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13 如图,在一块半径为 $ R $ 的圆形板材上,挖去4个半径为 $ r $ 的小圆,小刚测得,$ R=6.8 \, \mathrm{cm}, r=1.6 \, \mathrm{cm} $.他想知道剩余阴影部分的面积,你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗?请写出求解的过程($ π $ 取 3).
答案
13.解:根据题意,得剩余阴影部分的面积=圆形板材的面积−4个小圆的面积.剩余阴影部分的面积$=πR^2-4πr^2=π(R^2-4r^2)=π(R+2r)(R-2r),$将$R=6.8\ \mathrm{cm},r=1.6\ \mathrm{cm}$代入上式,得剩余阴影部分的面积$=π(R+2r)(R-2r)=π(6.8+3.2)(6.8-3.2)≈108(\mathrm{cm}^2).$答:剩余阴影部分的面积约为$108\ \mathrm{cm}^2.$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影面积等于半径为R的大圆面积减去4个半径为r的小圆面积之和。我们可以先根据圆的面积公式写出面积表达式，再通过因式分解简化计算：先提取公因式π，再利用平方差公式对括号内的式子分解，最后代入数值计算，相比直接计算平方更简便，能减少计算量。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
阴影部分面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积和
即：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2) \quad \mathrm{（提取公因式）}\\&=π(R + 2r)(R - 2r) \quad \mathrm{（利用平方差公式因式分解，其中}4r^2=(2r)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$R=6.8\,\mathrm{cm}$，$r=1.6\,\mathrm{cm}$，$π=3$代入上式：
先计算括号内的数值：
$R+2r=6.8 + 2×1.6=6.8+3.2=10\,\mathrm{cm}$
$R-2r=6.8 - 2×1.6=6.8-3.2=3.6\,\mathrm{cm}$
代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=3×10×3.6=108\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
剩余阴影部分的面积约为$108\,\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 圆的面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算与因式分解知识，借助因式分解可简化复杂的数值运算，降低计算出错的概率，体现了代数方法在解决几何问题中的便捷性。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影面积等于半径为R的大圆面积减去4个半径为r的小圆面积之和。我们可以先根据圆的面积公式写出面积表达式，再通过因式分解简化计算：先提取公因式π，再利用平方差公式对括号内的式子分解，最后代入数值计算，相比直接计算平方更简便，能减少计算量。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
阴影部分面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积和
即：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2) \quad \mathrm{（提取公因式）}\\&=π(R + 2r)(R - 2r) \quad \mathrm{（利用平方差公式因式分解，其中}4r^2=(2r)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$R=6.8\,\mathrm{cm}$，$r=1.6\,\mathrm{cm}$，$π=3$代入上式：
先计算括号内的数值：
$R+2r=6.8 + 2×1.6=6.8+3.2=10\,\mathrm{cm}$
$R-2r=6.8 - 2×1.6=6.8-3.2=3.6\,\mathrm{cm}$
代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=3×10×3.6=108\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
剩余阴影部分的面积约为$108\,\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 圆的面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算与因式分解知识，借助因式分解可简化复杂的数值运算，降低计算出错的概率，体现了代数方法在解决几何问题中的便捷性。
【难度系数】
0.7
14 若实数$a,b$满足$\sqrt{a+4b-6} + a^2 + 4b^2 = 4ab$，则$a+b$的值是 （
A.1
B.$-1$
C.3
D.$-3$
C
）A.1
B.$-1$
C.3
D.$-3$
答案
14.C
解析
【分析】
首先观察等式结构，发现将等式右侧的4ab移到左侧后，$a^2 - 4ab + 4b^2$符合完全平方公式的形式，可变形为$(a-2b)^2$。此时原式变为算术平方根与平方的和为0的形式，根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，即可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后计算a+b即可。
【解析】
对原式进行变形：
$\sqrt{a+4b-6} + a^2 + 4b^2 = 4ab$
移项得：$\sqrt{a+4b-6} + a^2 - 4ab + 4b^2 = 0$
由完全平方公式得：$\sqrt{a+4b-6} + (a-2b)^2 = 0$
$\because \sqrt{a+4b-6} ≥ 0$，$(a-2b)^2 ≥ 0$，且两者的和为0
$\therefore$ 可得方程组：
$\begin{cases}a + 4b - 6 = 0 \\a - 2b = 0\end{cases}$
由第二个方程得$a = 2b$，代入第一个方程：
$2b + 4b - 6 = 0$
$6b = 6$，解得$b = 1$
则$a = 2b = 2×1 = 2$
$\therefore a + b = 2 + 1 = 3$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题是代数运算的常考题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形，灵活运用非负数的性质建立方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先观察等式结构，发现将等式右侧的4ab移到左侧后，$a^2 - 4ab + 4b^2$符合完全平方公式的形式，可变形为$(a-2b)^2$。此时原式变为算术平方根与平方的和为0的形式，根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，即可列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后计算a+b即可。
