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13. 解方程：
(1)$4(x-3)^2 - 16 = 0$；
(2)$-8(x+1)^3 = 27$。
(1)$4(x-3)^2 - 16 = 0$；
(2)$-8(x+1)^3 = 27$。
答案
13.解:(1)$4(x-3)^2-16=0,\therefore (x-3)^2=4.\therefore x-3=\pm 2$.解得$x=5$或$x=1$.
(2)$-8(x+1)^3=27,(x+1)^3=-\dfrac{27}{8},x+1=\sqrt[3]{-\dfrac{27}{8}},x+1=-\dfrac{3}{2}$,解得$x=-\dfrac{5}{2}$.
(2)$-8(x+1)^3=27,(x+1)^3=-\dfrac{27}{8},x+1=\sqrt[3]{-\dfrac{27}{8}},x+1=-\dfrac{3}{2}$,解得$x=-\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题包含两类利用开方运算求解的方程：
（1）第一题是含平方项的方程，首先将$(x-3)^2$看作整体，通过移项、系数化为1得到$(x-3)^2$的取值，再根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，得到$x-3$的两个取值，最后分别解一元一次方程即可；
（2）第二题是含立方项的方程，同样先将$(x+1)^3$看作整体，系数化为1后得到$(x+1)^3$的取值，再根据立方根的性质：任意实数的立方根唯一、负数的立方根为负数，开立方得到$x+1$的值，再解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 解方程$4(x-3)^2 - 16 = 0$
移项得：$4(x-3)^2 = 16$
系数化为1得：$(x-3)^2 = 4$
开平方得：$x-3 = \pm 2$
当$x-3=2$时，解得$x=5$；当$x-3=-2$时，解得$x=1$。
(2) 解方程$-8(x+1)^3 = 27$
系数化为1得：$(x+1)^3 = -\dfrac{27}{8}$
开立方得：$x+1 = -\dfrac{3}{2}$
移项计算得：$x = -\dfrac{3}{2} -1 = -\dfrac{5}{2}$
【答案】
(1) $x=5$或$x=1$；(2) $x=-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查开方运算在解方程中的应用，解题时要注意区分平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，不要漏解，而任意实数的立方根仅有一个，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8
本题包含两类利用开方运算求解的方程：
（1）第一题是含平方项的方程，首先将$(x-3)^2$看作整体，通过移项、系数化为1得到$(x-3)^2$的取值，再根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，得到$x-3$的两个取值，最后分别解一元一次方程即可；
（2）第二题是含立方项的方程，同样先将$(x+1)^3$看作整体，系数化为1后得到$(x+1)^3$的取值，再根据立方根的性质：任意实数的立方根唯一、负数的立方根为负数，开立方得到$x+1$的值，再解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 解方程$4(x-3)^2 - 16 = 0$
移项得：$4(x-3)^2 = 16$
系数化为1得：$(x-3)^2 = 4$
开平方得：$x-3 = \pm 2$
当$x-3=2$时，解得$x=5$；当$x-3=-2$时，解得$x=1$。
(2) 解方程$-8(x+1)^3 = 27$
系数化为1得：$(x+1)^3 = -\dfrac{27}{8}$
开立方得：$x+1 = -\dfrac{3}{2}$
移项计算得：$x = -\dfrac{3}{2} -1 = -\dfrac{5}{2}$
【答案】
(1) $x=5$或$x=1$；(2) $x=-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查开方运算在解方程中的应用，解题时要注意区分平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，不要漏解，而任意实数的立方根仅有一个，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8
14. 已知$a$是$2\dfrac{7}{9}$的平方根，$b$是$(-13)^2$的平方根，$c$的立方根是$-3$，$d$的算术平方根是$\sqrt{2}$，回答下列问题：
(1)分别求出$a,b,c,d$的值；
(2)$d$的另外一个平方根落在图中的________上(选填“①”“②”“③”“④”).
(1)分别求出$a,b,c,d$的值；
(2)$d$的另外一个平方根落在图中的________上(选填“①”“②”“③”“④”).
答案
14.解:(1)$\because (\pm \dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}=2\dfrac{7}{9},(\pm 13)^2=(-13)^2,(-3)^3=-27,(\sqrt{2})^2=2$,
$\therefore \pm \dfrac{5}{3}$是$2\dfrac{7}{9}$的平方根,$\pm 13$是$(-13)^2$的平方根,$-27$的立方根是$-3$,$2$的算术平方根是$\sqrt{2}$.
$\therefore a=\pm \dfrac{5}{3},b=\pm 13,c=-27,d=2$.
(2)$\because 2$的平方根是$\pm \sqrt{2}$,而$-2＜-\sqrt{2}＜-1$,
$\therefore d$的另外一个平方根落在图中的②上.
故答案为②.
$\therefore \pm \dfrac{5}{3}$是$2\dfrac{7}{9}$的平方根,$\pm 13$是$(-13)^2$的平方根,$-27$的立方根是$-3$,$2$的算术平方根是$\sqrt{2}$.
