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1. 计算：$(a - 2b)^2 = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$a^2 - 4ab + 4b^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍，即$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。本题中把$a$看作公式里的$x$，把$2b$看作公式里的$y$，代入公式后分别计算每一项即可得到结果，计算时要注意不要漏乘$2b$的系数，避免出现中间项系数错误或者常数项未平方的问题。
【解析】
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将$m=a$，$n=2b$代入公式计算：
$\begin{aligned}(a-2b)^2&=a^2 - 2× a× 2b + (2b)^2\\&=a^2 - 4ab + 4b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2 - 4ab + 4b^2$
【知识点】
完全平方公式、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对完全平方公式的掌握程度，解题时需注意准确识别公式中的两项，不要漏算中间项的2倍系数，也要注意第二项的系数需要平方，避免出现公式套用错误。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍，即$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。本题中把$a$看作公式里的$x$，把$2b$看作公式里的$y$，代入公式后分别计算每一项即可得到结果，计算时要注意不要漏乘$2b$的系数，避免出现中间项系数错误或者常数项未平方的问题。
【解析】
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将$m=a$，$n=2b$代入公式计算：
$\begin{aligned}(a-2b)^2&=a^2 - 2× a× 2b + (2b)^2\\&=a^2 - 4ab + 4b^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2 - 4ab + 4b^2$
【知识点】
完全平方公式、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对完全平方公式的掌握程度，解题时需注意准确识别公式中的两项，不要漏算中间项的2倍系数，也要注意第二项的系数需要平方，避免出现公式套用错误。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$(x+1)(x-1)(x^2+1)=$
$x^4 - 1$
.答案
$x^4 - 1$
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构特征，发现前两个因式$(x+1)$和$(x-1)$符合平方差公式的形式，优先计算这两个的乘积，得到结果后再和第三个因式$(x^2+1)$结合，再次符合平方差公式的结构，连续两次使用平方差公式即可快速得出结果，比逐项展开计算更简便、准确率更高。
【解析】
解：原式$=[(x+1)(x-1)](x^2+1)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，先计算前两个因式的乘积，其中$a=x$，$b=1$：
$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$
此时原式转化为$(x^2-1)(x^2+1)$，再次应用平方差公式，其中$a=x^2$，$b=1$：
$(x^2-1)(x^2+1)=(x^2)^2-1^2=x^4-1$
【答案】
$x^4 - 1$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的连续应用，解题时养成先观察式子结构的习惯，合理运用运算公式可以简化计算过程，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察式子的结构特征，发现前两个因式$(x+1)$和$(x-1)$符合平方差公式的形式，优先计算这两个的乘积，得到结果后再和第三个因式$(x^2+1)$结合，再次符合平方差公式的结构，连续两次使用平方差公式即可快速得出结果，比逐项展开计算更简便、准确率更高。
【解析】
解：原式$=[(x+1)(x-1)](x^2+1)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，先计算前两个因式的乘积，其中$a=x$，$b=1$：
$(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1$
此时原式转化为$(x^2-1)(x^2+1)$，再次应用平方差公式，其中$a=x^2$，$b=1$：
$(x^2-1)(x^2+1)=(x^2)^2-1^2=x^4-1$
【答案】
$x^4 - 1$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的连续应用，解题时养成先观察式子结构的习惯，合理运用运算公式可以简化计算过程，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$(-3a + b)(-3a - b) = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$9a^2 - b^2$
解析
【分析】
首先观察两个因式的结构，发现两个因式中第一项均为$-3a$（是相同项），第二项分别为$b$和$-b$（互为相反项），刚好符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构特征。因此我们只需要确定公式中对应的$m$和$n$，代入公式后化简即可得到结果，不需要用多项式乘多项式逐项展开计算，能简化运算过程。
【解析】
将相同项$-3a$对应平方差公式中的$m$，相反项中的$b$对应公式中的$n$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(-3a + b)(-3a - b) &= (-3a)^2 - b^2 \\&= (-3)^2· a^2 - b^2 \\&= 9a^2 - b^2\end{aligned}$
【答案】
$9a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分清楚相同项和相反项，计算平方项时要注意系数也要同时乘方，避免出现符号或系数计算错误。
【难度系数】
0.8
首先观察两个因式的结构，发现两个因式中第一项均为$-3a$（是相同项），第二项分别为$b$和$-b$（互为相反项），刚好符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的结构特征。因此我们只需要确定公式中对应的$m$和$n$，代入公式后化简即可得到结果，不需要用多项式乘多项式逐项展开计算，能简化运算过程。
【解析】
将相同项$-3a$对应平方差公式中的$m$，相反项中的$b$对应公式中的$n$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(-3a + b)(-3a - b) &= (-3a)^2 - b^2 \\&= (-3)^2· a^2 - b^2 \\&= 9a^2 - b^2\end{aligned}$
【答案】
$9a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分清楚相同项和相反项，计算平方项时要注意系数也要同时乘方，避免出现符号或系数计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 若 $ S = 100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 2^2 - 1^2 $，则 $ S $ 的值是 ______.