【解析】
对原式进行变形：
$\sqrt{a+4b-6} + a^2 + 4b^2 = 4ab$
移项得：$\sqrt{a+4b-6} + a^2 - 4ab + 4b^2 = 0$
由完全平方公式得：$\sqrt{a+4b-6} + (a-2b)^2 = 0$
$\because \sqrt{a+4b-6} ≥ 0$，$(a-2b)^2 ≥ 0$，且两者的和为0
$\therefore$ 可得方程组：
$\begin{cases}a + 4b - 6 = 0 \\a - 2b = 0\end{cases}$
由第二个方程得$a = 2b$，代入第一个方程：
$2b + 4b - 6 = 0$
$6b = 6$，解得$b = 1$
则$a = 2b = 2×1 = 2$
$\therefore a + b = 2 + 1 = 3$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题是代数运算的常考题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形，灵活运用非负数的性质建立方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
15 求证:当n是整数时,两个连续奇数的平方差是8的倍数.
答案
15.证明:设两个连续的奇数分别为 $2n + 1,2n - 1$,则$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 =$$[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n.∵n$ 是整数,
∴$8n$ 是 8 的倍数,故两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.
∴$8n$ 是 8 的倍数,故两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.
解析
【分析】
要证明该结论，第一步先用含整数n的代数式表示两个连续奇数：相邻奇数的差为2，因此可设两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$（n为整数）；第二步写出两个奇数的平方差表达式，观察式子符合平方差公式的结构，可利用平方差公式因式分解化简，也可直接展开后合并同类项；第三步结合n是整数的条件，判断化简结果是否为8的倍数，即可完成证明。
【解析】
证明：设两个连续的奇数分别为 $2n + 1,2n - 1$（n为整数），则
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
∵n是整数，
∴$8n$是8的倍数，因此两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数，得证。
【知识点】
平方差公式、奇数的代数表示、整式化简
【点评】
本题考查利用整式运算证明数的整除性，解题关键是正确用代数式表示连续奇数，灵活运用乘法公式简化计算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.75
要证明该结论，第一步先用含整数n的代数式表示两个连续奇数：相邻奇数的差为2，因此可设两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$（n为整数）；第二步写出两个奇数的平方差表达式，观察式子符合平方差公式的结构，可利用平方差公式因式分解化简，也可直接展开后合并同类项；第三步结合n是整数的条件，判断化简结果是否为8的倍数，即可完成证明。
【解析】
证明：设两个连续的奇数分别为 $2n + 1,2n - 1$（n为整数），则
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
∵n是整数，
∴$8n$是8的倍数，因此两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数，得证。
【知识点】
平方差公式、奇数的代数表示、整式化简
【点评】
本题考查利用整式运算证明数的整除性，解题关键是正确用代数式表示连续奇数，灵活运用乘法公式简化计算，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.75
1 (2025·山东枣庄)因式分解：$x^2 + 2x =$
$x(x+2)$
.答案
1.$x(x+2)$
解析
【分析】
本题考查因式分解的基础应用，解题时优先观察多项式各项是否存在公因式：先找各项系数的最大公因数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，提取公因式即可完成因式分解。观察多项式$x^2+2x$，两项系数的最大公因数是1，都含有字母$x$且$x$的最低次幂为1次，因此公因式为$x$，提取公因式就能得到结果。
【解析】
对多项式$x^2+2x$提取公因式$x$：
$\begin{aligned}x^2+2x&=x· x + x· 2\\&=x(x+2)\end{aligned}$
【答案】
$x(x+2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是优先判断多项式是否含有公因式，准确找到公因式后提取即可，注意因式分解的结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基础应用，解题时优先观察多项式各项是否存在公因式：先找各项系数的最大公因数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，提取公因式即可完成因式分解。观察多项式$x^2+2x$，两项系数的最大公因数是1，都含有字母$x$且$x$的最低次幂为1次，因此公因式为$x$，提取公因式就能得到结果。
【解析】
对多项式$x^2+2x$提取公因式$x$：
$\begin{aligned}x^2+2x&=x· x + x· 2\\&=x(x+2)\end{aligned}$
【答案】
$x(x+2)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是优先判断多项式是否含有公因式，准确找到公因式后提取即可，注意因式分解的结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
2 (2025·云南)分解因式：$x^3 -9x =$
$x(x+3)(x-3)$
.答案
2.$x(x+3)(x-3)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式$x$，优先提取公因式；提取公因式后得到$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，再套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否都不能再分解，确保分解彻底即可。
【解析】
解：对$x^3 -9x$进行分解因式
第一步：提取公因式$x$，可得
$x^3 -9x = x(x^2 - 9)$
第二步：利用平方差公式分解$x^2-9$，其中$a=x$，$b=3$，代入公式得
$x(x^2 - 9)=x(x+3)(x-3)$
