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8. 在实数$-\sqrt{3}, -1, 0, π$中,最小的数是________.
答案
8.$-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要找出这四个实数中最小的数，需按照实数大小比较的规则逐步判断：首先明确正实数大于0，负实数小于0，正实数大于所有负实数，因此最小的数一定在两个负实数$-\sqrt{3}$和$-1$中；再根据两个负实数比较大小的规则：绝对值大的数反而小，估算$\sqrt{3}$的大小后比较两个负实数的大小即可得到结果。
【解析】
根据实数大小比较的法则解题：
1. 初步分类筛选：$π$是正实数，因此$π＞0$；$-\sqrt{3}$、$-1$是负实数，因此$-\sqrt{3}＜0$，$-1＜0$，由此可得最小的数在$-\sqrt{3}$和$-1$两个负实数中。
2. 比较两个负实数的大小：先计算两者的绝对值，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\approx1.732$，$|-1|=1$，因为$\sqrt{3}＞1$，根据“两个负实数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则，可得$-\sqrt{3}＜-1$。
综上四个数的大小关系为：$-\sqrt{3}＜-1＜0＜π$，因此最小的数是$-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
实数大小比较，负实数比较法则，无理数估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是熟练掌握实数大小比较的基本规则，尤其要注意负实数比较时和正实数比较逻辑相反，需结合绝对值判断大小，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要找出这四个实数中最小的数，需按照实数大小比较的规则逐步判断：首先明确正实数大于0，负实数小于0，正实数大于所有负实数，因此最小的数一定在两个负实数$-\sqrt{3}$和$-1$中；再根据两个负实数比较大小的规则：绝对值大的数反而小，估算$\sqrt{3}$的大小后比较两个负实数的大小即可得到结果。
【解析】
根据实数大小比较的法则解题：
1. 初步分类筛选：$π$是正实数，因此$π＞0$；$-\sqrt{3}$、$-1$是负实数，因此$-\sqrt{3}＜0$，$-1＜0$，由此可得最小的数在$-\sqrt{3}$和$-1$两个负实数中。
2. 比较两个负实数的大小：先计算两者的绝对值，$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\approx1.732$，$|-1|=1$，因为$\sqrt{3}＞1$，根据“两个负实数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则，可得$-\sqrt{3}＜-1$。
综上四个数的大小关系为：$-\sqrt{3}＜-1＜0＜π$，因此最小的数是$-\sqrt{3}$。
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
实数大小比较，负实数比较法则，无理数估算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是熟练掌握实数大小比较的基本规则，尤其要注意负实数比较时和正实数比较逻辑相反，需结合绝对值判断大小，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
9. 司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图所示，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为$\sqrt{26} - 1$。若$\sqrt{26} - 1$介于两个连续整数$n$和$n+1$之间，则$n$的值是________。
答案
9.4
解析
【分析】
要确定n的值，首先需要估算出√26的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，先找到与26相邻的两个完全平方数，得到√26的范围后，再对不等式做变形，就能求出√26 -1的范围，进而找到对应的连续整数n。
【解析】
首先找出与26相邻的两个完全平方数：
∵ 25 ＜ 26 ＜ 36
∴ 对三个数同时取算术平方根，可得√25 ＜ √26 ＜ √36，即5 ＜ √26 ＜ 6
将不等式三边同时减1，不等号方向不变，可得：
5 - 1 ＜ √26 - 1 ＜ 6 - 1
计算得4 ＜ √26 - 1 ＜ 5
已知√26 -1介于连续整数n和n+1之间，因此n=4。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算、算术平方根
【点评】
本题属于基础题型，考查无理数的估算方法，解题关键是找到被开方数相邻的两个完全平方数，再结合不等式的性质变形得到所求式子的取值范围即可求解。
【难度系数】
0.8
要确定n的值，首先需要估算出√26的取值范围，我们可以利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，先找到与26相邻的两个完全平方数，得到√26的范围后，再对不等式做变形，就能求出√26 -1的范围，进而找到对应的连续整数n。
【解析】
首先找出与26相邻的两个完全平方数：
∵ 25 ＜ 26 ＜ 36
∴ 对三个数同时取算术平方根，可得√25 ＜ √26 ＜ √36，即5 ＜ √26 ＜ 6
将不等式三边同时减1，不等号方向不变，可得：
5 - 1 ＜ √26 - 1 ＜ 6 - 1
计算得4 ＜ √26 - 1 ＜ 5
已知√26 -1介于连续整数n和n+1之间，因此n=4。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算、算术平方根
【点评】
本题属于基础题型，考查无理数的估算方法，解题关键是找到被开方数相邻的两个完全平方数，再结合不等式的性质变形得到所求式子的取值范围即可求解。
【难度系数】
0.8
10. 用计算器计算(结果精确到0.01).