答案
5050
解析
【分析】
观察待求式的结构，发现式子是从100到1的连续整数的平方，相邻两个平方项符号一正一负，可将相邻两项分为一组，共分成50组；每组均为$a^2-b^2$的形式，符合平方差公式的特征，利用平方差公式对每组化简后，可得到连续整数相加的式子，再用求和公式计算即可。
【解析】
解：将$S$按相邻两项分组，得
$\begin{aligned}S&=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)\\&\mathrm{根据平方差公式 }a^2-b^2=(a-b)(a+b)，对每组展开：\\&=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+\dots+(2-1)(2+1)\\&\mathrm{每组中两个数的差均为1，化简得：}\\&=100+99+98+97+\dots+2+1\\&\mathrm{利用求和公式：和}=\frac{(\mathrm{首项}+\mathrm{末项})×\mathrm{项数}}{2}\\&=\frac{(1+100)×100}{2}\\&=5050\end{aligned}$
【答案】
5050
【知识点】
平方差公式，分组求和，加法运算
【点评】
本题解题的核心是通过观察式子结构合理分组，再运用平方差公式简化计算，避免了直接计算大数平方的繁琐，体现了数学中化繁为简的思想。
【难度系数】
0.7
观察待求式的结构，发现式子是从100到1的连续整数的平方，相邻两个平方项符号一正一负，可将相邻两项分为一组，共分成50组；每组均为$a^2-b^2$的形式，符合平方差公式的特征，利用平方差公式对每组化简后，可得到连续整数相加的式子，再用求和公式计算即可。
【解析】
解：将$S$按相邻两项分组，得
$\begin{aligned}S&=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)\\&\mathrm{根据平方差公式 }a^2-b^2=(a-b)(a+b)，对每组展开：\\&=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+\dots+(2-1)(2+1)\\&\mathrm{每组中两个数的差均为1，化简得：}\\&=100+99+98+97+\dots+2+1\\&\mathrm{利用求和公式：和}=\frac{(\mathrm{首项}+\mathrm{末项})×\mathrm{项数}}{2}\\&=\frac{(1+100)×100}{2}\\&=5050\end{aligned}$
【答案】
5050
【知识点】
平方差公式，分组求和，加法运算
【点评】
本题解题的核心是通过观察式子结构合理分组，再运用平方差公式简化计算，避免了直接计算大数平方的繁琐，体现了数学中化繁为简的思想。
【难度系数】
0.7
5. 若$ m + n = 8 $，$ mn = 15 $，则$ m^2 + n^2 + 3mn $的值是________。
答案
79
解析
【分析】
已知$m+n$和$mn$的取值，所求代数式中包含$m^2+n^2$，可结合完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$m^2+n^2$转化为用$m+n$、$mn$表示的形式，再整体代入所求式子计算即可，不需要单独求解$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + n^2=(m+n)^2-2mn$
将其代入原式$m^2 + n^2 + 3mn$中：
$\begin{aligned}原式&=(m+n)^2-2mn+3mn\\&=(m+n)^2+mn\end{aligned}$
把$m+n=8$，$mn=15$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=8^2+15\\&=64+15\\&=79\end{aligned}$
【答案】
79
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的变形方式，运用整体代入的思想计算，可大幅降低运算量。
【难度系数】
0.85
已知$m+n$和$mn$的取值，所求代数式中包含$m^2+n^2$，可结合完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，将$m^2+n^2$转化为用$m+n$、$mn$表示的形式，再整体代入所求式子计算即可，不需要单独求解$m$、$n$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + n^2=(m+n)^2-2mn$
将其代入原式$m^2 + n^2 + 3mn$中：
$\begin{aligned}原式&=(m+n)^2-2mn+3mn\\&=(m+n)^2+mn\end{aligned}$
把$m+n=8$，$mn=15$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=8^2+15\\&=64+15\\&=79\end{aligned}$
