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1 下列多项式能用平方差公式分解因式的是 （
A.$x^2 + y^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$x^3 - y^2$
D.$a^2 - b^2$
D
）A.$x^2 + y^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$x^3 - y^2$
D.$a^2 - b^2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要牢记平方差公式适配的多项式的三个特征：1、多项式总共只有两项；2、两项都能写成某个整式的平方形式；3、两项符号相反，即一正一负。解题时对照这三个特征逐一排查选项即可。
【解析】
平方差公式的结构为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们结合上述特征逐一分析选项：
A选项：$x^2+y^2$是两项平方的和，两项符号相同，不满足“一正一负”的特征，不能用平方差公式分解；
B选项：$-a^2-b^2=-(a^2+b^2)$，变形后仍是两项平方的和，符号全部为负，不符合特征，不能用平方差公式分解；
C选项：$x^3-y^2$中第一项$x^3$是三次项，无法写成某个整式的平方形式，不符合特征，不能用平方差公式分解；
D选项：$a^2-b^2$同时满足“两项、均为平方项、符号一正一负”的全部特征，可以用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，牢记特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要牢记平方差公式适配的多项式的三个特征：1、多项式总共只有两项；2、两项都能写成某个整式的平方形式；3、两项符号相反，即一正一负。解题时对照这三个特征逐一排查选项即可。
【解析】
平方差公式的结构为：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们结合上述特征逐一分析选项：
A选项：$x^2+y^2$是两项平方的和，两项符号相同，不满足“一正一负”的特征，不能用平方差公式分解；
B选项：$-a^2-b^2=-(a^2+b^2)$，变形后仍是两项平方的和，符号全部为负，不符合特征，不能用平方差公式分解；
C选项：$x^3-y^2$中第一项$x^3$是三次项，无法写成某个整式的平方形式，不符合特征，不能用平方差公式分解；
D选项：$a^2-b^2$同时满足“两项、均为平方项、符号一正一负”的全部特征，可以用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，牢记特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是 （
A.$x^2 -4x +4$
B.$x^2 +4x$
C.$x^2 +4$
D.$x^2 -4$
A
）A.$x^2 -4x +4$
B.$x^2 +4x$
C.$x^2 +4$
D.$x^2 -4$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式的结构特征：能用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中两项为两个整式的平方且符号相同，剩下一项是这两个整式乘积的2倍，即符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式。解题时我们只需逐一判断每个选项是否符合上述结构即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2-4x+4$可变形为$x^2 - 2× x×2 + 2^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构（其中$a=x$，$b=2$），可分解为$(x-2)^2$，符合要求；
B选项：$x^2+4x$只有两项，缺少常数平方项，不符合完全平方公式的三项式要求，不能用完全平方公式分解；
C选项：$x^2+4$是两项式，缺少两个整式乘积的2倍的中间项，不符合结构，不能用完全平方公式分解；
D选项：$x^2-4$是两项的平方差，仅能用平方差公式分解，不符合完全平方公式的结构。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题重点考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是熟练掌握完全平方公式“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”的特点，做题时注意区分完全平方公式与平方差公式的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.85
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式的结构特征：能用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中两项为两个整式的平方且符号相同，剩下一项是这两个整式乘积的2倍，即符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式。解题时我们只需逐一判断每个选项是否符合上述结构即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2-4x+4$可变形为$x^2 - 2× x×2 + 2^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构（其中$a=x$，$b=2$），可分解为$(x-2)^2$，符合要求；
B选项：$x^2+4x$只有两项，缺少常数平方项，不符合完全平方公式的三项式要求，不能用完全平方公式分解；
