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7 如图，矩形的长、宽分别为$a$，$b$，周长为12，面积为8，则$a^2b + ab^2$的值为（
A.24
B.48
C.64
D.9
B
）A.24
B.48
C.64
D.9
答案
7.B
解析
【分析】
要计算$a^2b + ab^2$的值，首先观察代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再结合矩形的周长、面积公式求出$a+b$和$ab$的数值，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化运算。
【解析】
首先根据矩形的周长和面积公式计算$a+b$与$ab$的值：
1. 已知矩形周长为12，由矩形周长公式$周长=2×(长+宽)$可得：
$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$
2. 已知矩形面积为8，由矩形面积公式$面积=长×宽$可得：
$ab=8$
接下来对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
最后将$ab=8$，$a+b=6$代入上式计算：
$ab(a+b)=8×6=48$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、矩形周长与面积计算、代数式求值
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，解题核心是先对所求代数式因式分解，再利用整体代入思想计算，避免单独求解未知数的繁琐，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要计算$a^2b + ab^2$的值，首先观察代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再结合矩形的周长、面积公式求出$a+b$和$ab$的数值，最后整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，能简化运算。
【解析】
首先根据矩形的周长和面积公式计算$a+b$与$ab$的值：
1. 已知矩形周长为12，由矩形周长公式$周长=2×(长+宽)$可得：
$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$
2. 已知矩形面积为8，由矩形面积公式$面积=长×宽$可得：
$ab=8$
接下来对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
最后将$ab=8$，$a+b=6$代入上式计算：
$ab(a+b)=8×6=48$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解、矩形周长与面积计算、代数式求值
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，解题核心是先对所求代数式因式分解，再利用整体代入思想计算，避免单独求解未知数的繁琐，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8 若$6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5=36^n$,则$n$的值为（
A.10
B.6
C.5
D.3
D
）A.10
B.6
C.5
D.3
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先处理等式左侧：6个相同的加数$6^5$相加，可根据乘法的意义转化为乘法运算，再用同底数幂的乘法法则化简；再处理等式右侧：将底数36转化为$6^2$，用幂的乘方法则化简为底数是6的幂；最后根据“同底数幂相等时，指数相等”列方程求解n即可。
【解析】
第一步：化简等式左边
$6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5 = 6×6^5$
根据同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，可得：
$6×6^5=6^{1+5}=6^6$
第二步：化简等式右边
因为$36=6^2$，所以$36^n=(6^2)^n$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(6^2)^n=6^{2n}$
第三步：列方程求n
因为等式左右两边相等，且底数均为6，所以指数相等，即：
$2n=6$
解得$n=3$
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、乘法的意义
【点评】
本题围绕幂的运算核心知识点命题，解题关键是将等式两侧转化为同底数幂的形式，再利用指数相等建立方程求解，难度较低，熟练掌握幂的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先处理等式左侧：6个相同的加数$6^5$相加，可根据乘法的意义转化为乘法运算，再用同底数幂的乘法法则化简；再处理等式右侧：将底数36转化为$6^2$，用幂的乘方法则化简为底数是6的幂；最后根据“同底数幂相等时，指数相等”列方程求解n即可。
【解析】
第一步：化简等式左边
$6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5 = 6×6^5$
根据同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，可得：
$6×6^5=6^{1+5}=6^6$
第二步：化简等式右边
因为$36=6^2$，所以$36^n=(6^2)^n$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(6^2)^n=6^{2n}$
第三步：列方程求n
因为等式左右两边相等，且底数均为6，所以指数相等，即：
$2n=6$
解得$n=3$
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、乘法的意义
【点评】
