面积为 $100÷4=25$。
②设正方形的边长为$x$（$x＞0$），根据正方形面积公式可得：
$x^2=25$
③因为边长为正数，所以$x=\sqrt{25}=5$，即正方形的边长是5。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】
本题是基础运算类题目，解题逻辑清晰，只要掌握正方形面积公式和算术平方根的基本运算就能轻松解答，计算时注意不要直接用总面积求边长，避免出错。
【难度系数】
0.9
4. 下列各数是负数的是 （
A.$|-1|$
B.$\sqrt[3]{-1}$
C.$\sqrt{(-1)^2}$
D.$(-1)^{2024}$
B
）A.$|-1|$
B.$\sqrt[3]{-1}$
C.$\sqrt{(-1)^2}$
D.$(-1)^{2024}$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断哪个选项的数是负数，首先明确负数是小于0的数，解题时需分别计算出四个选项的运算结果，再将结果与0比较，小于0的即为正确答案，计算过程要熟练运用绝对值、立方根、算术平方根、有理数乘方的相关运算规则。
【解析】
逐个计算每个选项的结果：
A. 根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，可得$|-1|=1$，$1＞0$，属于正数，不符合要求；
B. 根据立方根的性质，若$a^3=b$，则$\sqrt[3]{b}=a$，因为$(-1)^3=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-1$，$-1＜0$，属于负数，符合要求；
C. 先计算根号内的乘方：$(-1)^2=1$，再计算算术平方根可得$\sqrt{1}=1$，$1＞0$，属于正数，不符合要求；
D. 根据负数乘方的符号规律，负数的偶次幂为正数，2024是偶数，因此$(-1)^{2024}=1$，$1＞0$，属于正数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值运算；立方根的性质；有理数乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对常见代数运算规则的掌握，解题关键是准确计算各选项的结果，注意区分立方根与算术平方根的差异，以及负数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项的数是负数，首先明确负数是小于0的数，解题时需分别计算出四个选项的运算结果，再将结果与0比较，小于0的即为正确答案，计算过程要熟练运用绝对值、立方根、算术平方根、有理数乘方的相关运算规则。
【解析】
逐个计算每个选项的结果：
A. 根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，可得$|-1|=1$，$1＞0$，属于正数，不符合要求；
B. 根据立方根的性质，若$a^3=b$，则$\sqrt[3]{b}=a$，因为$(-1)^3=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-1$，$-1＜0$，属于负数，符合要求；
C. 先计算根号内的乘方：$(-1)^2=1$，再计算算术平方根可得$\sqrt{1}=1$，$1＞0$，属于正数，不符合要求；
D. 根据负数乘方的符号规律，负数的偶次幂为正数，2024是偶数，因此$(-1)^{2024}=1$，$1＞0$，属于正数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值运算；立方根的性质；有理数乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对常见代数运算规则的掌握，解题关键是准确计算各选项的结果，注意区分立方根与算术平方根的差异，以及负数乘方的符号规律。
【难度系数】
0.9
5.若某个正整数的算术平方根是$ x $，则下一个正整数(比前一个正整数大1)的算术平方根是（
A.$\sqrt{x}+1$
B.$\sqrt{x^2 + 1}$
C.$\sqrt{x + 1}$
D.$x^2 + 1$
B
）A.$\sqrt{x}+1$
B.$\sqrt{x^2 + 1}$
C.$\sqrt{x + 1}$
D.$x^2 + 1$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时我们可以按照“求原正整数→求下一个正整数→求下一个正整数的算术平方根”的思路逐步推导：首先回忆算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是a，那么这个数就是a²，因此先根据已知条件算出原来的正整数；再给这个正整数加1得到下一个正整数；最后根据算术平方根的表示方法，写出这个新数的算术平方根即可。
【解析】
第一步：根据算术平方根的定义，已知某个正整数的算术平方根是x，那么这个正整数就是$x^2$；
第二步：比这个正整数大1的下一个正整数为$x^2 + 1$；
第三步：根据算术平方根的表示方法，$x^2 + 1$的算术平方根为$\sqrt{x^2 + 1}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；列代数式
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易误将x当作原正整数错选C选项，解题核心是准确理解算术平方根和原数的对应关系，按步骤推导即可避免错误。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以按照“求原正整数→求下一个正整数→求下一个正整数的算术平方根”的思路逐步推导：首先回忆算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是a，那么这个数就是a²，因此先根据已知条件算出原来的正整数；再给这个正整数加1得到下一个正整数；最后根据算术平方根的表示方法，写出这个新数的算术平方根即可。
【解析】