C选项：$x^2+4$是两项式，缺少两个整式乘积的2倍的中间项，不符合结构，不能用完全平方公式分解；
D选项：$x^2-4$是两项的平方差，仅能用平方差公式分解，不符合完全平方公式的结构。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题重点考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是熟练掌握完全平方公式“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”的特点，做题时注意区分完全平方公式与平方差公式的适用场景，避免混淆。
【难度系数】
0.85
3 下列多项式能进行因式分解的是 （
A.$x^4 + 4$
B.$x^2 + 2x + 2$
C.$x^2 - x + \frac{1}{4}$
D.$x^2 - 4y$
C
）A.$x^4 + 4$
B.$x^2 + 2x + 2$
C.$x^2 - x + \frac{1}{4}$
D.$x^2 - 4y$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断多项式能否因式分解，需结合八年级所学的提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），看多项式能否转化为几个整式乘积的形式，解题时逐一分析每个选项是否符合因式分解的条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $x^4 + 4$：无公因式，不符合平方差公式（两项均为正，无法写成平方相减的形式），也不符合完全平方公式的结构特征，在所学知识范围内无法因式分解；
B. $x^2 + 2x + 2$：若尝试凑完全平方，可得$x^2+2x+1+1=(x+1)^2+1$，结果是平方加正数，无法写成整式乘积的形式，不能因式分解；
C. $x^2 - x + \frac{1}{4}$：符合完全平方差公式的结构，其中$a=x$，$b=\frac{1}{2}$，所以$x^2 - x + (\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，可以因式分解；
D. $x^2 - 4y$：无公因式，第二项$4y$不是整式的平方（$y$的次数为1），不符合平方差公式的结构，无法因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的判断、完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握因式分解的常用方法以及平方差、完全平方公式的结构特征，逐项排查即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否因式分解，需结合八年级所学的提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），看多项式能否转化为几个整式乘积的形式，解题时逐一分析每个选项是否符合因式分解的条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $x^4 + 4$：无公因式，不符合平方差公式（两项均为正，无法写成平方相减的形式），也不符合完全平方公式的结构特征，在所学知识范围内无法因式分解；
B. $x^2 + 2x + 2$：若尝试凑完全平方，可得$x^2+2x+1+1=(x+1)^2+1$，结果是平方加正数，无法写成整式乘积的形式，不能因式分解；
C. $x^2 - x + \frac{1}{4}$：符合完全平方差公式的结构，其中$a=x$，$b=\frac{1}{2}$，所以$x^2 - x + (\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，可以因式分解；
D. $x^2 - 4y$：无公因式，第二项$4y$不是整式的平方（$y$的次数为1），不符合平方差公式的结构，无法因式分解。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的判断、完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握因式分解的常用方法以及平方差、完全平方公式的结构特征，逐项排查即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4 把多项式$3x^2 - 27$进行因式分解，正确的结果是 （
A.$3(x^2 - 9)$
B.$3(x - 3)^2$
C.$3(x - 9)(x + 9)$
D.$3(x - 3)(x + 3)$
D
）A.$3(x^2 - 9)$
B.$3(x - 3)^2$
C.$3(x - 9)(x + 9)$
D.$3(x - 3)(x + 3)$
答案
4.D
解析
【分析】
对多项式因式分解需遵循常规步骤：首先提取公因式，再判断剩余多项式是否可利用乘法公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止，最后对应选项判断正误即可。
【解析】
第一步：提取公因式，观察多项式$3x^2 - 27$，两项都含有公因式3，提取后得：$3(x^2 - 9)$；
第二步：用平方差公式继续分解，$x^2 - 9$符合$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的形式，其中$a=x$，$b=3$，因此$x^2 - 9=(x-3)(x+3)$；
第三步：整理得最终分解结果为$3(x-3)(x+3)$。
选项分析：A选项未分解完全，$x^2-9$还可继续分解，错误；B选项展开后为$3x^2-18x+27$，与原式不符，错误；C选项误用平方差公式的常数项，错误；D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点在于分解不彻底、混淆乘法公式，解题时要牢记因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，同时准确对应公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
