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17. (1)计算下列各式的值并探究问题:$\sqrt{4^2}=$
(2)应用(1)所得的结论解决问题:有理数$a$,$b$在数轴上的对应点的位置如图所示:
化简:$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} + |a + b|$.
4
,$\sqrt{0^2}=$0
,$\sqrt{(-1)^2}=$1
,综上,对于任意有理数$a$,$\sqrt{a^2}=$$|a|$
;(2)应用(1)所得的结论解决问题:有理数$a$,$b$在数轴上的对应点的位置如图所示:
化简:$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} + |a + b|$.
答案
17.(1)4 0 1 $|a|$
(2)解:由数轴,知$-2＜a＜-1,0＜b＜1,a-b＜0,a+b＜0$,
$\therefore \sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|=-a-b-(b-a)+(-a-b)=-a-b-b+a-a-b=-a-3b$.
(2)解:由数轴,知$-2＜a＜-1,0＜b＜1,a-b＜0,a+b＜0$,
$\therefore \sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}-\sqrt{(a-b)^2}+|a+b|=-a-b-(b-a)+(-a-b)=-a-b-b+a-a-b=-a-3b$.
解析
【分析】
第(1)问首先根据算术平方根的定义计算3个具体式子的值，算术平方根的结果是非负数，观察计算结果和底数的关系即可总结出通用规律。第(2)问先根据数轴上a、b的位置确定二者的取值范围，再判断a-b、a+b的正负性，结合第(1)问得到的$\sqrt{a^2}=|a|$的结论，将所有根号、绝对值按照正负性去掉，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 分别计算：
$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$；
$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；
$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；
观察结果可总结规律：对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$。
(2) 由数轴可得：$-2＜a＜-1$，$0＜b＜1$，因此$a-b＜0$，$a+b＜0$，代入原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} + |a + b|&=|a|-|b|-|a-b|+|a+b|\\&=-a - b - (b - a) + (-a - b)\\&=-a - b - b + a - a - b\\&=-a - 3b\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{0}$，$\boxed{1}$，$\boxed{|a|}$
(2) $\boxed{-a-3b}$
【知识点】
算术平方根的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题从特例探究出发总结规律，再应用规律解决化简问题，既考查了算术平方根、绝对值的基础性质，也考查了利用数轴判断数的正负、整式运算的能力，解题的关键是准确判断绝对值内表达式的正负，正确去绝对值符号。
【难度系数】
0.7
第(1)问首先根据算术平方根的定义计算3个具体式子的值，算术平方根的结果是非负数，观察计算结果和底数的关系即可总结出通用规律。第(2)问先根据数轴上a、b的位置确定二者的取值范围，再判断a-b、a+b的正负性，结合第(1)问得到的$\sqrt{a^2}=|a|$的结论，将所有根号、绝对值按照正负性去掉，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 分别计算：
$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$；
$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；
$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$；
观察结果可总结规律：对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$。
(2) 由数轴可得：$-2＜a＜-1$，$0＜b＜1$，因此$a-b＜0$，$a+b＜0$，代入原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} + |a + b|&=|a|-|b|-|a-b|+|a+b|\\&=-a - b - (b - a) + (-a - b)\\&=-a - b - b + a - a - b\\&=-a - 3b\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{0}$，$\boxed{1}$，$\boxed{|a|}$
(2) $\boxed{-a-3b}$
【知识点】
算术平方根的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题从特例探究出发总结规律，再应用规律解决化简问题，既考查了算术平方根、绝对值的基础性质，也考查了利用数轴判断数的正负、整式运算的能力，解题的关键是准确判断绝对值内表达式的正负，正确去绝对值符号。
【难度系数】
0.7
18.数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题:无限循环小数是无理数吗?
以 $0.\dot{3}$ 为例,老师给小明做了以下解答(注:$0.\dot{3}$ 即 $0.333\ 33···$):
设 $0.\dot{3}$ 为 $x$,即 $0.3\dot{3}=x$.
等式两边同时乘 $10$,得 $3.\dot{3}=10x$,
即 $3+0.\dot{3}=10x$,因为 $0.\dot{3}=x$,所以 $3+x=10x$,解得 $x=\frac{1}{3}$,即 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以 $0.\dot{3}$ 是有理数.同学们,你们学会了吗?
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)无限循环小数 $0.\dot{2}$ 写成分数的形式是________;
(2)请用解方程的办法将 $0.\ddot{21}$ 写成分数.
以 $0.\dot{3}$ 为例,老师给小明做了以下解答(注:$0.\dot{3}$ 即 $0.333\ 33···$):
设 $0.\dot{3}$ 为 $x$,即 $0.3\dot{3}=x$.