本题围绕幂的运算核心知识点命题，解题关键是将等式两侧转化为同底数幂的形式，再利用指数相等建立方程求解，难度较低，熟练掌握幂的运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9 $2xy^2$ 与 $x$ 的公因式是
x
.答案
9.x
解析
【分析】
要找两个单项式的公因式，需按照公因式的确定步骤思考：第一步找两个单项式系数的最大公约数，第二步找两个式子都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，将三部分相乘即为公因式。首先观察两个式子$2xy^2$和$x$，先分析系数，再找公共字母，最后确定字母次数，逐步推导即可。
【解析】
确定公因式的过程如下：
1. 计算系数的最大公约数：$2xy^2$的系数为2，$x$的系数为1，2和1的最大公约数是1；
2. 找公共字母：$2xy^2$含字母x、y，$x$仅含字母x，二者共有的字母只有x；
3. 取公共字母的最低次幂：x在两个式子中的次数均为1，取1次幂；
将三部分相乘，可得公因式为$1× x^1=x$。
【答案】
x
【知识点】
1. 公因式的概念
2. 公因式的确定方法
【点评】
本题考查单项式公因式的确定，属于基础题型，熟练掌握找公因式的三个步骤即可快速解答，注意只有所有项都含有的字母才能计入公因式。
【难度系数】
0.9
要找两个单项式的公因式，需按照公因式的确定步骤思考：第一步找两个单项式系数的最大公约数，第二步找两个式子都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，将三部分相乘即为公因式。首先观察两个式子$2xy^2$和$x$，先分析系数，再找公共字母，最后确定字母次数，逐步推导即可。
【解析】
确定公因式的过程如下：
1. 计算系数的最大公约数：$2xy^2$的系数为2，$x$的系数为1，2和1的最大公约数是1；
2. 找公共字母：$2xy^2$含字母x、y，$x$仅含字母x，二者共有的字母只有x；
3. 取公共字母的最低次幂：x在两个式子中的次数均为1，取1次幂；
将三部分相乘，可得公因式为$1× x^1=x$。
【答案】
x
【知识点】
1. 公因式的概念
2. 公因式的确定方法
【点评】
本题考查单项式公因式的确定，属于基础题型，熟练掌握找公因式的三个步骤即可快速解答，注意只有所有项都含有的字母才能计入公因式。
【难度系数】
0.9
10 因式分解：$a(a - b) + 3(b - a) =$
$(a-b)(a-3)$
.答案
10.$(a-b)(a-3)$
解析
【分析】
解题时首先观察待分解的式子，发现两项中分别含有因式$(a-b)$和$(b-a)$，二者互为相反数，可先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，使两项含有相同的公因式$(a-b)$，再利用提公因式法提取公因式，整理后即可得到因式分解的结果。
【解析】
解：先对原式中的$(b-a)$进行符号变形：
$\begin{aligned}原式 &= a(a - b) + 3×[-(a - b)] \\&= a(a - b) - 3(a - b)\end{aligned}$
提取公因式$(a - b)$可得：
$原式=(a - b)(a - 3)$
【答案】
$(a-b)(a-3)$
【知识点】
提公因式法；整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是识别出互为相反数的因式，统一公因式后即可快速求解，属于因式分解的常规基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察待分解的式子，发现两项中分别含有因式$(a-b)$和$(b-a)$，二者互为相反数，可先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，使两项含有相同的公因式$(a-b)$，再利用提公因式法提取公因式，整理后即可得到因式分解的结果。
【解析】
解：先对原式中的$(b-a)$进行符号变形：
$\begin{aligned}原式 &= a(a - b) + 3×[-(a - b)] \\&= a(a - b) - 3(a - b)\end{aligned}$
提取公因式$(a - b)$可得：
$原式=(a - b)(a - 3)$
【答案】
$(a-b)(a-3)$
【知识点】
提公因式法；整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是识别出互为相反数的因式，统一公因式后即可快速求解，属于因式分解的常规基础考点。
【难度系数】
0.8
11 若$x^2 - 3x - 10 = (x + a)(x + b)$，则$a + b =$
$-3$
。答案
11.−3
解析
【分析】
本题可利用整式乘法与因式分解的互逆关系求解，解题思路：首先将等式右侧的两个一次多项式相乘展开，再根据两个相等多项式的同类项系数对应相等的规则，可直接得到a+b的取值，无需单独计算a、b的具体值，简化解题步骤。也可通过十字相乘法对左侧二次三项式因式分解，确定a、b的值后再求和。
【解析】
方法1：利用对应系数相等求解
根据多项式乘多项式的运算法则，将等式右侧展开：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
已知$x^2 - 3x - 10 = (x+a)(x+b)$，因此左右两个多项式的同类项系数相等，对比一次项系数可得：
$a+b=-3$
方法2：利用十字相乘法因式分解求解
对左侧二次三项式$x^2 - 3x - 10$因式分解，寻找两个数乘积为$-10$、和为$-3$，可得这两个数为$-5$和$2$，因此：
$x^2 - 3x - 10=(x-5)(x+2)$
对比$(x+a)(x+b)$可知，$a=-5、b=2$或$a=2、b=-5$，因此$a+b=-5+2=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘多项式、十字相乘法因式分解、多项式相等条件
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式乘法和因式分解的互逆关系，解题时运用对应系数相等的思路可快速得到结果，能帮助学生巩固整体代换的解题思维。
【难度系数】
0.8
本题可利用整式乘法与因式分解的互逆关系求解，解题思路：首先将等式右侧的两个一次多项式相乘展开，再根据两个相等多项式的同类项系数对应相等的规则，可直接得到a+b的取值，无需单独计算a、b的具体值，简化解题步骤。也可通过十字相乘法对左侧二次三项式因式分解，确定a、b的值后再求和。