对多项式因式分解需遵循常规步骤：首先提取公因式，再判断剩余多项式是否可利用乘法公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止，最后对应选项判断正误即可。
【解析】
第一步：提取公因式，观察多项式$3x^2 - 27$，两项都含有公因式3，提取后得：$3(x^2 - 9)$；
第二步：用平方差公式继续分解，$x^2 - 9$符合$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的形式，其中$a=x$，$b=3$，因此$x^2 - 9=(x-3)(x+3)$；
第三步：整理得最终分解结果为$3(x-3)(x+3)$。
选项分析：A选项未分解完全，$x^2-9$还可继续分解，错误；B选项展开后为$3x^2-18x+27$，与原式不符，错误；C选项误用平方差公式的常数项，错误；D选项符合分解结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点在于分解不彻底、混淆乘法公式，解题时要牢记因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止，同时准确对应公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
5 下列因式分解正确的是 (
A.$m^2 -6m +9=(m-3)^2$
B.$x^2 - y^2=(x+4y)(x-4y)$
C.$x^2 -x -2=x(x-1)-2$
D.$2a^2 +4a=a(2a+4)$
A
)A.$m^2 -6m +9=(m-3)^2$
B.$x^2 - y^2=(x+4y)(x-4y)$
C.$x^2 -x -2=x(x-1)-2$
D.$2a^2 +4a=a(2a+4)$
答案
5.A
解析
【分析】
拿到这道题，首先要明确因式分解的两个核心判断标准：一是最终结果必须是几个整式的乘积形式，二是分解过程要正确，且要分解到不能再分解为止。解题时我们逐个分析每个选项，依次验证是否符合上述两个要求即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：$m^2 -6m +9$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=m$，$b=3$，因此可分解为$(m-3)^2$，因式分解正确。
选项B：$x^2 - y^2$适用平方差公式，正确分解结果应为$(x+y)(x-y)$，选项给出的结果展开后为$x^2-16y^2$，和原式不相等，分解错误。
选项C：因式分解的结果必须是整式乘积的形式，$x(x-1)-2$最终是差的形式，不符合因式分解的定义，错误。
选项D：$2a^2 +4a$提取公因式时，公因式应为$2a$，正确分解结果为$2a(a+2)$，选项分解后剩余的$2a+4$还能继续提取公因式2，分解不彻底，错误。
综上，只有选项A的因式分解正确。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义；公式法分解因式；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题时需先判断结果是否为整式乘积形式，再验证分解是否正确、是否分解彻底，熟练掌握因式分解的常用方法和判断标准是解题关键。
【难度系数】
0.85
拿到这道题，首先要明确因式分解的两个核心判断标准：一是最终结果必须是几个整式的乘积形式，二是分解过程要正确，且要分解到不能再分解为止。解题时我们逐个分析每个选项，依次验证是否符合上述两个要求即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：$m^2 -6m +9$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=m$，$b=3$，因此可分解为$(m-3)^2$，因式分解正确。
选项B：$x^2 - y^2$适用平方差公式，正确分解结果应为$(x+y)(x-y)$，选项给出的结果展开后为$x^2-16y^2$，和原式不相等，分解错误。
选项C：因式分解的结果必须是整式乘积的形式，$x(x-1)-2$最终是差的形式，不符合因式分解的定义，错误。
选项D：$2a^2 +4a$提取公因式时，公因式应为$2a$，正确分解结果为$2a(a+2)$，选项分解后剩余的$2a+4$还能继续提取公因式2，分解不彻底，错误。
综上，只有选项A的因式分解正确。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义；公式法分解因式；提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题时需先判断结果是否为整式乘积形式，再验证分解是否正确、是否分解彻底，熟练掌握因式分解的常用方法和判断标准是解题关键。
【难度系数】
0.85
6 利用因式分解计算 $11 × 102^2 - 11 × 98^2$，正确的结果是 （
A.44
B.88
C.2 200
D.8 800
D
）A.44
B.88
C.2 200
D.8 800
答案
6.D
解析
【分析】
观察算式可发现两项均含有公因式11，首先提取公因式简化式子，提取后剩余的$102^2-98^2$符合平方差公式的结构特征，再利用平方差公式因式分解，即可避免直接计算大数乘方，快速算出结果。
【解析】
解：$11 × 102^2 - 11 × 98^2$
①提取公因式11：
$=11×(102^2 - 98^2)$
②根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解括号内的式子：
$=11×(102+98)×(102-98)$
③计算括号内的数值：
$102+98=200$，$102-98=4$，代入得：
$=11×200×4$
④计算最终结果：
