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10.$\sqrt{5}$的相反数是________，绝对值是________.
答案
10.$-\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和绝对值的相关概念：第一步求相反数，根据相反数的定义，只需改变原数的符号即可得到它的相反数；第二步求绝对值，先判断$\sqrt{5}$的正负性，$\sqrt{5}$是正数，再结合正数的绝对值等于它本身的性质计算即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，因此给$\sqrt{5}$添加负号即可得到它的相反数，即$\sqrt{5}$的相反数为$-\sqrt{5}$。
2. 求$\sqrt{5}$的绝对值：
先判断$\sqrt{5}$的正负：因为$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$，可知$\sqrt{5}$是正数；
根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，因此$\left|\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$
【知识点】
相反数的概念；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重对相反数、绝对值核心定义的考察，熟练掌握相关基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数和绝对值的相关概念：第一步求相反数，根据相反数的定义，只需改变原数的符号即可得到它的相反数；第二步求绝对值，先判断$\sqrt{5}$的正负性，$\sqrt{5}$是正数，再结合正数的绝对值等于它本身的性质计算即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，因此给$\sqrt{5}$添加负号即可得到它的相反数，即$\sqrt{5}$的相反数为$-\sqrt{5}$。
2. 求$\sqrt{5}$的绝对值：
先判断$\sqrt{5}$的正负：因为$2=\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}=3$，可知$\sqrt{5}$是正数；
根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，因此$\left|\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$
【知识点】
相反数的概念；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重对相反数、绝对值核心定义的考察，熟练掌握相关基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
11. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$，祖冲之给出圆周率的分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小：$\sqrt{10}$ ______ $\frac{22}{7}$（选填“＞”或“＜”）。
答案
11.＞
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可使用七年级阶段常用的平方法：两个正数中，平方更大的数本身也更大。我们可以先分别计算两个数的平方，通过比较平方的大小，就能推出原数的大小关系，该方法是比较含二次根式的数大小的常用技巧。
【解析】
解：已知$\sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，分别计算两个数的平方：
1. 计算$\sqrt{10}$的平方：$(\sqrt{10})^2=10$
2. 计算$\frac{22}{7}$的平方：$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$
3. 统一分母比较平方的大小：将10转化为分母为49的分数，得$10=\frac{490}{49}$，因为$\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，所以$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$
根据正数平方越大，数本身越大的规律，可得$\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较 2. 二次根式的性质
【点评】
本题考查含二次根式的正数大小比较方法，平方法是处理这类问题的基础技巧，熟练掌握该方法能快速解决同类大小比较问题。
【难度系数】
0.85
要比较两个正数$\sqrt{10}$和$\frac{22}{7}$的大小，可使用七年级阶段常用的平方法：两个正数中，平方更大的数本身也更大。我们可以先分别计算两个数的平方，通过比较平方的大小，就能推出原数的大小关系，该方法是比较含二次根式的数大小的常用技巧。
【解析】
解：已知$\sqrt{10}＞0$，$\frac{22}{7}＞0$，分别计算两个数的平方：
1. 计算$\sqrt{10}$的平方：$(\sqrt{10})^2=10$
2. 计算$\frac{22}{7}$的平方：$(\frac{22}{7})^2=\frac{22^2}{7^2}=\frac{484}{49}$
3. 统一分母比较平方的大小：将10转化为分母为49的分数，得$10=\frac{490}{49}$，因为$\frac{490}{49}＞\frac{484}{49}$，所以$(\sqrt{10})^2＞(\frac{22}{7})^2$
根据正数平方越大，数本身越大的规律，可得$\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 实数大小比较 2. 二次根式的性质
【点评】
本题考查含二次根式的正数大小比较方法，平方法是处理这类问题的基础技巧，熟练掌握该方法能快速解决同类大小比较问题。
【难度系数】
0.85
12.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数$a,b$,都有$a*b=\sqrt{b}+a$,例如:$4*9=\sqrt{9}+4=7$,那么$5*169=\_\_\_\_\_\_$.