【解析】
方法1：利用对应系数相等求解
根据多项式乘多项式的运算法则，将等式右侧展开：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
已知$x^2 - 3x - 10 = (x+a)(x+b)$，因此左右两个多项式的同类项系数相等，对比一次项系数可得：
$a+b=-3$
方法2：利用十字相乘法因式分解求解
对左侧二次三项式$x^2 - 3x - 10$因式分解，寻找两个数乘积为$-10$、和为$-3$，可得这两个数为$-5$和$2$，因此：
$x^2 - 3x - 10=(x-5)(x+2)$
对比$(x+a)(x+b)$可知，$a=-5、b=2$或$a=2、b=-5$，因此$a+b=-5+2=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘多项式、十字相乘法因式分解、多项式相等条件
【点评】
本题属于基础题，主要考查整式乘法和因式分解的互逆关系，解题时运用对应系数相等的思路可快速得到结果，能帮助学生巩固整体代换的解题思维。
【难度系数】
0.8
三、解答题
12 对下列式子进行因式分解.
(1)$27xy^2 - 18x^3y$；
(2)$3a(b+c)+12ab(b+c)$；
(3)$3x(a-b)-2y(b-a)$.
12 对下列式子进行因式分解.
(1)$27xy^2 - 18x^3y$；
(2)$3a(b+c)+12ab(b+c)$；
(3)$3x(a-b)-2y(b-a)$.
答案
12.解:(1)$27xy^2 - 18x^3y=9xy(3y-2x^2).$(2)$3a(b+c)+12ab(b+c)=3a(b+c)(1+4b).$(3)$3x(a-b)-2y(b-a)=(3x+2y)(a-b).$
解析
【分析】
这三道因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定公因式：先求各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母或多项式因式，取其最低次幂，二者组合即为公因式；第二步提取公因式，将原式写成公因式乘剩余部分的和的形式；需注意第三题中(b-a)与(a-b)互为相反数，先变形为相同因式再提取，避免符号错误。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数27和18的最大公约数是9，两项都含有的因式是x、y，最低次均为1次，因此公因式为$9xy$。
提取公因式计算：
$27xy^2 - 18x^3y = 9xy · 3y - 9xy · 2x^2 = 9xy(3y - 2x^2)$
(2) 确定公因式：系数3和12的最大公约数是3，两项都含有的因式是$a$、$(b+c)$，因此公因式为$3a(b+c)$。
提取公因式计算：
$3a(b+c) + 12ab(b+c) = 3a(b+c) · 1 + 3a(b+c) · 4b = 3a(b+c)(1 + 4b)$
(3) 先变形统一因式：$\because b-a = -(a-b)$，因此原式可改写为：
$3x(a-b) - 2y(b-a) = 3x(a-b) + 2y(a-b)$
此时公因式为$(a-b)$，提取公因式计算：
$=(a-b)(3x + 2y)$
【答案】
(1)$9xy(3y-2x^2)$；(2)$3a(b+c)(1+4b)$；(3)$(3x+2y)(a-b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察提公因式法的应用，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意互为相反数的多项式因式的变形规则，避免符号出错，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.8
这三道因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定公因式：先求各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母或多项式因式，取其最低次幂，二者组合即为公因式；第二步提取公因式，将原式写成公因式乘剩余部分的和的形式；需注意第三题中(b-a)与(a-b)互为相反数，先变形为相同因式再提取，避免符号错误。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数27和18的最大公约数是9，两项都含有的因式是x、y，最低次均为1次，因此公因式为$9xy$。
提取公因式计算：
$27xy^2 - 18x^3y = 9xy · 3y - 9xy · 2x^2 = 9xy(3y - 2x^2)$
(2) 确定公因式：系数3和12的最大公约数是3，两项都含有的因式是$a$、$(b+c)$，因此公因式为$3a(b+c)$。
提取公因式计算：
$3a(b+c) + 12ab(b+c) = 3a(b+c) · 1 + 3a(b+c) · 4b = 3a(b+c)(1 + 4b)$
(3) 先变形统一因式：$\because b-a = -(a-b)$，因此原式可改写为：
$3x(a-b) - 2y(b-a) = 3x(a-b) + 2y(a-b)$
此时公因式为$(a-b)$，提取公因式计算：
$=(a-b)(3x + 2y)$
【答案】
(1)$9xy(3y-2x^2)$；(2)$3a(b+c)(1+4b)$；(3)$(3x+2y)(a-b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察提公因式法的应用，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意互为相反数的多项式因式的变形规则，避免符号出错，熟练掌握后可快速求解。
【难度系数】
0.8
13 如图,把$R_1,R_2,R_3$三个电阻串联起来.设线路AB上通过的电流为$I$,线路AB两端的电压为$U$(单位:V),则$U=IR_1+IR_2+IR_3$.当$R_1=34.9\ \Omega,R_2=20.8\ \Omega,R_3=32.3\ \Omega,I=2.5\ \mathrm{A}$时,求线路AB两端的电压.