$=11×800=8800$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的常规题型，通过提取公因式结合平方差公式，将复杂的乘方运算转化为简单的整数乘法，减少了计算量，熟练掌握因式分解的基本方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
观察算式可发现两项均含有公因式11，首先提取公因式简化式子，提取后剩余的$102^2-98^2$符合平方差公式的结构特征，再利用平方差公式因式分解，即可避免直接计算大数乘方，快速算出结果。
【解析】
解：$11 × 102^2 - 11 × 98^2$
①提取公因式11：
$=11×(102^2 - 98^2)$
②根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解括号内的式子：
$=11×(102+98)×(102-98)$
③计算括号内的数值：
$102+98=200$，$102-98=4$，代入得：
$=11×200×4$
④计算最终结果：
$=11×800=8800$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的常规题型，通过提取公因式结合平方差公式，将复杂的乘方运算转化为简单的整数乘法，减少了计算量，熟练掌握因式分解的基本方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
7 若$a - b = 4$，则$a^2 - b^2 - 8a$的值为（
A.8
B.$-8$
C.12
D.$-16$
D
）A.8
B.$-8$
C.12
D.$-16$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的特征，因此第一步先用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，再代入已知条件$a - b=4$，对代数式进行化简，最终凑出已知的$a-b$整体，代入数值计算即可；也可使用换元法，将$a$用含$b$的代数式$a=b+4$表示，直接代入原式化简求值。
【解析】
解：方法一：利用平方差公式化简
根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，已知$a - b = 4$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a - b)(a + b) - 8a\\&=4(a + b) - 8a\\&=4a + 4b - 8a\\&=-4a + 4b\\&=-4(a - b)\end{aligned}$
再将$a - b = 4$代入得：$-4×4=-16$。
方法二：换元代入法
由$a - b = 4$得$a = b + 4$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(b + 4)^2 - b^2 - 8(b + 4)\\&=b^2 + 8b + 16 - b^2 - 8b - 32\\&=-16\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整体代入
【点评】
本题是整式运算的常考基础题，核心考查平方差公式的灵活运用，通过因式分解或换元法将未知代数式转化为含已知条件的形式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构，发现含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的特征，因此第一步先用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，再代入已知条件$a - b=4$，对代数式进行化简，最终凑出已知的$a-b$整体，代入数值计算即可；也可使用换元法，将$a$用含$b$的代数式$a=b+4$表示，直接代入原式化简求值。
【解析】
解：方法一：利用平方差公式化简
根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，已知$a - b = 4$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a - b)(a + b) - 8a\\&=4(a + b) - 8a\\&=4a + 4b - 8a\\&=-4a + 4b\\&=-4(a - b)\end{aligned}$
再将$a - b = 4$代入得：$-4×4=-16$。
方法二：换元代入法
由$a - b = 4$得$a = b + 4$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(b + 4)^2 - b^2 - 8(b + 4)\\&=b^2 + 8b + 16 - b^2 - 8b - 32\\&=-16\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整体代入
【点评】
本题是整式运算的常考基础题，核心考查平方差公式的灵活运用，通过因式分解或换元法将未知代数式转化为含已知条件的形式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8 辰辰是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:$x-1,a-b,3,x^2+1,a,$$x+1$分别对应六个字:算,爱,我,数,学,计.现将$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$进行因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (
A.我爱数学
B.爱计算
C.计算数学
D.我爱计算
D
)A.我爱数学
B.爱计算
C.计算数学
D.我爱计算