答案
12.18
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先明确题目给出的新运算规则：$a*b$的运算结果等于第二个数$b$的算术平方根加上第一个数$a$。解题时先确定所求式子中对应$a$和$b$的取值，再代入规则计算即可。本题中$5*169$对应规则里的$a=5$，$b=169$，接下来先计算169的算术平方根，再加5就能得到结果。
【解析】
根据题意给出的新运算规则$a*b=\sqrt{b}+a$，
在$5*169$中，$a=5$，$b=169$，代入规则可得：
$5*169=\sqrt{169}+5$
因为$\sqrt{169}=13$，
所以原式$=13+5=18$。
【答案】
18
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对新运算规则的理解能力和算术平方根的计算能力，只要正确对应新运算中两个数的位置，准确计算算术平方根即可得分。
【难度系数】
0.9
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先明确题目给出的新运算规则：$a*b$的运算结果等于第二个数$b$的算术平方根加上第一个数$a$。解题时先确定所求式子中对应$a$和$b$的取值，再代入规则计算即可。本题中$5*169$对应规则里的$a=5$，$b=169$，接下来先计算169的算术平方根，再加5就能得到结果。
【解析】
根据题意给出的新运算规则$a*b=\sqrt{b}+a$，
在$5*169$中，$a=5$，$b=169$，代入规则可得：
$5*169=\sqrt{169}+5$
因为$\sqrt{169}=13$，
所以原式$=13+5=18$。
【答案】
18
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对新运算规则的理解能力和算术平方根的计算能力，只要正确对应新运算中两个数的位置，准确计算算术平方根即可得分。
【难度系数】
0.9
13. 有下列各数:①$\frac{1}{7}$;②$-\left|-\frac{1}{3}\right|$;③$\sqrt{5}$;④0;⑤$-0.3$;⑥$-\sqrt{25}$;⑦$0.313\ 113\ 111\ 3···$(每两个3之间依次多一个1).
(1)属于整数的有________(填序号);
(2)属于负分数的有________(填序号);
(3)属于无理数的有________(填序号).
(1)属于整数的有________(填序号);
(2)属于负分数的有________(填序号);
(3)属于无理数的有________(填序号).
答案
13.(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦
解析
【分析】
解决这道分类题的思路如下：第一步先化简题目中带有运算符号的数，比如含绝对值的②、含开平方运算的⑥，先算出它们的最简结果；第二步回忆整数、负分数、无理数的定义，逐个对7个数进行属性判断；最后将对应序号填入对应类别即可，要注意有限小数、无限循环小数都属于分数，只有无限不循环小数才是无理数。
【解析】
先对每个数化简并判断属性：
①$\frac{1}{7}$：属于正分数，是有理数；
②$-\left|-\frac{1}{3}\right|=-\frac{1}{3}$：属于负分数，是有理数；
③$\sqrt{5}$：属于开方开不尽的数，是无理数；
④$0$：属于整数，是有理数；
⑤$-0.3$：是有限小数，可转化为负分数，是有理数；
⑥$-\sqrt{25}=-5$：属于负整数，是整数、有理数；
⑦$0.313\ 113\ 111\ 3···$(每两个3之间依次多一个1)：是无限不循环小数，属于无理数。
由此可得：
(1) 整数为序号④⑥；
(2) 负分数为序号②⑤；
(3) 无理数为序号③⑦。
【答案】
(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦
【知识点】
整数的定义，负分数的定义，无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是先化简带运算的数，再结合各类数的定义逐一判断，要注意区分有规律的无限不循环小数和循环小数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解决这道分类题的思路如下：第一步先化简题目中带有运算符号的数，比如含绝对值的②、含开平方运算的⑥，先算出它们的最简结果；第二步回忆整数、负分数、无理数的定义，逐个对7个数进行属性判断；最后将对应序号填入对应类别即可，要注意有限小数、无限循环小数都属于分数，只有无限不循环小数才是无理数。
【解析】
先对每个数化简并判断属性：
①$\frac{1}{7}$：属于正分数，是有理数；
②$-\left|-\frac{1}{3}\right|=-\frac{1}{3}$：属于负分数，是有理数；
③$\sqrt{5}$：属于开方开不尽的数，是无理数；
④$0$：属于整数，是有理数；
⑤$-0.3$：是有限小数，可转化为负分数，是有理数；
⑥$-\sqrt{25}=-5$：属于负整数，是整数、有理数；
⑦$0.313\ 113\ 111\ 3···$(每两个3之间依次多一个1)：是无限不循环小数，属于无理数。
由此可得：
(1) 整数为序号④⑥；
(2) 负分数为序号②⑤；
(3) 无理数为序号③⑦。
【答案】
(1)④⑥ (2)②⑤ (3)③⑦
【知识点】
整数的定义，负分数的定义，无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题核心是先化简带运算的数，再结合各类数的定义逐一判断，要注意区分有规律的无限不循环小数和循环小数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
14. 请将$-3,\sqrt{\dfrac{1}{4}},(-2)^2,-(-1),\sqrt[3]{27}$在数轴上表示出来，并用“＜”将各数连接起来.
