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16.若 $ m $ 的立方根是$-2$，求$-8m$的算术平方根.
答案
16.解:$\because m$ 的立方根是$-2$,
$\therefore m=(-2)^3=-8$.
$\therefore -8m=-8×(-8)=64$.
$\because 64$ 的算术平方根是 8,
$\therefore -8m$ 的算术平方根是 8.
$\therefore m=(-2)^3=-8$.
$\therefore -8m=-8×(-8)=64$.
$\because 64$ 的算术平方根是 8,
$\therefore -8m$ 的算术平方根是 8.
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：题目给出m的立方根是-2，结合立方根的定义：若a的立方根是x，则a等于x的三次方，据此可以先求出m的具体值。接下来要求-8m的算术平方根，只需将求得的m代入-8m计算出结果，再根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根），求出该结果的算术平方根即可。
【解析】
∵ m 的立方根是$-2$,
∴ $m=(-2)^3=-8$.
∴ $-8m=-8×(-8)=64$.
∵ $64$ 的算术平方根是 8,
∴ $-8m$ 的算术平方根是 8.
【答案】
8
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，有理数运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握立方根和算术平方根的定义，需要注意算术平方根的结果为非负数，避免出现正负号混淆的错误。
【难度系数】
0.8
拿到题目先梳理已知条件：题目给出m的立方根是-2，结合立方根的定义：若a的立方根是x，则a等于x的三次方，据此可以先求出m的具体值。接下来要求-8m的算术平方根，只需将求得的m代入-8m计算出结果，再根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根），求出该结果的算术平方根即可。
【解析】
∵ m 的立方根是$-2$,
∴ $m=(-2)^3=-8$.
∴ $-8m=-8×(-8)=64$.
∵ $64$ 的算术平方根是 8,
∴ $-8m$ 的算术平方根是 8.
【答案】
8
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，有理数运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握立方根和算术平方根的定义，需要注意算术平方根的结果为非负数，避免出现正负号混淆的错误。
【难度系数】
0.8
17. 下列整数中，与$10-\sqrt{13}$的值最接近的是 （
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
17.C
解析
【分析】
要找出与$10-\sqrt{13}$最接近的整数，核心是先估算出$\sqrt{13}$的大致取值，再代入计算后对比选项。首先找与13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$的整数范围，再进一步细化估算$\sqrt{13}$的近似值，最后计算$10-\sqrt{13}$的近似结果，判断最接近的整数即可。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{13}$的整数范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：细化估算$\sqrt{13}$的大小
计算得$3.6^2=12.96$，$3.7^2=13.69$，显然13与12.96非常接近，因此$\sqrt{13}\approx3.6$。
第三步：计算$10-\sqrt{13}$的近似值
$10-\sqrt{13}\approx10-3.6=6.4$，6.4与6的差值为0.4，与7的差值为0.6，因此$10-\sqrt{13}$最接近6。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，实数运算，实数大小比较
【点评】
本题是无理数相关的常考基础题，重点考查对无理数的估算能力，解题的关键是通过相邻完全平方数缩小无理数的取值范围，再结合近似计算得出结果。
【难度系数】
0.7
要找出与$10-\sqrt{13}$最接近的整数，核心是先估算出$\sqrt{13}$的大致取值，再代入计算后对比选项。首先找与13相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{13}$的整数范围，再进一步细化估算$\sqrt{13}$的近似值，最后计算$10-\sqrt{13}$的近似结果，判断最接近的整数即可。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{13}$的整数范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：细化估算$\sqrt{13}$的大小
计算得$3.6^2=12.96$，$3.7^2=13.69$，显然13与12.96非常接近，因此$\sqrt{13}\approx3.6$。
第三步：计算$10-\sqrt{13}$的近似值
$10-\sqrt{13}\approx10-3.6=6.4$，6.4与6的差值为0.4，与7的差值为0.6，因此$10-\sqrt{13}$最接近6。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，实数运算，实数大小比较
【点评】
本题是无理数相关的常考基础题，重点考查对无理数的估算能力，解题的关键是通过相邻完全平方数缩小无理数的取值范围，再结合近似计算得出结果。
【难度系数】
0.7
18. 任意找一个小于1的正数，利用计算器对它不断进行开平方运算，其结果如何？根据这个规律，则$\sqrt{a}$ ______ $a(0＜ a＜1)$（选填“＞”“＜”“≤”或“≥”）。
答案
18.＞
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以用七年级常用的特殊值法验证规律：首先选取几个满足0＜a＜1的数，分别计算它们的算术平方根，再将计算结果和原数对比大小，就能得出通用规律。另外从开平方的变化趋势看，小于1的正数每次开平方，结果都会比原数更大，不断趋近于1，因此开一次平方的结果一定大于原数。
【解析】
我们采用特殊值法验证：
1. 取a=0.01，满足0＜a＜1，计算得$\sqrt{0.01}=0.1$，显然0.1＞0.01，即$\sqrt{a}＞a$；