【答案】
79
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的变形方式，运用整体代入的思想计算，可大幅降低运算量。
【难度系数】
0.85
6. 若$x^2 + 16x + k$是完全平方式，则常数$k$等于（
A.64
B.48
C.32
D.16
A
）.A.64
B.48
C.32
D.16
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先回忆完全平方公式的结构特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。本题给出的式子$x^2+16x+k$是完全平方式，中间项为正，所以对应和的完全平方展开式。我们只需将已知式子和完全平方展开式逐项对应，先求出b的值，再计算k即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
已知$x^2+16x+k$是完全平方式，将其与公式展开式对应：
1. 对比第一项：$x^2=a^2$，可得$a=x$
2. 对比中间项：$16x=2ab$，把$a=x$代入得：$2· x· b=16x$，等式两边同时除以$2x$，解得$b=8$
3. 对比第三项：$k=b^2$，代入$b=8$得：$k=8^2=64$
因此常数k等于64，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是整式乘法模块的基础常考题，核心考查对完全平方公式结构的理解与应用，解题的关键是准确匹配完全平方式中各项的对应关系，熟记完全平方公式的展开形式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们需要先回忆完全平方公式的结构特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。本题给出的式子$x^2+16x+k$是完全平方式，中间项为正，所以对应和的完全平方展开式。我们只需将已知式子和完全平方展开式逐项对应，先求出b的值，再计算k即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
已知$x^2+16x+k$是完全平方式，将其与公式展开式对应：
1. 对比第一项：$x^2=a^2$，可得$a=x$
2. 对比中间项：$16x=2ab$，把$a=x$代入得：$2· x· b=16x$，等式两边同时除以$2x$，解得$b=8$
3. 对比第三项：$k=b^2$，代入$b=8$得：$k=8^2=64$
因此常数k等于64，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是整式乘法模块的基础常考题，核心考查对完全平方公式结构的理解与应用，解题的关键是准确匹配完全平方式中各项的对应关系，熟记完全平方公式的展开形式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7. 下列各式中，计算结果是$a^2 - 16b^2$的是(
A.$(-4b + a)(-4b - a)$
B.$(4b - a)(-4b - a)$
C.$(-4b + a)(4b - a)$
D.$(4b + a)(4b - a)$
B
).A.$(-4b + a)(-4b - a)$
B.$(4b - a)(-4b - a)$
C.$(-4b + a)(4b - a)$
D.$(4b + a)(4b - a)$
答案
B
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题有两种思路：①先将目标结果$a^2-16b^2$变形为平方差形式$a^2-(4b)^2$，根据平方差公式可知它是两个二项式的乘积，其中相同项为$a$，相反项为$4b$和$-4b$，再对照选项判断即可；②也可以逐个计算每个选项的乘积，和目标结果对比选出正确答案，计算时要注意区分相同项和相反项，避免符号出错。
【解析】
回忆平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，即两个二项式相乘，若存在一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。我们逐个计算选项：
A. $(-4b+a)(-4b-a)$：相同项为$-4b$，相反项为$a$和$-a$，计算得$(-4b)^2 - a^2=16b^2 -a^2$，不符合要求；
B. $(4b -a)(-4b -a)$：整理为$(-a +4b)(-a -4b)$，相同项为$-a$，相反项为$4b$和$-4b$，计算得$(-a)^2 - (4b)^2=a^2 -16b^2$，符合要求；
C. $(-4b+a)(4b -a)=-(4b -a)(4b -a)=-(4b -a)^2=-16b^2 +8ab -a^2$，不符合要求；