答案
14. 解:$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2},(-2)^2=4,-(-1)=1,\sqrt[3]{27}=3$,
在数轴上表示为
所以$-3＜\sqrt{\dfrac{1}{4}}＜-(-1)＜\sqrt[3]{27}＜(-2)^2$.
解析
【分析】
拿到题目后，首先观察给出的数，其中包含算术平方根、立方根、乘方、多重符号的非最简形式的数，要完成数轴标注和大小比较，第一步需要先把所有数化简为最简结果，才能准确找到它们在数轴上的对应位置；其次回忆数轴的性质：数轴上的点和实数一一对应，且右侧点表示的数总比左侧点表示的数大，因此化简后将各数标注在数轴上，再按照从左到右的顺序用“＜”连接即可。
【解析】
1. 先化简各数：
计算$\sqrt{\dfrac{1}{4}}$：因为$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$；
计算$-(-1)$：根据多重符号化简规则，负负得正，因此$-(-1)=1$；
计算$\sqrt[3]{27}$：因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；
计算$(-2)^2$：根据乘方定义，$(-2)×(-2)=4$，因此$(-2)^2=4$；
$-3$为最简形式，无需化简。
2. 在数轴上标注各数：将$-3$标在刻度$-3$处，$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$标在0和1的中点处，$-(-1)=1$标在刻度1处，$\sqrt[3]{27}=3$标在刻度3处，$(-2)^2=4$标在刻度4处。
3. 比较大小：根据数轴上右侧数大于左侧数的规律，从左到右排列各数即可得到大小关系。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2},(-2)^2=4,-(-1)=1,\sqrt[3]{27}=3$,
在数轴上表示为
所以$-3＜\sqrt{\dfrac{1}{4}}＜-(-1)＜\sqrt[3]{27}＜(-2)^2$。
【知识点】
实数的化简、实数与数轴、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先准确化简各类实数，再利用数轴的性质比较大小，掌握算术平方根、立方根、乘方、符号化简的基本运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
拿到题目后，首先观察给出的数，其中包含算术平方根、立方根、乘方、多重符号的非最简形式的数，要完成数轴标注和大小比较，第一步需要先把所有数化简为最简结果，才能准确找到它们在数轴上的对应位置；其次回忆数轴的性质：数轴上的点和实数一一对应，且右侧点表示的数总比左侧点表示的数大，因此化简后将各数标注在数轴上，再按照从左到右的顺序用“＜”连接即可。
【解析】
1. 先化简各数：
计算$\sqrt{\dfrac{1}{4}}$：因为$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$；
计算$-(-1)$：根据多重符号化简规则，负负得正，因此$-(-1)=1$；
计算$\sqrt[3]{27}$：因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；
计算$(-2)^2$：根据乘方定义，$(-2)×(-2)=4$，因此$(-2)^2=4$；
$-3$为最简形式，无需化简。
2. 在数轴上标注各数：将$-3$标在刻度$-3$处，$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$标在0和1的中点处，$-(-1)=1$标在刻度1处，$\sqrt[3]{27}=3$标在刻度3处，$(-2)^2=4$标在刻度4处。
3. 比较大小：根据数轴上右侧数大于左侧数的规律，从左到右排列各数即可得到大小关系。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2},(-2)^2=4,-(-1)=1,\sqrt[3]{27}=3$,
在数轴上表示为
所以$-3＜\sqrt{\dfrac{1}{4}}＜-(-1)＜\sqrt[3]{27}＜(-2)^2$。
【知识点】
实数的化简、实数与数轴、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先准确化简各类实数，再利用数轴的性质比较大小，掌握算术平方根、立方根、乘方、符号化简的基本运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
15. 求下列各式的值：
(1)$\sqrt{0.81}$；
(2)$\sqrt{(-56)^2}$；
(3)$\sqrt{1\dfrac{57}{64}}$.