(1)$\sqrt{4.225} \approx$
(2)$\sqrt[3]{6892} \approx$
(1)$\sqrt{4.225} \approx$
2.06
；(2)$\sqrt[3]{6892} \approx$
19.03
.答案
10.(1)2.06 (2)19.03
解析
【分析】
本题考查使用计算器计算开方运算及近似数的取法。解题思路如下：1. 明确运算类型：(1)是求4.225的算术平方根，用计算器的开平方功能；(2)是求6892的立方根，用计算器的开立方功能。2. 按计算器操作规范输入对应数字和运算符号，得到初始运算结果。3. 根据“精确到0.01”的要求，对结果的千分位数字进行四舍五入，保留两位小数即可。
【解析】
(1) 使用计算器计算$\sqrt{4.225}$，得到结果约为2.05548，观察千分位数字为5，根据四舍五入规则向百分位进1，因此$2.05548\approx2.06$。
(2) 使用计算器计算$\sqrt[3]{6892}$，得到结果约为19.0304，观察千分位数字为0，根据四舍五入规则舍去千分位及后面的数，因此$19.0304\approx19.03$。
【答案】
(1)2.06；(2)19.03
【知识点】
计算器开方运算，近似数取值，算术平方根与立方根
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查计算器开方功能的操作方法和近似数的四舍五入规则，只要熟悉计算器操作、明确精确度要求，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
本题考查使用计算器计算开方运算及近似数的取法。解题思路如下：1. 明确运算类型：(1)是求4.225的算术平方根，用计算器的开平方功能；(2)是求6892的立方根，用计算器的开立方功能。2. 按计算器操作规范输入对应数字和运算符号，得到初始运算结果。3. 根据“精确到0.01”的要求，对结果的千分位数字进行四舍五入，保留两位小数即可。
【解析】
(1) 使用计算器计算$\sqrt{4.225}$，得到结果约为2.05548，观察千分位数字为5，根据四舍五入规则向百分位进1，因此$2.05548\approx2.06$。
(2) 使用计算器计算$\sqrt[3]{6892}$，得到结果约为19.0304，观察千分位数字为0，根据四舍五入规则舍去千分位及后面的数，因此$19.0304\approx19.03$。
【答案】
(1)2.06；(2)19.03
【知识点】
计算器开方运算，近似数取值，算术平方根与立方根
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查计算器开方功能的操作方法和近似数的四舍五入规则，只要熟悉计算器操作、明确精确度要求，就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
11. 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)1.21；
(2)$(-5)^2$；
(3)$\left|-2\dfrac{7}{9}\right|$.
(1)1.21；
(2)$(-5)^2$；
(3)$\left|-2\dfrac{7}{9}\right|$.
答案
11.解:(1)$\because (\pm 1.1)^2=1.21$,
$\therefore 1.21$的平方根是$\pm 1.1$,算术平方根是$1.1$.
(2)$\because (\pm 5)^2=(-5)^2=25$,
$\therefore (-5)^2$的平方根是$\pm 5$,算术平方根是$5$.
(3)$\because (\pm \dfrac{5}{3})^2=\left|-2\dfrac{7}{9}\right|=\dfrac{25}{9}$,
$\therefore \left|-2\dfrac{7}{9}\right|$的平方根是$\pm \dfrac{5}{3}$,算术平方根是$\dfrac{5}{3}$.
$\therefore 1.21$的平方根是$\pm 1.1$,算术平方根是$1.1$.
(2)$\because (\pm 5)^2=(-5)^2=25$,
$\therefore (-5)^2$的平方根是$\pm 5$,算术平方根是$5$.
(3)$\because (\pm \dfrac{5}{3})^2=\left|-2\dfrac{7}{9}\right|=\dfrac{25}{9}$,
$\therefore \left|-2\dfrac{7}{9}\right|$的平方根是$\pm \dfrac{5}{3}$,算术平方根是$\dfrac{5}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，其中非负的那个$x$就是$a$的算术平方根。解题按两步走：第一步先将每个小题中待求的数化简为最简形式，第二步找到平方后等于该数的所有数，其中互为相反数的两个数就是这个数的平方根，正的那个就是算术平方根。
【解析】
(1)$\because (\pm 1.1)^2=1.21$,
$\therefore 1.21$的平方根是$\pm 1.1$,算术平方根是$1.1$.