此时所有因式均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$x(x+3)(x-3)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础典型题，考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意先提公因式再套公式，最终要保证分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.85
分解因式遵循“一提二套三查”的通用思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式$x$，优先提取公因式；提取公因式后得到$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，再套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否都不能再分解，确保分解彻底即可。
【解析】
解：对$x^3 -9x$进行分解因式
第一步：提取公因式$x$，可得
$x^3 -9x = x(x^2 - 9)$
第二步：利用平方差公式分解$x^2-9$，其中$a=x$，$b=3$，代入公式得
$x(x^2 - 9)=x(x+3)(x-3)$
此时所有因式均无法继续分解，分解完成。
【答案】
$x(x+3)(x-3)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础典型题，考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意先提公因式再套公式，最终要保证分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.85
3 (2025·山西太原）因式分解：$4x^2 - (y - 2)^2 =$
$(2x+y-2)(2x-y+2)$
。答案
3.$(2x+y-2)(2x-y+2)$
解析
【分析】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题思路如下：第一步先观察原式结构，识别出原式是两个整式的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的适用条件；第二步确定公式中对应的$a$和$b$，其中$4x^2=(2x)^2$，即$a=2x$，$b=y-2$；第三步代入平方差公式展开，最后化简括号内的式子即可得到结果，注意去括号时要正确处理符号。
【解析】
首先将原式变形为平方差的形式：
$4x^2 - (y - 2)^2=(2x)^2-(y-2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2x$，$b=y-2$可得：
$\begin{aligned}原式&=[2x+(y-2)][2x-(y-2)]\\&=(2x+y-2)(2x-y+2)\end{aligned}$
【答案】
$(2x+y-2)(2x-y+2)$
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，代入公式后去括号时要注意负号对括号内各项符号的影响，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题思路如下：第一步先观察原式结构，识别出原式是两个整式的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的适用条件；第二步确定公式中对应的$a$和$b$，其中$4x^2=(2x)^2$，即$a=2x$，$b=y-2$；第三步代入平方差公式展开，最后化简括号内的式子即可得到结果，注意去括号时要正确处理符号。
【解析】
首先将原式变形为平方差的形式：
$4x^2 - (y - 2)^2=(2x)^2-(y-2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2x$，$b=y-2$可得：
$\begin{aligned}原式&=[2x+(y-2)][2x-(y-2)]\\&=(2x+y-2)(2x-y+2)\end{aligned}$
【答案】
$(2x+y-2)(2x-y+2)$
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，代入公式后去括号时要注意负号对括号内各项符号的影响，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4 (2025·辽宁沈阳)因式分解：$x^2 -5x +6=$
$(x-2)(x-3)$
答案
4.$(x-2)(x-3)$
解析
【分析】
这是二次项系数为1的二次三项式因式分解问题，式子无公因式可提取，优先选用十字相乘法求解。解题时核心是找到两个数，满足二者乘积等于常数项6，二者之和等于一次项系数-5，找到符合条件的数后即可直接写成两个一次式相乘的形式。
【解析】
对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，若存在两个数$p$、$q$，满足$p× q=c$且$p+q=b$，则可分解为$x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$。
本题中$b=-5$，$c=6$：
$\because (-2)×(-3)=6$，$(-2)+(-3)=-5$，符合上述条件
$\therefore x^2 -5x +6=(x-2)(x-3)$
可展开验证：$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，分解结果正确。
【答案】
$(x-2)(x-3)$
【知识点】
十字相乘法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查十字相乘法在二次三项式分解中的应用，解题时需注意常数项分解的因数符号，确保两个因数的和与一次项系数完全一致。
【难度系数】
0.85
这是二次项系数为1的二次三项式因式分解问题，式子无公因式可提取，优先选用十字相乘法求解。解题时核心是找到两个数，满足二者乘积等于常数项6，二者之和等于一次项系数-5，找到符合条件的数后即可直接写成两个一次式相乘的形式。
【解析】
对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$，若存在两个数$p$、$q$，满足$p× q=c$且$p+q=b$，则可分解为$x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$。
本题中$b=-5$，$c=6$：
$\because (-2)×(-3)=6$，$(-2)+(-3)=-5$，符合上述条件
$\therefore x^2 -5x +6=(x-2)(x-3)$
可展开验证：$(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$，分解结果正确。
【答案】
$(x-2)(x-3)$
【知识点】
十字相乘法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查十字相乘法在二次三项式分解中的应用，解题时需注意常数项分解的因数符号，确保两个因数的和与一次项系数完全一致。
【难度系数】
0.85
5 (2025·四川凉山州)已知$a^2 - b^2 = 12$，且$a - b = 2$，则$a + b =$
6
。答案
5.6
解析
【分析】
解题时首先观察到已知式$a^2 - b^2$符合平方差公式的结构，首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。题目已经给出$a^2 - b^2$和$a-b$的取值，只需将已知条件代入公式，即可直接求出$a+b$的值，无需单独计算$a$、$b$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = 2$代入上式，得：