答案
13.解:$U=IR_1+IR_2+IR_3=I(R_1+R_2+R_3).$当$R_1=34.9\ \Omega,R_2=20.8\ \Omega,R_3=32.3\ \Omega,I=2.5\ \mathrm{A}$时,原式$=2.5×(34.9+20.8+32.3)=220(\mathrm{V}),$
∴线路AB两端的电压为220 V.
∴线路AB两端的电压为220 V.
解析
【分析】
解题时首先观察所求电压的表达式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，发现每一项都含有公因式$I$，因此可以先利用提公因式法对式子进行变形，简化计算步骤，避免分别计算三次乘法再求和的复杂运算，变形后将已知的电阻、电流数值代入式子，先计算三个电阻的和，再与电流相乘即可得到结果。
【解析】
首先对电压公式进行因式分解：
$U=IR_1+IR_2+IR_3=I(R_1+R_2+R_3)$
将$R_1=34.9\ \Omega,R_2=20.8\ \Omega,R_3=32.3\ \Omega,I=2.5\ \mathrm{A}$代入上式：
先计算电阻之和：$R_1+R_2+R_3=34.9+20.8+32.3=88\ \Omega$
再计算电压：$U=2.5×88=220(\mathrm{V})$
【答案】
$220\ \mathrm{V}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题将数学运算与物理串联电路的实际场景结合，通过提取公因式能有效简化运算过程，降低计算出错的概率，主要考查学生对因式分解的灵活运用能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求电压的表达式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，发现每一项都含有公因式$I$，因此可以先利用提公因式法对式子进行变形，简化计算步骤，避免分别计算三次乘法再求和的复杂运算，变形后将已知的电阻、电流数值代入式子，先计算三个电阻的和，再与电流相乘即可得到结果。
【解析】
首先对电压公式进行因式分解：
$U=IR_1+IR_2+IR_3=I(R_1+R_2+R_3)$
将$R_1=34.9\ \Omega,R_2=20.8\ \Omega,R_3=32.3\ \Omega,I=2.5\ \mathrm{A}$代入上式：
先计算电阻之和：$R_1+R_2+R_3=34.9+20.8+32.3=88\ \Omega$
再计算电压：$U=2.5×88=220(\mathrm{V})$
【答案】
$220\ \mathrm{V}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题将数学运算与物理串联电路的实际场景结合，通过提取公因式能有效简化运算过程，降低计算出错的概率，主要考查学生对因式分解的灵活运用能力和基本运算能力。
【难度系数】
0.9
14 若△ABC的三边长a，b，c满足关系式$b^2 + 2ab = c^2 + 2ac$，则△ABC的形状是
等腰三角形
.答案
14.等腰三角形
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先找出三边a、b、c的数量关系。首先对给出的边长关系式进行移项整理，再通过因式分解将等式转化为乘积为0的形式，结合三角形边长均为正数的隐含条件，推导得到边的相等关系，即可判断三角形形状。
【解析】
已知$b^2 + 2ab = c^2 + 2ac$，
1. 移项整理：将含c的项移到左侧，得$b^2 - c^2 + 2ab - 2ac = 0$；
2. 分组因式分解：前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式2a，可得$(b + c)(b - c) + 2a(b - c) = 0$；
3. 提取公因式：整体提取公因式$(b - c)$，得$(b - c)(b + c + 2a) = 0$；
4. 结合边长性质推导：因为a、b、c是三角形的三边，均为正数，所以$b + c + 2a ＞ 0$，因此仅当$b - c = 0$时等式成立，即$b = c$。
所以△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用，等腰三角形的判定，三角形边长性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过代数式变形推导边的数量关系，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解方法，同时注意运用三角形边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需先找出三边a、b、c的数量关系。首先对给出的边长关系式进行移项整理，再通过因式分解将等式转化为乘积为0的形式，结合三角形边长均为正数的隐含条件，推导得到边的相等关系，即可判断三角形形状。
【解析】
已知$b^2 + 2ab = c^2 + 2ac$，
1. 移项整理：将含c的项移到左侧，得$b^2 - c^2 + 2ab - 2ac = 0$；
2. 分组因式分解：前两项用平方差公式分解，后两项提取公因式2a，可得$(b + c)(b - c) + 2a(b - c) = 0$；
3. 提取公因式：整体提取公因式$(b - c)$，得$(b - c)(b + c + 2a) = 0$；
4. 结合边长性质推导：因为a、b、c是三角形的三边，均为正数，所以$b + c + 2a ＞ 0$，因此仅当$b - c = 0$时等式成立，即$b = c$。
所以△ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用，等腰三角形的判定，三角形边长性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过代数式变形推导边的数量关系，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解方法，同时注意运用三角形边长为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8
15 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是
(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2021}$，则结果是
(3)依照上述方法分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$（$n$为正整数）.