第一步：根据算术平方根的定义，已知某个正整数的算术平方根是x，那么这个正整数就是$x^2$；
第二步：比这个正整数大1的下一个正整数为$x^2 + 1$；
第三步：根据算术平方根的表示方法，$x^2 + 1$的算术平方根为$\sqrt{x^2 + 1}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；列代数式
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是容易误将x当作原正整数错选C选项，解题核心是准确理解算术平方根和原数的对应关系，按步骤推导即可避免错误。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示的是一个数值转换器，当输入 $ x $ 的值为 9 时，输出 $ y $ 的值是 （
A.3
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
C
）A.3
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后先取其算术平方根，若结果是无理数则直接输出；若结果是有理数，需将该结果作为新的输入值重复上述运算，直到得到无理数再输出。我们按照规则逐步代入x=9计算即可。
【解析】
第一步：输入x=9，计算9的算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3是有理数，不符合输出条件，需将3作为新的输入值重新计算；
第二步：输入x=3，计算3的算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此输出的y值为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题结合数值转换器的形式考查基础概念，解题时需注意算术平方根的非负性，同时要严格遵循运算规则判断是否需要循环计算，避免只进行一次运算就直接输出结果的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确数值转换器的运算规则：输入x后先取其算术平方根，若结果是无理数则直接输出；若结果是有理数，需将该结果作为新的输入值重复上述运算，直到得到无理数再输出。我们按照规则逐步代入x=9计算即可。
【解析】
第一步：输入x=9，计算9的算术平方根：$\sqrt{9}=3$，3是有理数，不符合输出条件，需将3作为新的输入值重新计算；
第二步：输入x=3，计算3的算术平方根：$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此输出的y值为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题结合数值转换器的形式考查基础概念，解题时需注意算术平方根的非负性，同时要严格遵循运算规则判断是否需要循环计算，避免只进行一次运算就直接输出结果的错误。
【难度系数】
0.7
7. 若$\sqrt[3]{68.8} \approx 4.098$，$\sqrt[3]{6.88} \approx 1.902$，则$\sqrt[3]{6880}$约等于 （
A.$19.02$
B.$190.2$
C.$40.98$
D.$409.8$
A
）A.$19.02$
B.$190.2$
C.$40.98$
D.$409.8$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的相关性质：被开方数的小数点每向右（左）移动3位，对应的立方根的小数点就同向移动1位；也可以利用积的立方根等于各因数立方根的积的规律求解。首先观察待求的被开方数6880和已知的两个被开方数的关系，发现6880=6.88×1000，1000是10的立方，所以可以将待求的立方根拆分为两个立方根的乘积，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：先将被开方数6880变形为和已知条件相关的形式：
$6880 = 6.88 × 1000$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a} · \sqrt[3]{b}$，可得：
$\sqrt[3]{6880}=\sqrt[3]{6.88 × 1000}=\sqrt[3]{6.88} × \sqrt[3]{1000}$
已知$\sqrt[3]{6.88} \approx 1.902$，且$\sqrt[3]{1000}=10$，代入计算：
$\sqrt[3]{6880} \approx 1.902 × 10 = 19.02$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的性质，积的开方运算
【点评】
本题考查立方根性质的应用，解题的核心是找准待求被开方数与已知被开方数的倍数关系，注意只有被开方数的小数点移动位数是3的倍数时，才能直接对应立方根的小数点移动规律，避免因倍数关系判断错误导致失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆立方根的相关性质：被开方数的小数点每向右（左）移动3位，对应的立方根的小数点就同向移动1位；也可以利用积的立方根等于各因数立方根的积的规律求解。首先观察待求的被开方数6880和已知的两个被开方数的关系，发现6880=6.88×1000，1000是10的立方，所以可以将待求的立方根拆分为两个立方根的乘积，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：先将被开方数6880变形为和已知条件相关的形式：
$6880 = 6.88 × 1000$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a} · \sqrt[3]{b}$，可得：
$\sqrt[3]{6880}=\sqrt[3]{6.88 × 1000}=\sqrt[3]{6.88} × \sqrt[3]{1000}$
已知$\sqrt[3]{6.88} \approx 1.902$，且$\sqrt[3]{1000}=10$，代入计算：