D. $(4b+a)(4b -a)$：相同项为$4b$，相反项为$a$和$-a$，计算得$(4b)^2 -a^2=16b^2 -a^2$，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别两个相乘二项式中的相同项和相反项，注意符号变化，也可以通过直接展开多项式相乘的方式验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查平方差公式的应用，解题有两种思路：①先将目标结果$a^2-16b^2$变形为平方差形式$a^2-(4b)^2$，根据平方差公式可知它是两个二项式的乘积，其中相同项为$a$，相反项为$4b$和$-4b$，再对照选项判断即可；②也可以逐个计算每个选项的乘积，和目标结果对比选出正确答案，计算时要注意区分相同项和相反项，避免符号出错。
【解析】
回忆平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，即两个二项式相乘，若存在一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。我们逐个计算选项：
A. $(-4b+a)(-4b-a)$：相同项为$-4b$，相反项为$a$和$-a$，计算得$(-4b)^2 - a^2=16b^2 -a^2$，不符合要求；
B. $(4b -a)(-4b -a)$：整理为$(-a +4b)(-a -4b)$，相同项为$-a$，相反项为$4b$和$-4b$，计算得$(-a)^2 - (4b)^2=a^2 -16b^2$，符合要求；
C. $(-4b+a)(4b -a)=-(4b -a)(4b -a)=-(4b -a)^2=-16b^2 +8ab -a^2$，不符合要求；
D. $(4b+a)(4b -a)$：相同项为$4b$，相反项为$a$和$-a$，计算得$(4b)^2 -a^2=16b^2 -a^2$，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别两个相乘二项式中的相同项和相反项，注意符号变化，也可以通过直接展开多项式相乘的方式验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
8. 计算$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$，得(
A.$2^4 - 1$
B.$2^{64} - 1$
C.$2^{16} - 1$
D.$2^{32} - 1$
C
).A.$2^4 - 1$
B.$2^{64} - 1$
C.$2^{16} - 1$
D.$2^{32} - 1$
答案
C
解析
【分析】
观察算式中每个因式的结构，均为“2的幂次+1”的形式，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$中$a+b$的结构特征，缺少对应的$a-b$项。我们可以利用$2-1=1$，在原式最前面乘$(2-1)$，不会改变原式的计算结果，即可构造出平方差公式的结构，逐步连续应用平方差公式就能快速算出结果，避免直接逐项计算的繁琐。
【解析】
在原式前添加值为1的因式$(2-1)$，再逐步应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)\\&=2^{16}-1\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式简便运算
【点评】
本题是整式乘法简便运算的典型题型，核心考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是通过添加值为1的因式$(2-1)$构造出平方差公式的结构，后续通过多次套用公式即可快速得到结果，无需逐项硬算。
【难度系数】
0.7
观察算式中每个因式的结构，均为“2的幂次+1”的形式，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$中$a+b$的结构特征，缺少对应的$a-b$项。我们可以利用$2-1=1$，在原式最前面乘$(2-1)$，不会改变原式的计算结果，即可构造出平方差公式的结构，逐步连续应用平方差公式就能快速算出结果，避免直接逐项计算的繁琐。
【解析】
在原式前添加值为1的因式$(2-1)$，再逐步应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\\&=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)\\&=(2^8-1)(2^8+1)\\&=2^{16}-1\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式简便运算
【点评】
本题是整式乘法简便运算的典型题型，核心考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是通过添加值为1的因式$(2-1)$构造出平方差公式的结构，后续通过多次套用公式即可快速得到结果，无需逐项硬算。