(2)先化简得$(-5)^2=25$，$\because (\pm 5)^2=25$,
$\therefore (-5)^2$的平方根是$\pm 5$,算术平方根是$5$.
(3)先化简得$\left|-2\dfrac{7}{9}\right|=\dfrac{25}{9}$，$\because (\pm \dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}$,
$\therefore \left|-2\dfrac{7}{9}\right|$的平方根是$\pm \dfrac{5}{3}$,算术平方根是$\dfrac{5}{3}$.
【答案】
(1)平方根：$\pm 1.1$，算术平方根：$1.1$；
(2)平方根：$\pm 5$，算术平方根：$5$；
(3)平方根：$\pm \dfrac{5}{3}$，算术平方根：$\dfrac{5}{3}$。
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，有理数化简
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是区分平方根和算术平方根的差异，要注意正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根仅指其中非负的那个，计算前需先将原式化简后再求解，避免直接对原式中的底数求平方根导致错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根和算术平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，其中非负的那个$x$就是$a$的算术平方根。解题按两步走：第一步先将每个小题中待求的数化简为最简形式，第二步找到平方后等于该数的所有数，其中互为相反数的两个数就是这个数的平方根，正的那个就是算术平方根。
【解析】
(1)$\because (\pm 1.1)^2=1.21$,
$\therefore 1.21$的平方根是$\pm 1.1$,算术平方根是$1.1$.
(2)先化简得$(-5)^2=25$，$\because (\pm 5)^2=25$,
$\therefore (-5)^2$的平方根是$\pm 5$,算术平方根是$5$.
(3)先化简得$\left|-2\dfrac{7}{9}\right|=\dfrac{25}{9}$，$\because (\pm \dfrac{5}{3})^2=\dfrac{25}{9}$,
$\therefore \left|-2\dfrac{7}{9}\right|$的平方根是$\pm \dfrac{5}{3}$,算术平方根是$\dfrac{5}{3}$.
【答案】
(1)平方根：$\pm 1.1$，算术平方根：$1.1$；
(2)平方根：$\pm 5$，算术平方根：$5$；
(3)平方根：$\pm \dfrac{5}{3}$，算术平方根：$\dfrac{5}{3}$。
【知识点】
平方根的概念，算术平方根的概念，有理数化简
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是区分平方根和算术平方根的差异，要注意正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根仅指其中非负的那个，计算前需先将原式化简后再求解，避免直接对原式中的底数求平方根导致错误。
【难度系数】
0.8
12. 比较下列各组数的大小：
(1)$\sqrt[3]{3}$与$\frac{3}{2}$；
(2)$\sqrt[3]{9}$与$\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{\frac{2}{3}}$与$\sqrt{\frac{4}{7}}$；
(4)$\sqrt[3]{-12}$与$-\sqrt{5}$.
(1)$\sqrt[3]{3}$与$\frac{3}{2}$；
(2)$\sqrt[3]{9}$与$\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{\frac{2}{3}}$与$\sqrt{\frac{4}{7}}$；
(4)$\sqrt[3]{-12}$与$-\sqrt{5}$.
答案
12.解:(1)$\because \dfrac{3}{2}=\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}},3＜\dfrac{27}{8},\therefore \sqrt[3]{3}＜\dfrac{3}{2}$.
(2)$\because 9＞8,\therefore \sqrt[3]{9}＞2$.
$\because 4＞3,\therefore 2＞\sqrt{3}.\therefore \sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$.
(3)$\because \dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{21},\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{21},而\dfrac{14}{21}＞\dfrac{12}{21}$,
$\therefore \sqrt{\dfrac{2}{3}}＞\sqrt{\dfrac{4}{7}}$.
(4)$\because \sqrt[3]{-12}\approx -2.2894,-\sqrt{5}\approx -2.2361,而-2.2894＜-2.2361$,
$\therefore \sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$.
(2)$\because 9＞8,\therefore \sqrt[3]{9}＞2$.
$\because 4＞3,\therefore 2＞\sqrt{3}.\therefore \sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$.
(3)$\because \dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{21},\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{21},而\dfrac{14}{21}＞\dfrac{12}{21}$,
$\therefore \sqrt{\dfrac{2}{3}}＞\sqrt{\dfrac{4}{7}}$.