等式两边同时乘 $10$,得 $3.\dot{3}=10x$,
即 $3+0.\dot{3}=10x$,因为 $0.\dot{3}=x$,所以 $3+x=10x$,解得 $x=\frac{1}{3}$,即 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以 $0.\dot{3}$ 是有理数.同学们,你们学会了吗?
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)无限循环小数 $0.\dot{2}$ 写成分数的形式是________;
(2)请用解方程的办法将 $0.\ddot{21}$ 写成分数.
答案
18.(1)$\dfrac{2}{9}$
(2)解:设$0.\ddot{21}$为$x$,即$0.\ddot{21}=x$,
等式两边同时乘$100$,得$21.\ddot{21}=100x$,即$21+0.\ddot{21}=100x$.
$\because 0.\ddot{21}=x,\therefore 21+x=100x$,解得$x=\dfrac{7}{33}$,即$0.\ddot{21}=\dfrac{7}{33}$.
(2)解:设$0.\ddot{21}$为$x$,即$0.\ddot{21}=x$,
等式两边同时乘$100$,得$21.\ddot{21}=100x$,即$21+0.\ddot{21}=100x$.
$\because 0.\ddot{21}=x,\therefore 21+x=100x$,解得$x=\dfrac{7}{33}$,即$0.\ddot{21}=\dfrac{7}{33}$.
解析
【分析】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是模仿题干给出的无限循环小数化分数的方法，利用方程思想消去无限循环的小数部分，进而推导得到对应的分数。第(1)问中$0.\dot{2}$的循环节是1位，参照$0.\dot{3}$的解法，将等式乘10即可把循环部分移到整数位；第(2)问中$0.\ddot{21}$的循环节是2位，需要将等式乘100，才能把完整的循环节移到整数位，再代入原数设的未知数列方程求解即可。
【解析】
(1)设$0.\dot{2}=x$，等式两边同时乘10，得：
$2.\dot{2}=10x$，即$2 + 0.\dot{2}=10x$
因为$0.\dot{2}=x$，代入得$2 + x = 10x$
移项合并同类项得$9x=2$，解得$x=\frac{2}{9}$。
(2)设$0.\ddot{21}$为$x$，即$0.\ddot{21}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\ddot{21}=100x$，即$21+0.\ddot{21}=100x$。
$\because 0.\ddot{21}=x$，$\therefore 21+x=100x$，
移项合并同类项得$99x=21$，解得$x=\dfrac{7}{33}$，即$0.\ddot{21}=\dfrac{7}{33}$。
【答案】
(1)$\dfrac{2}{9}$；(2)$\dfrac{7}{33}$
【知识点】
一元一次方程的应用、无限循环小数化分数、有理数的概念
【点评】
本题是典型的方法迁移类题型，重点考查阅读理解能力和方程思想的运用，难度较低，只要准确抓住循环节的位数，对应扩大合适的倍数消去循环部分，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题属于材料阅读类题型，解题核心是模仿题干给出的无限循环小数化分数的方法，利用方程思想消去无限循环的小数部分，进而推导得到对应的分数。第(1)问中$0.\dot{2}$的循环节是1位，参照$0.\dot{3}$的解法，将等式乘10即可把循环部分移到整数位；第(2)问中$0.\ddot{21}$的循环节是2位，需要将等式乘100，才能把完整的循环节移到整数位，再代入原数设的未知数列方程求解即可。
【解析】
(1)设$0.\dot{2}=x$，等式两边同时乘10，得：
$2.\dot{2}=10x$，即$2 + 0.\dot{2}=10x$
因为$0.\dot{2}=x$，代入得$2 + x = 10x$
移项合并同类项得$9x=2$，解得$x=\frac{2}{9}$。
(2)设$0.\ddot{21}$为$x$，即$0.\ddot{21}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\ddot{21}=100x$，即$21+0.\ddot{21}=100x$。
$\because 0.\ddot{21}=x$，$\therefore 21+x=100x$，
移项合并同类项得$99x=21$，解得$x=\dfrac{7}{33}$，即$0.\ddot{21}=\dfrac{7}{33}$。
【答案】
(1)$\dfrac{2}{9}$；(2)$\dfrac{7}{33}$
【知识点】
一元一次方程的应用、无限循环小数化分数、有理数的概念
【点评】
本题是典型的方法迁移类题型，重点考查阅读理解能力和方程思想的运用，难度较低，只要准确抓住循环节的位数，对应扩大合适的倍数消去循环部分，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