【难度系数】
0.7
9. 若将正方形的边长由$ a \ \mathrm{cm} $增加$ 6 \ \mathrm{cm} $，则正方形的面积增加了（
A.$ 36 \ \mathrm{cm}^2 $
B.$ 12a \ \mathrm{cm}^2 $
C.$ (36 + 12a) \ \mathrm{cm}^2 $
D.$ (36 - a^2) \ \mathrm{cm}^2 $
C
）。A.$ 36 \ \mathrm{cm}^2 $
B.$ 12a \ \mathrm{cm}^2 $
C.$ (36 + 12a) \ \mathrm{cm}^2 $
D.$ (36 - a^2) \ \mathrm{cm}^2 $
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“面积增加量”的含义：增加的面积等于边长增加后的新正方形面积减去原来的正方形面积。解题可按三步推进：第一步回忆正方形面积公式，分别写出原正方形和新正方形的面积表达式；第二步计算两个面积的差值；第三步化简差值表达式，对应选项得出结果。注意不要错误认为增加的面积仅为边长6cm的正方形面积，忽略和原边长相关的增量部分。
【解析】
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，按以下步骤计算：
1. 原正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，因此原面积$S_原=a^2\ \mathrm{cm}^2$；
2. 边长增加$6\ \mathrm{cm}$后，新边长为$(a+6)\ \mathrm{cm}$，因此新面积$S_新=(a+6)^2\ \mathrm{cm}^2$；
3. 计算面积增加量：
$\begin{aligned}\Delta S&=S_新 - S_原\\&=(a+6)^2 - a^2\\&=a^2+12a+36 - a^2\\&=36+12a\end{aligned}$
即面积增加了$(36+12a)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算，整式加减运算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础的面积变化计算类题目，易错点是忽略原边长带来的面积增量，直接误选仅边长为6cm的正方形面积。解题核心是抓住“增量=新量-原量”的关系，正确展开整式计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确“面积增加量”的含义：增加的面积等于边长增加后的新正方形面积减去原来的正方形面积。解题可按三步推进：第一步回忆正方形面积公式，分别写出原正方形和新正方形的面积表达式；第二步计算两个面积的差值；第三步化简差值表达式，对应选项得出结果。注意不要错误认为增加的面积仅为边长6cm的正方形面积，忽略和原边长相关的增量部分。
【解析】
根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，按以下步骤计算：
1. 原正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，因此原面积$S_原=a^2\ \mathrm{cm}^2$；
2. 边长增加$6\ \mathrm{cm}$后，新边长为$(a+6)\ \mathrm{cm}$，因此新面积$S_新=(a+6)^2\ \mathrm{cm}^2$；
3. 计算面积增加量：
$\begin{aligned}\Delta S&=S_新 - S_原\\&=(a+6)^2 - a^2\\&=a^2+12a+36 - a^2\\&=36+12a\end{aligned}$
即面积增加了$(36+12a)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算，整式加减运算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础的面积变化计算类题目，易错点是忽略原边长带来的面积增量，直接误选仅边长为6cm的正方形面积。解题核心是抓住“增量=新量-原量”的关系，正确展开整式计算即可。
【难度系数】
0.7
10. 下列各式中，能直接用平方差公式或完全平方公式计算得到的是(
A.$a^2 + b^2$
B.$16x^2 - 8xy + y^2$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 6x + 9$
B
).A.$a^2 + b^2$
B.$16x^2 - 8xy + y^2$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 6x + 9$
答案
B
解析
【分析】