$12 = 2 × (a + b)$
等式两边同时除以2，解得：
$a + b = 6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的掌握，只要熟练记忆公式，就能快速代入求解，是整式乘法相关知识点的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察到已知式$a^2 - b^2$符合平方差公式的结构，首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。题目已经给出$a^2 - b^2$和$a-b$的取值，只需将已知条件代入公式，即可直接求出$a+b$的值，无需单独计算$a$、$b$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = 2$代入上式，得：
$12 = 2 × (a + b)$
等式两边同时除以2，解得：
$a + b = 6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的掌握，只要熟练记忆公式，就能快速代入求解，是整式乘法相关知识点的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
6 (2025·山东淄博)若多项式$4x^2 + kxy + 9y^2$能用完全平方公式进行因式分解，则k的值是
$\pm12$
。答案
6.$\pm12$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方与差的平方两种形式，即$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$、$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。首先将给定多项式的首项和尾项转化为平方的形式，确定对应公式中的$a$和$b$，再根据中间项的形式计算$k$的取值，注意不要遗漏差的平方对应的负号情况。
【解析】
完全平方公式的两种形式为：
$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
已知多项式$4x^2 + kxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解，首先将首尾项改写为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
因此对应公式中$a=2x$，$b=3y$，中间项应为$\pm2ab$：
$\pm2ab=\pm2×2x×3y=\pm12xy$
对比多项式中间项$kxy$，可得$k=\pm12$。
【答案】
$\pm12$
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题时需注意完全平方包含和、差两种形式，两种情况对应的中间项符号相反，避免因只考虑和的平方导致漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方与差的平方两种形式，即$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$、$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。首先将给定多项式的首项和尾项转化为平方的形式，确定对应公式中的$a$和$b$，再根据中间项的形式计算$k$的取值，注意不要遗漏差的平方对应的负号情况。
【解析】
完全平方公式的两种形式为：
$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
已知多项式$4x^2 + kxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解，首先将首尾项改写为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
因此对应公式中$a=2x$，$b=3y$，中间项应为$\pm2ab$：
$\pm2ab=\pm2×2x×3y=\pm12xy$
对比多项式中间项$kxy$，可得$k=\pm12$。
【答案】
$\pm12$
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题时需注意完全平方包含和、差两种形式，两种情况对应的中间项符号相反，避免因只考虑和的平方导致漏解。
【难度系数】
0.7
7 (2025·吉林长春)因式分解：$x^4 -16 =$
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
.答案
7.$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
观察待分解的式子$x^4 -16$，属于两项、异号、且两项均可写成平方形式的结构，符合平方差公式的使用条件。首先将原式变形为平方差的标准形式，第一次利用平方差公式分解后，再检查得到的因式，发现$x^2-4$仍然符合平方差公式的结构，继续分解，直到所有因式在实数范围内无法再分解为止，即可得到最终结果。
【解析】
解：$x^4 -16$
$=(x^2)^2 - 4^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x^2$，$b=4$得：
$=(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
此时$x^2 -4$仍可继续分解，将其变形为$x^2 -2^2$，再次使用平方差公式，代入$a=x$，$b=2$得：
$=(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
此时各因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题时需先准确识别式子对应的乘法公式结构，分解完成后要注意核验每个因式是否还能继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子$x^4 -16$，属于两项、异号、且两项均可写成平方形式的结构，符合平方差公式的使用条件。首先将原式变形为平方差的标准形式，第一次利用平方差公式分解后，再检查得到的因式，发现$x^2-4$仍然符合平方差公式的结构，继续分解，直到所有因式在实数范围内无法再分解为止，即可得到最终结果。
【解析】
解：$x^4 -16$
$=(x^2)^2 - 4^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x^2$，$b=4$得：
$=(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
此时$x^2 -4$仍可继续分解，将其变形为$x^2 -2^2$，再次使用平方差公式，代入$a=x$，$b=2$得：
$=(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
此时各因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题时需先准确识别式子对应的乘法公式结构，分解完成后要注意核验每个因式是否还能继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
8 (2025·浙江嘉兴)观察等式: $3^2 - 1^2 = 8×1, 5^2 - 3^2 = 8×2, 7^2 - 5^2 = 8×3, ···$.
