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12. 用乘法公式计算：
(1) $(-2x + 5)^2$；
(2) $(-a + 3b)(-3b - a)$。
(1) $(-2x + 5)^2$；
(2) $(-a + 3b)(-3b - a)$。
答案
(1) $4x^2 - 20x + 25$ (2) $a^2 - 9b^2$
解析
【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题思路如下：
（1）第一个式子是二项式的平方形式，符合完全平方公式的特征，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，只需确定式子中对应的$a$和$b$，代入公式计算即可，计算时注意符号处理；
（2）第二个式子是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式的特征，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，先找出相同项和相反项，对应公式里的$a$和$b$，代入计算即可。
【解析】
（1）计算$(-2x + 5)^2$，利用完全平方公式：
把$a=-2x$，$b=5$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$\begin{aligned}(-2x + 5)^2&=(-2x)^2 + 2×(-2x)×5 + 5^2\\&=4x^2 - 20x + 25\end{aligned}$
（2）计算$(-a + 3b)(-3b - a)$，先整理式子为$(-a + 3b)(-a - 3b)$，符合平方差公式形式，将相同项$-a$看作公式中的$a$，相反项$3b$看作公式中的$b$，代入$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$\begin{aligned}(-a + 3b)(-3b - a)&=(-a)^2 - (3b)^2\\&=a^2 - 9b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x^2 - 20x + 25$ (2) $a^2 - 9b^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查对两个乘法公式特征的识别能力，解题的核心是准确匹配公式、找准公式中对应的$a$和$b$，计算时要特别注意符号问题，熟练掌握乘法公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查乘法公式的应用，解题思路如下：
（1）第一个式子是二项式的平方形式，符合完全平方公式的特征，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，只需确定式子中对应的$a$和$b$，代入公式计算即可，计算时注意符号处理；
（2）第二个式子是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式的特征，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，先找出相同项和相反项，对应公式里的$a$和$b$，代入计算即可。
【解析】
（1）计算$(-2x + 5)^2$，利用完全平方公式：
把$a=-2x$，$b=5$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$\begin{aligned}(-2x + 5)^2&=(-2x)^2 + 2×(-2x)×5 + 5^2\\&=4x^2 - 20x + 25\end{aligned}$
（2）计算$(-a + 3b)(-3b - a)$，先整理式子为$(-a + 3b)(-a - 3b)$，符合平方差公式形式，将相同项$-a$看作公式中的$a$，相反项$3b$看作公式中的$b$，代入$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$\begin{aligned}(-a + 3b)(-3b - a)&=(-a)^2 - (3b)^2\\&=a^2 - 9b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $4x^2 - 20x + 25$ (2) $a^2 - 9b^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查对两个乘法公式特征的识别能力，解题的核心是准确匹配公式、找准公式中对应的$a$和$b$，计算时要特别注意符号问题，熟练掌握乘法公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 用乘法公式计算：
(1) $101 × 99$；
(2) $99^2 + 198 + 1$。
(1) $101 × 99$；
(2) $99^2 + 198 + 1$。
答案
(1) 9999 (2) 10 000
解析
【分析】
(1) 观察两个因数101和99，都接近整百数100，可将101改写为100+1，99改写为100-1，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式计算可避免繁琐的竖式运算。
(2) 观察式子$99^2 + 198 + 1$，可把198拆为$2×99×1$，1改写为$1^2$，此时式子恰好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，套用公式即可快速算出结果，无需分别计算乘方再求和。
【解析】
(1) $\begin{split}101×99&=(100+1)(100-1)\\&=100^2 - 1^2\\&=10000 - 1\\&=9999\end{split}$
(2) $\begin{split}99^2 + 198 + 1&=99^2 + 2×99×1 + 1^2\\&=(99+1)^2\\&=100^2\\&=10000\end{split}$
【答案】
(1) $\boxed{9999}$；(2) $\boxed{10000}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是乘法公式简便运算的典型题型，解题核心是观察算式的数字特征，通过合理变形将原式转化为乘法公式的标准形式，大幅减少运算量，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
(1) 观察两个因数101和99，都接近整百数100，可将101改写为100+1，99改写为100-1，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式计算可避免繁琐的竖式运算。
(2) 观察式子$99^2 + 198 + 1$，可把198拆为$2×99×1$，1改写为$1^2$，此时式子恰好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，套用公式即可快速算出结果，无需分别计算乘方再求和。
【解析】
(1) $\begin{split}101×99&=(100+1)(100-1)\\&=100^2 - 1^2\\&=10000 - 1\\&=9999\end{split}$
(2) $\begin{split}99^2 + 198 + 1&=99^2 + 2×99×1 + 1^2\\&=(99+1)^2\\&=100^2\\&=10000\end{split}$
【答案】
(1) $\boxed{9999}$；(2) $\boxed{10000}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是乘法公式简便运算的典型题型，解题核心是观察算式的数字特征，通过合理变形将原式转化为乘法公式的标准形式，大幅减少运算量，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