2. 再取a=0.25，满足0＜a＜1，计算得$\sqrt{0.25}=0.5$，0.5＞0.25，即$\sqrt{a}＞a$。
多次举例都符合该规律，因此当0＜a＜1时，$\sqrt{a}＞a$。
【答案】
＞
【知识点】
算术平方根的性质
【点评】
本题探究小于1的正数开平方的大小规律，考查对算术平方根概念的理解，使用特殊值法求解直观简便，解题时要注意a的取值范围对大小关系的影响。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以用七年级常用的特殊值法验证规律：首先选取几个满足0＜a＜1的数，分别计算它们的算术平方根，再将计算结果和原数对比大小，就能得出通用规律。另外从开平方的变化趋势看，小于1的正数每次开平方，结果都会比原数更大，不断趋近于1，因此开一次平方的结果一定大于原数。
【解析】
我们采用特殊值法验证：
1. 取a=0.01，满足0＜a＜1，计算得$\sqrt{0.01}=0.1$，显然0.1＞0.01，即$\sqrt{a}＞a$；
2. 再取a=0.25，满足0＜a＜1，计算得$\sqrt{0.25}=0.5$，0.5＞0.25，即$\sqrt{a}＞a$。
多次举例都符合该规律，因此当0＜a＜1时，$\sqrt{a}＞a$。
【答案】
＞
【知识点】
算术平方根的性质
【点评】
本题探究小于1的正数开平方的大小规律，考查对算术平方根概念的理解，使用特殊值法求解直观简便，解题时要注意a的取值范围对大小关系的影响。
【难度系数】
0.8
19. 我们知道$a+b=0$时，$a^3+b^3=0$也成立，若将$a$看成$a^3$的立方根，$b$看成$b^3$的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立；
(2)若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立；
(2)若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
答案
19.解:(1)$\because 2+(-2)=0$,
而且$2^3=8,(-2)^3=-8$,有$8-8=0$,
$\therefore$结论成立.
$\therefore$“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由(1)验证的结果,知$1-2x+3x-5=0$,
$\therefore x=4$.$\therefore 1-\sqrt{x}=1-2=-1$.
而且$2^3=8,(-2)^3=-8$,有$8-8=0$,
$\therefore$结论成立.
$\therefore$“若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由(1)验证的结果,知$1-2x+3x-5=0$,
$\therefore x=4$.$\therefore 1-\sqrt{x}=1-2=-1$.
解析
【分析】
(1)要判断给出的结论是否成立，可先找一对互为相反数的数作为立方根，计算它们对应的立方（也就是原数），验证这两个原数是否也互为相反数即可完成判断。
(2)根据第(1)问验证得到的结论，互为相反数的两个立方根，它们的被开方数也互为相反数，因此两个被开方数的和为0，据此列一元一次方程求出x的值，再代入$1-\sqrt{x}$计算即可得到结果。
【解析】
(1)举例：取立方根2和-2，满足$2+(-2)=0$，
计算二者的立方得：$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，可得$8+(-8)=0$，即8和-8也互为相反数，
因此“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”的结论成立。
(2)由(1)的结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数时，二者的被开方数也互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
合并同类项得$x-4=0$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$得：$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
【答案】
(1) 结论成立，举例如上述解析（举例不唯一）；
(2) $-1$
【知识点】
立方根的性质；相反数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题先通过举例验证猜想，再利用验证后的结论求解代数式的值，渗透了从特殊到一般的探究思路，解题核心是掌握互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，反之也成立的性质。
【难度系数】
0.8
(1)要判断给出的结论是否成立，可先找一对互为相反数的数作为立方根，计算它们对应的立方（也就是原数），验证这两个原数是否也互为相反数即可完成判断。
(2)根据第(1)问验证得到的结论，互为相反数的两个立方根，它们的被开方数也互为相反数，因此两个被开方数的和为0，据此列一元一次方程求出x的值，再代入$1-\sqrt{x}$计算即可得到结果。
【解析】
(1)举例：取立方根2和-2，满足$2+(-2)=0$，
计算二者的立方得：$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，可得$8+(-8)=0$，即8和-8也互为相反数，
因此“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”的结论成立。
(2)由(1)的结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数时，二者的被开方数也互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
合并同类项得$x-4=0$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$得：$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
【答案】
(1) 结论成立，举例如上述解析（举例不唯一）；
(2) $-1$
【知识点】
立方根的性质；相反数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题先通过举例验证猜想，再利用验证后的结论求解代数式的值，渗透了从特殊到一般的探究思路，解题核心是掌握互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，反之也成立的性质。
【难度系数】
0.8