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先要对给定多项式进行因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再用公式”的原则，分解完成后将每个因式对应到题干给出的汉字，最后组合汉字匹配选项即可。先观察多项式结构，两项都含有公因式$3(x^2-1)$，提取公因式后，剩余的$x^2-1$符合平方差公式的形式，可以继续分解，最终得到所有因式对应的汉字，组合后就能得到答案。
【解析】
对多项式$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2-1)$，可得：
原式$=3(x^2-1)(a-b)$
2. 利用平方差公式分解$x^2-1$：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入后得：
原式$=3(x+1)(x-1)(a-b)$
根据题干对应关系：$3$对应“我”，$a-b$对应“爱”，$x+1$对应“计”，$x-1$对应“算”，组合可得汉字为“我爱计算”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题以密码编译为背景，考查因式分解的实际应用，解题关键是熟练掌握因式分解的基本步骤，准确提取公因式、运用公式分解，再对应信息得到结果，趣味性较强，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题时首先要对给定多项式进行因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再用公式”的原则，分解完成后将每个因式对应到题干给出的汉字，最后组合汉字匹配选项即可。先观察多项式结构，两项都含有公因式$3(x^2-1)$，提取公因式后，剩余的$x^2-1$符合平方差公式的形式，可以继续分解，最终得到所有因式对应的汉字，组合后就能得到答案。
【解析】
对多项式$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2-1)$，可得：
原式$=3(x^2-1)(a-b)$
2. 利用平方差公式分解$x^2-1$：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入后得：
原式$=3(x+1)(x-1)(a-b)$
根据题干对应关系：$3$对应“我”，$a-b$对应“爱”，$x+1$对应“计”，$x-1$对应“算”，组合可得汉字为“我爱计算”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题以密码编译为背景，考查因式分解的实际应用，解题关键是熟练掌握因式分解的基本步骤，准确提取公因式、运用公式分解，再对应信息得到结果，趣味性较强，难度不大。
【难度系数】
0.8
9 因式分解：$2ab^2 - 8a =$
$2a(b-2)(b+2)$
.答案
9.$2a(b-2)(b+2)$
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，确保分解彻底。本题先找两项的公因式提取，再对剩余部分用平方差公式分解即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式$2a$：
$2ab^2 - 8a = 2a(b^2 - 4)$
第二步，观察$b^2 - 4$符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$的结构，其中$m=b$，$n=2$，因此继续分解：
$2a(b^2 - 4) = 2a(b - 2)(b + 2)$
此时两个一次因式都无法再分解，分解完成。
【答案】
$2a(b-2)(b+2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤，解题时要注意公因式要提取完全，分解最终要保证每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，确保分解彻底。本题先找两项的公因式提取，再对剩余部分用平方差公式分解即可。
【解析】
解：第一步，提取公因式$2a$：
$2ab^2 - 8a = 2a(b^2 - 4)$
第二步，观察$b^2 - 4$符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$的结构，其中$m=b$，$n=2$，因此继续分解：
$2a(b^2 - 4) = 2a(b - 2)(b + 2)$
此时两个一次因式都无法再分解，分解完成。
【答案】
$2a(b-2)(b+2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤，解题时要注意公因式要提取完全，分解最终要保证每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
10 因式分解：$4x^2 - 24xy + 36y^2 =$
$4(x-3y)^2$
.答案
10.$4(x-3y)^2$
解析
【分析】
解题时先观察多项式的各项特征，遵循因式分解“一提二套三查”的思路：首先找各项的公因式，本题各项系数的最大公因数是4，先提取公因式；再看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$x^2-6xy+9y^2$刚好满足完全平方差公式的形式，套用公式即可完成分解，最后检查分解结果是否彻底。
【解析】
1. 提取公因式4：
$4x^2 - 24xy + 36y^2 = 4(x^2 - 6xy + 9y^2)$
2. 对括号内的多项式运用完全平方公式分解：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3y$，可得：
$x^2 - 6xy + 9y^2 = x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2 = (x-3y)^2$
因此原式$=4(x-3y)^2$
【答案】