(1)$\sqrt{0.81}$；
(2)$\sqrt{(-56)^2}$；
(3)$\sqrt{1\dfrac{57}{64}}$.
答案
15.解:(1)$\sqrt{0.81}=0.9$.
(2)$\sqrt{(-56)^2}=56$.
(3)$\sqrt{1\dfrac{57}{64}}=\sqrt{\dfrac{121}{64}}=\dfrac{11}{8}$.
(2)$\sqrt{(-56)^2}=56$.
(3)$\sqrt{1\dfrac{57}{64}}=\sqrt{\dfrac{121}{64}}=\dfrac{11}{8}$.
解析
【分析】
本题考查算术平方根的求解，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，结果一定为非负数。第(1)题直接找出平方等于0.81的非负数即可；第(2)题先利用平方的性质得到$(-56)^2=56^2$，再求其算术平方根；第(3)题先将带分数转化为假分数，再分别对分子、分母求算术平方根即可。
【解析】
解：
(1) 因为$0.9^2=0.81$，所以$\sqrt{0.81}=0.9$；
(2) 因为$(-56)^2=56^2$，且$56^2$的算术平方根为56，所以$\sqrt{(-56)^2}=56$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{57}{64}=\dfrac{1×64+57}{64}=\dfrac{121}{64}$，又因为$(\dfrac{11}{8})^2=\dfrac{121}{64}$，所以$\sqrt{1\dfrac{57}{64}}=\sqrt{\dfrac{121}{64}}=\dfrac{11}{8}$。
【答案】
(1)$0.9$；(2)$56$；(3)$\dfrac{11}{8}$
【知识点】
算术平方根计算，二次根式化简，带分数运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，解题时要注意算术平方根的结果是非负数，遇到带分数时要先转化为假分数再开方，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查算术平方根的求解，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，结果一定为非负数。第(1)题直接找出平方等于0.81的非负数即可；第(2)题先利用平方的性质得到$(-56)^2=56^2$，再求其算术平方根；第(3)题先将带分数转化为假分数，再分别对分子、分母求算术平方根即可。
【解析】
解：
(1) 因为$0.9^2=0.81$，所以$\sqrt{0.81}=0.9$；
(2) 因为$(-56)^2=56^2$，且$56^2$的算术平方根为56，所以$\sqrt{(-56)^2}=56$；
(3) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{57}{64}=\dfrac{1×64+57}{64}=\dfrac{121}{64}$，又因为$(\dfrac{11}{8})^2=\dfrac{121}{64}$，所以$\sqrt{1\dfrac{57}{64}}=\sqrt{\dfrac{121}{64}}=\dfrac{11}{8}$。
【答案】
(1)$0.9$；(2)$56$；(3)$\dfrac{11}{8}$
【知识点】
算术平方根计算，二次根式化简，带分数运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，解题时要注意算术平方根的结果是非负数，遇到带分数时要先转化为假分数再开方，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