$\sqrt[3]{6880} \approx 1.902 × 10 = 19.02$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的性质，积的开方运算
【点评】
本题考查立方根性质的应用，解题的核心是找准待求被开方数与已知被开方数的倍数关系，注意只有被开方数的小数点移动位数是3的倍数时，才能直接对应立方根的小数点移动规律，避免因倍数关系判断错误导致失分。
【难度系数】
0.8
8. 有下列说法:①最小的负整数是－1;②实数与数轴上的点一一对应;③当$a≥0$时，$|a|=-a$成立;④两个无理数的和仍为无理数.其中，正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.A
解析
【分析】
我们需要逐个判断四个说法的正误，先回忆负整数的定义、实数与数轴的对应关系、绝对值的性质、无理数的运算特点，依次对每个说法进行验证，错误说法可通过举反例快速判断，最后统计正确说法的个数选择对应选项。
【解析】
逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：负整数包括-1、-2、-3……，负整数的数值越小则数越小，不存在最小的负整数，只有最大的负整数是-1，因此①错误；
2. 分析说法②：根据实数的性质，每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上的每一个点也都对应唯一的实数，因此实数与数轴上的点一一对应，②正确；
3. 分析说法③：根据绝对值的性质，非负数（a≥0）的绝对值是它本身，即$|a|=a$，只有当a≤0时，$|a|=-a$才成立，因此③错误；
4. 分析说法④：举反例：无理数$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$的和为0，0是有理数，因此两个无理数的和不一定是无理数，④错误。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；实数与数轴的关系；无理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点围绕实数相关的核心知识点命题，解题时要准确记忆基础概念，判断错误命题时可通过举反例的方法快速验证，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.7
我们需要逐个判断四个说法的正误，先回忆负整数的定义、实数与数轴的对应关系、绝对值的性质、无理数的运算特点，依次对每个说法进行验证，错误说法可通过举反例快速判断，最后统计正确说法的个数选择对应选项。
【解析】
逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：负整数包括-1、-2、-3……，负整数的数值越小则数越小，不存在最小的负整数，只有最大的负整数是-1，因此①错误；
2. 分析说法②：根据实数的性质，每一个实数都可以用数轴上唯一的点表示，数轴上的每一个点也都对应唯一的实数，因此实数与数轴上的点一一对应，②正确；
3. 分析说法③：根据绝对值的性质，非负数（a≥0）的绝对值是它本身，即$|a|=a$，只有当a≤0时，$|a|=-a$才成立，因此③错误；
4. 分析说法④：举反例：无理数$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$的和为0，0是有理数，因此两个无理数的和不一定是无理数，④错误。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；实数与数轴的关系；无理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点围绕实数相关的核心知识点命题，解题时要准确记忆基础概念，判断错误命题时可通过举反例的方法快速验证，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.7
9. $\sqrt{36}$的算术平方根是________.
答案
9.$\sqrt{6}$
解析
【分析】
这道题是常见易错题，解题时分两步思考即可：首先要明确题目要求的是$\sqrt{36}$的算术平方根，不是36的算术平方根，所以第一步先化简$\sqrt{36}$求出它的具体值，第二步再对化简后的结果求算术平方根，严格按照算术平方根的定义计算就不会出错。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{36}$：根据算术平方根的定义，因为$6^2=36$，所以$\sqrt{36}=6$；
2. 再求6的算术平方根：根据算术平方根的定义，正数的正的平方根是它的算术平方根，所以6的算术平方根为$\sqrt{6}$。
因此$\sqrt{36}$的算术平方根是$\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是审题不仔细，直接计算36的算术平方根得到6作为答案，解题时只要先明确被求算术平方根的数的具体值，再结合定义计算就能避开易错点。
【难度系数】
0.6
这道题是常见易错题，解题时分两步思考即可：首先要明确题目要求的是$\sqrt{36}$的算术平方根，不是36的算术平方根，所以第一步先化简$\sqrt{36}$求出它的具体值，第二步再对化简后的结果求算术平方根，严格按照算术平方根的定义计算就不会出错。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{36}$：根据算术平方根的定义，因为$6^2=36$，所以$\sqrt{36}=6$；
2. 再求6的算术平方根：根据算术平方根的定义，正数的正的平方根是它的算术平方根，所以6的算术平方根为$\sqrt{6}$。
因此$\sqrt{36}$的算术平方根是$\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是审题不仔细，直接计算36的算术平方根得到6作为答案，解题时只要先明确被求算术平方根的数的具体值，再结合定义计算就能避开易错点。
【难度系数】
0.6