(1)写出 $19^2 - 17^2$ 的结果；
(2)归纳一般结论(含 $n$ 的等式)；
(3)证明结论正确.
(1)写出 $19^2 - 17^2$ 的结果；
(2)归纳一般结论(含 $n$ 的等式)；
(3)证明结论正确.
答案
8.(1)解:原式$=(19+17)×(19-17)=36×2=72.$ (2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n.$(3)证明:$(2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n.$
解析
【分析】
本题是数字规律结合整式运算的题型，解题思路如下：1. 求解第一问时，观察已知等式均为相邻奇数的平方差，可直接运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，无需直接计算平方值；2. 推导第二问的一般结论时，先分析等式左边两个奇数的特征：第$n$个式子中，较小的奇数是$2n-1$，较大的奇数是$2n+1$，等式右边是$8$与$n$的乘积，由此归纳出含$n$的通用等式；3. 第三问证明结论时，对等式左边的式子运用平方差公式展开化简，验证化简结果和右边相等即可完成证明。
【解析】
(1) 根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}19^2 - 17^2&=(19+17)×(19-17)\\&=36×2\\&=72\end{aligned}$
(2) 观察已知等式，所有式子均为两个连续正奇数的平方差，设$n$为正整数，归纳可得一般结论：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n$（$n$为正整数）
(3) 证明如下：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(2n+1)^2 - (2n-1)^2\\&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此结论成立。
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) $\boxed{(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n}$（$n$为正整数）
(3) 证明见上述解析过程。
【知识点】
平方差公式，数字规律探究，整式运算
【点评】
本题将规律探究与整式运算相结合，既考查了学生观察、归纳的逻辑思维能力，又考查了整式公式的掌握与应用能力，是整式运算模块的典型基础拓展题。
【难度系数】
0.8
本题是数字规律结合整式运算的题型，解题思路如下：1. 求解第一问时，观察已知等式均为相邻奇数的平方差，可直接运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，无需直接计算平方值；2. 推导第二问的一般结论时，先分析等式左边两个奇数的特征：第$n$个式子中，较小的奇数是$2n-1$，较大的奇数是$2n+1$，等式右边是$8$与$n$的乘积，由此归纳出含$n$的通用等式；3. 第三问证明结论时，对等式左边的式子运用平方差公式展开化简，验证化简结果和右边相等即可完成证明。
【解析】
(1) 根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}19^2 - 17^2&=(19+17)×(19-17)\\&=36×2\\&=72\end{aligned}$
(2) 观察已知等式，所有式子均为两个连续正奇数的平方差，设$n$为正整数，归纳可得一般结论：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n$（$n$为正整数）
(3) 证明如下：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(2n+1)^2 - (2n-1)^2\\&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此结论成立。
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) $\boxed{(2n+1)^2 - (2n-1)^2=8n}$（$n$为正整数）
(3) 证明见上述解析过程。
【知识点】
平方差公式，数字规律探究，整式运算
【点评】
本题将规律探究与整式运算相结合，既考查了学生观察、归纳的逻辑思维能力，又考查了整式公式的掌握与应用能力，是整式运算模块的典型基础拓展题。
【难度系数】
0.8