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是
提公因式法
，共用了2
次.(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2021}$，则结果是
$(1+x)^{2\ 022}$
.(3)依照上述方法分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$（$n$为正整数）.
答案
15.(1)提公因式法 2 (2)$(1+x)^{2\ 022}$(3)原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]=(1+x)^2[1+x+\dots+x(x+1)^{n-2}]=\dots=(1+x)^{n+1}.$
解析
【分析】
解题时先观察给出的因式分解示例，明确核心方法是提取公因式(1+x)。(1)直接对照分解步骤判断所用方法和提取公因式的次数即可；(2)先从低次的分解结果找规律：最终结果的指数等于原式中(1+x)的最高指数加1，直接套用规律计算即可；(3)仿照示例逐次提取公因式(1+x)，每次提取后剩余式子的结构和原式类似但最高次降1，重复操作直到提完所有公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 观察给出的分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，第一次提取得到$(1+x)[1+x+x(x+1)]$，第二次对中括号内的式子再次提取公因式$(1+x)$，得到$(1+x)^2(1+x)$，因此所用方法是提公因式法，一共用了2次。
(2) 根据示例找规律：当原式中$(1+x)$的最高次数为2时，分解结果是$(1+x)^{3}$，即结果的指数=最高次数+1；因此当最高次数为2021时，分解结果为$(1+x)^{2021+1}=(1+x)^{2022}$。
(3) 依照提公因式法逐次分解：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+\dots+x(x+1)^{n-2}]$
$\dots$
重复提取公因式$n$次后，最终可得结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1)提公因式法，2；(2)$(1+x)^{2022}$；(3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法，因式分解，规律探究
【点评】
本题属于因式分解的规律类题型，重点考查对提公因式法的掌握，通过从简单示例中归纳总结规律，可以快速求解高次的同类因式分解问题，能有效提升逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的因式分解示例，明确核心方法是提取公因式(1+x)。(1)直接对照分解步骤判断所用方法和提取公因式的次数即可；(2)先从低次的分解结果找规律：最终结果的指数等于原式中(1+x)的最高指数加1，直接套用规律计算即可；(3)仿照示例逐次提取公因式(1+x)，每次提取后剩余式子的结构和原式类似但最高次降1，重复操作直到提完所有公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 观察给出的分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，第一次提取得到$(1+x)[1+x+x(x+1)]$，第二次对中括号内的式子再次提取公因式$(1+x)$，得到$(1+x)^2(1+x)$，因此所用方法是提公因式法，一共用了2次。
(2) 根据示例找规律：当原式中$(1+x)$的最高次数为2时，分解结果是$(1+x)^{3}$，即结果的指数=最高次数+1；因此当最高次数为2021时，分解结果为$(1+x)^{2021+1}=(1+x)^{2022}$。
(3) 依照提公因式法逐次分解：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+\dots+x(x+1)^{n-2}]$
$\dots$
重复提取公因式$n$次后，最终可得结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1)提公因式法，2；(2)$(1+x)^{2022}$；(3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法，因式分解，规律探究
【点评】
本题属于因式分解的规律类题型，重点考查对提公因式法的掌握，通过从简单示例中归纳总结规律，可以快速求解高次的同类因式分解问题，能有效提升逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