14. 先化简，再求值：$(2a - 3b)^2 - (2a + 3b)(2a - 3b) + (2a + 3b)^2$，其中$a = -2$，$b = \dfrac{1}{3}$。
答案
$4a^2 + 27b^2 \quad 19$
解析
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路如下：首先观察原式的结构，三个部分分别对应两数差的完全平方、平方差公式、两数和的完全平方，我们可以先利用对应的乘法公式分别展开每一项，再去括号、合并同类项得到最简整式，最后将a、b的取值代入最简式计算结果即可，该方法比直接代入原式计算更简便，能降低计算错误率。
【解析】
解：利用乘法公式展开各项：
$(2a-3b)^2=4a^2-12ab+9b^2$
$(2a+3b)(2a-3b)=4a^2-9b^2$
$(2a+3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2-12ab+9b^2)-(4a^2-9b^2)+(4a^2+12ab+9b^2)\\&=4a^2-12ab+9b^2-4a^2+9b^2+4a^2+12ab+9b^2\\&=(4a^2-4a^2+4a^2)+(-12ab+12ab)+(9b^2+9b^2+9b^2)\\&=4a^2+27b^2\end{aligned}$
将$a=-2$，$b=\dfrac{1}{3}$代入化简结果：
$\begin{aligned}原式&=4×(-2)^2 + 27×(\dfrac{1}{3})^2\\&=4×4 + 27×\dfrac{1}{9}\\&=16+3\\&=19\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$4a^2 + 27b^2$，求值结果为$19$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题的关键，化简时要注意去括号的符号变化，代入数值计算时注意负数、分数的乘方运算规则，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.7
本题是整式化简求值题，解题思路如下：首先观察原式的结构，三个部分分别对应两数差的完全平方、平方差公式、两数和的完全平方，我们可以先利用对应的乘法公式分别展开每一项，再去括号、合并同类项得到最简整式，最后将a、b的取值代入最简式计算结果即可，该方法比直接代入原式计算更简便，能降低计算错误率。
【解析】
解：利用乘法公式展开各项：
$(2a-3b)^2=4a^2-12ab+9b^2$
$(2a+3b)(2a-3b)=4a^2-9b^2$
$(2a+3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2-12ab+9b^2)-(4a^2-9b^2)+(4a^2+12ab+9b^2)\\&=4a^2-12ab+9b^2-4a^2+9b^2+4a^2+12ab+9b^2\\&=(4a^2-4a^2+4a^2)+(-12ab+12ab)+(9b^2+9b^2+9b^2)\\&=4a^2+27b^2\end{aligned}$
将$a=-2$，$b=\dfrac{1}{3}$代入化简结果：
$\begin{aligned}原式&=4×(-2)^2 + 27×(\dfrac{1}{3})^2\\&=4×4 + 27×\dfrac{1}{9}\\&=16+3\\&=19\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$4a^2 + 27b^2$，求值结果为$19$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题的关键，化简时要注意去括号的符号变化，代入数值计算时注意负数、分数的乘方运算规则，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.7
15. 已知$(a + b)^2 = 7$，$(a - b)^2 = 4$，求$a^2 + b^2$和$ab$的值.
答案
$a^2 + b^2=\dfrac{11}{2} \quad ab=\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式将已知的两个等式展开，观察展开式的结构特点：两个展开式中都含有$a^2+b^2$和$ab$项，将两个等式相加可消去$ab$项，直接求出$a^2+b^2$的值；将两个等式相减可消去$a^2$和$b^2$项，直接求出$ab$的值，通过整体运算即可得到结果。
【解析】
首先根据完全平方公式将已知等式展开：
由$(a+b)^2=7$，展开得：$a^2+2ab+b^2=7$ ---①
由$(a-b)^2=4$，展开得：$a^2-2ab+b^2=4$ ---②
1. 求$a^2+b^2$的值：
将①和②左右两边分别相加，得：
$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=7+4$
化简左边得：$2a^2+2b^2=11$
提取公因式得：$2(a^2+b^2)=11$
两边同时除以2，得：$a^2+b^2=\frac{11}{2}$
2. 求$ab$的值：
将①和②左右两边分别相减，得：
$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=7-4$
化简左边得：$4ab=3$
两边同时除以4，得：$ab=\frac{3}{4}$
【答案】
$a^2 + b^2=\dfrac{11}{2}$，$ab=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式、整式加减运算、整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型题型，通过对展开后的等式进行加减消元，能快速避开单独求a、b的值的复杂运算，直接得到目标代数式的值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题可利用完全平方公式将已知的两个等式展开，观察展开式的结构特点：两个展开式中都含有$a^2+b^2$和$ab$项，将两个等式相加可消去$ab$项，直接求出$a^2+b^2$的值；将两个等式相减可消去$a^2$和$b^2$项，直接求出$ab$的值，通过整体运算即可得到结果。
【解析】
首先根据完全平方公式将已知等式展开：
由$(a+b)^2=7$，展开得：$a^2+2ab+b^2=7$ ---①
由$(a-b)^2=4$，展开得：$a^2-2ab+b^2=4$ ---②
1. 求$a^2+b^2$的值：
将①和②左右两边分别相加，得：
$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=7+4$
化简左边得：$2a^2+2b^2=11$
提取公因式得：$2(a^2+b^2)=11$
两边同时除以2，得：$a^2+b^2=\frac{11}{2}$
2. 求$ab$的值：
将①和②左右两边分别相减，得：
$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=7-4$
化简左边得：$4ab=3$
两边同时除以4，得：$ab=\frac{3}{4}$
【答案】
$a^2 + b^2=\dfrac{11}{2}$，$ab=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式、整式加减运算、整体代入求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的典型题型，通过对展开后的等式进行加减消元，能快速避开单独求a、b的值的复杂运算，直接得到目标代数式的值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