$\therefore a=\pm \dfrac{5}{3},b=\pm 13,c=-27,d=2$.
(2)$\because 2$的平方根是$\pm \sqrt{2}$,而$-2＜-\sqrt{2}＜-1$,
$\therefore d$的另外一个平方根落在图中的②上.
故答案为②.
解析
【分析】
解答本题首先要明确平方根、算术平方根、立方根的定义，对应求解各个字母的值；第二问先求出d的另一个平方根，再估算该无理数的大小，结合数轴判断所属区间即可。
具体思考步骤：1. 求a：先将带分数$2\dfrac{7}{9}$化为假分数，再找平方等于该值的数，注意正数的平方根有正负两个；2. 求b：先计算$(-13)^2$的结果，再找平方等于该结果的数；3. 求c：已知立方根求原数，原数为立方根的三次方，立方根唯一，因此c只有一个值；4. 求d：已知算术平方根求原数，原数为算术平方根的平方；5. 第二问先得到d的两个平方根，确定除算术平方根外的另一个负平方根，估算该负无理数的范围，对应数轴上的区间即可。
【解析】
(1) 结合各类根的定义分步计算：
先化简$2\dfrac{7}{9}=\dfrac{25}{9}$，因为$(\pm \dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}$，所以$2\dfrac{7}{9}$的平方根是$\pm \dfrac{5}{3}$，即$a=\pm \dfrac{5}{3}$；
计算$(-13)^2=169$，因为$(\pm13)^2=169$，所以$(-13)^2$的平方根是$\pm13$，即$b=\pm13$；
已知c的立方根是$-3$，因此$c=(-3)^3=-27$；
已知d的算术平方根是$\sqrt{2}$，因此$d=(\sqrt{2})^2=2$。
(2) 正数的平方根有两个且互为相反数，因此d=2的平方根是$\pm\sqrt{2}$，其中$\sqrt{2}$是算术平方根，另一个平方根为$-\sqrt{2}$。
估算$-\sqrt{2}$的大小：由$1＜2＜4$可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式同乘-1得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，观察数轴，区间$(-2,-1)$对应序号②，因此d的另一个平方根落在②上。
【答案】
(1)$a=\pm \dfrac{5}{3},b=\pm 13,c=-27,d=2$；(2)②
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题侧重考察实数相关基础概念，解题核心是熟练区分平方根、算术平方根、立方根的差异，同时掌握简单无理数的大小估算方法，能结合数轴判断数的对应位置。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确平方根、算术平方根、立方根的定义，对应求解各个字母的值；第二问先求出d的另一个平方根，再估算该无理数的大小，结合数轴判断所属区间即可。
具体思考步骤：1. 求a：先将带分数$2\dfrac{7}{9}$化为假分数，再找平方等于该值的数，注意正数的平方根有正负两个；2. 求b：先计算$(-13)^2$的结果，再找平方等于该结果的数；3. 求c：已知立方根求原数，原数为立方根的三次方，立方根唯一，因此c只有一个值；4. 求d：已知算术平方根求原数，原数为算术平方根的平方；5. 第二问先得到d的两个平方根，确定除算术平方根外的另一个负平方根，估算该负无理数的范围，对应数轴上的区间即可。
【解析】
(1) 结合各类根的定义分步计算：
先化简$2\dfrac{7}{9}=\dfrac{25}{9}$，因为$(\pm \dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}$，所以$2\dfrac{7}{9}$的平方根是$\pm \dfrac{5}{3}$，即$a=\pm \dfrac{5}{3}$；
计算$(-13)^2=169$，因为$(\pm13)^2=169$，所以$(-13)^2$的平方根是$\pm13$，即$b=\pm13$；
已知c的立方根是$-3$，因此$c=(-3)^3=-27$；
已知d的算术平方根是$\sqrt{2}$，因此$d=(\sqrt{2})^2=2$。
(2) 正数的平方根有两个且互为相反数，因此d=2的平方根是$\pm\sqrt{2}$，其中$\sqrt{2}$是算术平方根，另一个平方根为$-\sqrt{2}$。
估算$-\sqrt{2}$的大小：由$1＜2＜4$可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式同乘-1得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，观察数轴，区间$(-2,-1)$对应序号②，因此d的另一个平方根落在②上。
【答案】
(1)$a=\pm \dfrac{5}{3},b=\pm 13,c=-27,d=2$；(2)②
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题侧重考察实数相关基础概念，解题核心是熟练区分平方根、算术平方根、立方根的差异，同时掌握简单无理数的大小估算方法，能结合数轴判断数的对应位置。
【难度系数】
0.7
15. 规定:若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则称这样的数为“最美实数”.若$\sqrt{2}+a$是“最美实数”,则$a$的值是 （
A.$\sqrt{2}-1$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$
D.$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{2}-1$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}-1$
D.$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
答案
15.D
解析
【分析】