$4(x-3y)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要牢记因式分解的常规步骤，先提取公因式再套用公式，最后要确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察多项式的各项特征，遵循因式分解“一提二套三查”的思路：首先找各项的公因式，本题各项系数的最大公因数是4，先提取公因式；再看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$x^2-6xy+9y^2$刚好满足完全平方差公式的形式，套用公式即可完成分解，最后检查分解结果是否彻底。
【解析】
1. 提取公因式4：
$4x^2 - 24xy + 36y^2 = 4(x^2 - 6xy + 9y^2)$
2. 对括号内的多项式运用完全平方公式分解：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=3y$，可得：
$x^2 - 6xy + 9y^2 = x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2 = (x-3y)^2$
因此原式$=4(x-3y)^2$
【答案】
$4(x-3y)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要牢记因式分解的常规步骤，先提取公因式再套用公式，最后要确认分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
11 已知$x+y=5$，$xy=2$，则$x^3y + 2x^2y^2 + xy^3$的值等于
50
。答案
11.50
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现各项均含有公因式$xy$，因此先提取公因式，再对剩余部分利用完全平方公式进行因式分解，将代数式转化为仅含$x+y$和$xy$的形式，最后将已知的$x+y$和$xy$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y + 2x^2y^2 + xy^3&=xy(x^2 + 2xy + y^2)\\&=xy(x+y)^2\end{aligned}$
将$x+y=5$，$xy=2$代入上式：
$xy(x+y)^2=2×5^2=2×25=50$
【答案】
50
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的形式，避免了求解$x$、$y$的具体值，简化了计算过程，需要熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现各项均含有公因式$xy$，因此先提取公因式，再对剩余部分利用完全平方公式进行因式分解，将代数式转化为仅含$x+y$和$xy$的形式，最后将已知的$x+y$和$xy$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}x^3y + 2x^2y^2 + xy^3&=xy(x^2 + 2xy + y^2)\\&=xy(x+y)^2\end{aligned}$
将$x+y=5$，$xy=2$代入上式：
$xy(x+y)^2=2×5^2=2×25=50$
【答案】
50
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的核心是通过因式分解将待求式转化为含有已知条件的形式，避免了求解$x$、$y$的具体值，简化了计算过程，需要熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。
【难度系数】
0.8
三、解答题
12 因式分解：$x^2(x-y)+y^2(y-x).$
12 因式分解：$x^2(x-y)+y^2(y-x).$
答案
12.原式$=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)^2(x+y).$
解析
【分析】
解题时首先观察式子结构，发现两项分别含有因式$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，可先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，使两项出现相同公因式$(x-y)$；第二步提取公因式$(x-y)$后，剩余部分为$x^2-y^2$，符合平方差公式的结构特征；第三步运用平方差公式继续分解，最后将相同因式合并为幂的形式，确保分解彻底即可。
【解析】
解：$x^2(x-y)+y^2(y-x)$
$=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)$
$=(x-y)(x+y)(x-y)$
$=(x-y)^2(x+y)$
【答案】
$(x-y)^2(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是先对互为相反数的因式做变形处理找到公因式，提取公因式后再结合公式法完成二次分解，需注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察式子结构，发现两项分别含有因式$(x-y)$和$(y-x)$，二者互为相反数，可先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，使两项出现相同公因式$(x-y)$；第二步提取公因式$(x-y)$后，剩余部分为$x^2-y^2$，符合平方差公式的结构特征；第三步运用平方差公式继续分解，最后将相同因式合并为幂的形式，确保分解彻底即可。
【解析】
解：$x^2(x-y)+y^2(y-x)$
$=x^2(x-y)-y^2(x-y)$
$=(x-y)(x^2-y^2)$
$=(x-y)(x+y)(x-y)$
$=(x-y)^2(x+y)$
【答案】
$(x-y)^2(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是先对互为相反数的因式做变形处理找到公因式，提取公因式后再结合公式法完成二次分解，需注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式。
【难度系数】
0.8