(4)$\because \sqrt[3]{-12}\approx -2.2894,-\sqrt{5}\approx -2.2361,而-2.2894＜-2.2361$,
$\therefore \sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
比较带根式的实数大小，核心思路是消去根号或找中间参照量，常用方法有：①同次根式比较被开方数，被开方数越大对应根式值越大；②乘方法：对两数同时乘根指数的最小公倍数次方，消去根号后比较；③中间量法：找中间数分别和两个待比较的数对比；④近似值法：计算近似值后比较，负数比较时要注意绝对值大的数反而更小。
各小题具体思路：(1)把分数转化为三次根式，直接比较被开方数即可；(2)两个根式根指数不同，找中间量2分别对比即可得出大小关系；(3)都是二次根式，通分后比较被开方数大小即可；(4)两个负数，计算近似值后根据负数比较规则判断即可。
【解析】
(1) $\because \dfrac{3}{2}=\sqrt[3]{(\dfrac{3}{2})^3}=\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}$，$3=\dfrac{24}{8}＜\dfrac{27}{8}$，
$\therefore \sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}$，即$\sqrt[3]{3}＜\dfrac{3}{2}$。
(2) $\because 9＞8=2^3$，$\therefore \sqrt[3]{9}＞\sqrt[3]{8}=2$，
$\because 3＜4=2^2$，$\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
$\therefore \sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$。
(3) 先通分得：$\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{21}$，$\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{21}$，
$\because \dfrac{14}{21}＞\dfrac{12}{21}$，二次根式中被开方数越大值越大，
$\therefore \sqrt{\dfrac{2}{3}}＞\sqrt{\dfrac{4}{7}}$。
(4) 计算近似值：$\sqrt[3]{-12}\approx -2.2894$，$-\sqrt{5}\approx -2.2361$，
负数比较大小，绝对值大的数反而小，$\because |-2.2894|＞|-2.2361|$，
$\therefore -2.2894＜-2.2361$，即$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{3}＜\dfrac{3}{2}$；(2)$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{\dfrac{2}{3}}＞\sqrt{\dfrac{4}{7}}$；(4)$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较，立方根性质，平方根性质
【点评】
本题考查带根式的实数大小比较，可根据题型特点灵活选择比较方法，解题时要注意负数比较大小的规则，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
比较带根式的实数大小，核心思路是消去根号或找中间参照量，常用方法有：①同次根式比较被开方数，被开方数越大对应根式值越大；②乘方法：对两数同时乘根指数的最小公倍数次方，消去根号后比较；③中间量法：找中间数分别和两个待比较的数对比；④近似值法：计算近似值后比较，负数比较时要注意绝对值大的数反而更小。
各小题具体思路：(1)把分数转化为三次根式，直接比较被开方数即可；(2)两个根式根指数不同，找中间量2分别对比即可得出大小关系；(3)都是二次根式，通分后比较被开方数大小即可；(4)两个负数，计算近似值后根据负数比较规则判断即可。
【解析】
(1) $\because \dfrac{3}{2}=\sqrt[3]{(\dfrac{3}{2})^3}=\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}$，$3=\dfrac{24}{8}＜\dfrac{27}{8}$，
$\therefore \sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}$，即$\sqrt[3]{3}＜\dfrac{3}{2}$。
(2) $\because 9＞8=2^3$，$\therefore \sqrt[3]{9}＞\sqrt[3]{8}=2$，
$\because 3＜4=2^2$，$\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
$\therefore \sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$。
(3) 先通分得：$\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{21}$，$\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{21}$，
$\because \dfrac{14}{21}＞\dfrac{12}{21}$，二次根式中被开方数越大值越大，
$\therefore \sqrt{\dfrac{2}{3}}＞\sqrt{\dfrac{4}{7}}$。
(4) 计算近似值：$\sqrt[3]{-12}\approx -2.2894$，$-\sqrt{5}\approx -2.2361$，
负数比较大小，绝对值大的数反而小，$\because |-2.2894|＞|-2.2361|$，
$\therefore -2.2894＜-2.2361$，即$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$\sqrt[3]{3}＜\dfrac{3}{2}$；(2)$\sqrt[3]{9}＞\sqrt{3}$；(3)$\sqrt{\dfrac{2}{3}}＞\sqrt{\dfrac{4}{7}}$；(4)$\sqrt[3]{-12}＜-\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较，立方根性质，平方根性质
【点评】
本题考查带根式的实数大小比较，可根据题型特点灵活选择比较方法，解题时要注意负数比较大小的规则，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