首先要明确“最美实数”的定义：算术平方根等于立方根的实数。我们先找出所有满足该条件的数：算术平方根的被开方数必须非负，因此这个数一定是非负数，验证后可知只有0和1的算术平方根等于自身的立方根。接下来根据题意，$\sqrt{2}+a$是最美实数，因此$\sqrt{2}+a$的取值只能是0或者1，分别列一元一次方程求解即可得到a的所有可能值。
【解析】
第一步：确定“最美实数”的可能取值
设$x$为“最美实数”，根据定义有$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}$，且$x≥0$（算术平方根的被开方数非负）。
当$x=0$时：$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，满足条件；
当$x=1$时：$\sqrt{1}=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，满足条件；
其余非负数的算术平方根和立方根均不相等，因此“最美实数”只有0和1。
第二步：列方程求$a$的值
$\because \sqrt{2}+a$是“最美实数”
$\therefore$分两种情况讨论：
情况1：$\sqrt{2}+a=0$，解得$a=-\sqrt{2}$；
情况2：$\sqrt{2}+a=1$，解得$a=1-\sqrt{2}$。
综上，$a$的值为$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念；立方根的概念；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解新定义的规则，先找出所有符合要求的“最美实数”，再分类讨论列方程求解，注意分类时不要漏解。
【难度系数】
0.7
首先要明确“最美实数”的定义：算术平方根等于立方根的实数。我们先找出所有满足该条件的数：算术平方根的被开方数必须非负，因此这个数一定是非负数，验证后可知只有0和1的算术平方根等于自身的立方根。接下来根据题意，$\sqrt{2}+a$是最美实数，因此$\sqrt{2}+a$的取值只能是0或者1，分别列一元一次方程求解即可得到a的所有可能值。
【解析】
第一步：确定“最美实数”的可能取值
设$x$为“最美实数”，根据定义有$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}$，且$x≥0$（算术平方根的被开方数非负）。
当$x=0$时：$\sqrt{0}=0$，$\sqrt[3]{0}=0$，满足条件；
当$x=1$时：$\sqrt{1}=1$，$\sqrt[3]{1}=1$，满足条件；
其余非负数的算术平方根和立方根均不相等，因此“最美实数”只有0和1。
第二步：列方程求$a$的值
$\because \sqrt{2}+a$是“最美实数”
$\therefore$分两种情况讨论：
情况1：$\sqrt{2}+a=0$，解得$a=-\sqrt{2}$；
情况2：$\sqrt{2}+a=1$，解得$a=1-\sqrt{2}$。
综上，$a$的值为$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念；立方根的概念；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解新定义的规则，先找出所有符合要求的“最美实数”，再分类讨论列方程求解，注意分类时不要漏解。
【难度系数】
0.7
16. 已知$ x = \sqrt{7} + 2 $，$ a $是$ x $的整数部分，$ b $是$ x $的小数部分，则$ a - b = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
16.$6-\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先需要估算出无理数√7的取值范围，进而得到x=√7+2的取值范围，据此确定x的整数部分a；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出b的值，最后将a、b代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算√7的取值范围
∵ 4 ＜ 7 ＜ 9
∴ √4 ＜ √7 ＜ √9，即2 ＜ √7 ＜ 3
第二步：确定x的取值范围，求整数部分a
给不等式2 ＜ √7 ＜ 3各部分加2，得：
2+2 ＜ √7+2 ＜ 3+2，即4 ＜ x ＜ 5
∵ a是x的整数部分，
∴ a=4
第三步：求x的小数部分b
∵ 小数部分=原数-整数部分
∴ b = x - a = (√7+2) - 4 = √7 - 2
第四步：计算a-b的值
a - b = 4 - (√7 - 2) = 4 - √7 + 2 = 6 - √7
【答案】
6-√7
【知识点】
无理数估算，实数的整数与小数部分，整式加减运算
【点评】
本题是实数相关的基础常考题，解题核心是掌握无理数的估算方法，明确实数的小数部分为原数减去其整数部分，计算时要注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要估算出无理数√7的取值范围，进而得到x=√7+2的取值范围，据此确定x的整数部分a；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出b的值，最后将a、b代入a-b计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算√7的取值范围
∵ 4 ＜ 7 ＜ 9
∴ √4 ＜ √7 ＜ √9，即2 ＜ √7 ＜ 3
第二步：确定x的取值范围，求整数部分a
给不等式2 ＜ √7 ＜ 3各部分加2，得：
2+2 ＜ √7+2 ＜ 3+2，即4 ＜ x ＜ 5
∵ a是x的整数部分，
∴ a=4
第三步：求x的小数部分b
∵ 小数部分=原数-整数部分
∴ b = x - a = (√7+2) - 4 = √7 - 2
第四步：计算a-b的值
a - b = 4 - (√7 - 2) = 4 - √7 + 2 = 6 - √7
【答案】
6-√7
【知识点】
无理数估算，实数的整数与小数部分，整式加减运算
【点评】
本题是实数相关的基础常考题，解题核心是掌握无理数的估算方法，明确实数的小数部分为原数减去其整数部分，计算时要注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.7