解题前先牢记平方差公式和完全平方公式的结构特征：①平方差公式：形式为两个数的平方相减，即$a^2 - b^2$，对应两项式；②完全平方公式：展开后是三项式，两个平方项符号相同，中间项是这两个数乘积的2倍，即$a^2 \pm 2ab + b^2$。解题时只需将每个选项和两个公式的结构逐一比对，找到匹配的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$a^2 + b^2$是两个同号的平方项，既不符合平方差“两项平方异号”的要求，也没有完全平方公式的中间乘积项，不能直接用两个公式计算，排除；
2. 选项B：$16x^2 - 8xy + y^2$中，$16x^2=(4x)^2$，$y^2$是$y$的平方，中间项$-8xy=-2×4x× y$，完全符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可直接计算得$(4x-y)^2$，符合要求；
3. 选项C：$-x^2 - y^2=-(x^2+y^2)$，两个平方项均为负号，无中间乘积项，不符合两个公式的结构，排除；
4. 选项D：$-x^2 + 6x + 9$中$x^2$项符号为负，其余两个平方项中$9=3^2$为正，平方项符号不统一，不符合完全平方公式要求，也不是平方差的形式，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、乘法公式结构识别
【点评】
本题核心考查对整式乘法公式结构特征的掌握，只要牢记两类公式的形式特点，逐一比对选项就能快速选出正确答案，需要注意完全平方公式中的两个平方项符号必须一致。
【难度系数】
0.8
解题前先牢记平方差公式和完全平方公式的结构特征：①平方差公式：形式为两个数的平方相减，即$a^2 - b^2$，对应两项式；②完全平方公式：展开后是三项式，两个平方项符号相同，中间项是这两个数乘积的2倍，即$a^2 \pm 2ab + b^2$。解题时只需将每个选项和两个公式的结构逐一比对，找到匹配的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$a^2 + b^2$是两个同号的平方项，既不符合平方差“两项平方异号”的要求，也没有完全平方公式的中间乘积项，不能直接用两个公式计算，排除；
2. 选项B：$16x^2 - 8xy + y^2$中，$16x^2=(4x)^2$，$y^2$是$y$的平方，中间项$-8xy=-2×4x× y$，完全符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可直接计算得$(4x-y)^2$，符合要求；
3. 选项C：$-x^2 - y^2=-(x^2+y^2)$，两个平方项均为负号，无中间乘积项，不符合两个公式的结构，排除；
4. 选项D：$-x^2 + 6x + 9$中$x^2$项符号为负，其余两个平方项中$9=3^2$为正，平方项符号不统一，不符合完全平方公式要求，也不是平方差的形式，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、乘法公式结构识别
【点评】
本题核心考查对整式乘法公式结构特征的掌握，只要牢记两类公式的形式特点，逐一比对选项就能快速选出正确答案，需要注意完全平方公式中的两个平方项符号必须一致。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 用乘法公式计算：
(1) $(1 - 2xy)^2$；
(2) $(4x + 3y)(4x - 3y)$。
11. 用乘法公式计算：
(1) $(1 - 2xy)^2$；
(2) $(4x + 3y)(4x - 3y)$。
答案
(1) $1 - 4xy + 4x^2y^2$ (2) $16x^2 - 9y^2$
解析
【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题时先观察式子的结构特征匹配对应公式：
(1) 式子是两个数的差的平方形式，符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，只需确定公式里的a和b对应式子中的哪部分，代入计算即可；
(2) 式子是两个二项式相乘，其中一项完全相同（4x），另一项互为相反数（3y和-3y），符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，确定a、b后代入计算即可。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式计算，将$a=1$，$b=2xy$代入公式：
$\begin{aligned}(1 - 2xy)^2&=1^2 - 2×1×2xy + (2xy)^2\\&=1 - 4xy + 4x^2y^2\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式计算，将$a=4x$，$b=3y$代入公式：
$\begin{aligned}(4x + 3y)(4x - 3y)&=(4x)^2 - (3y)^2\\&=16x^2 - 9y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $1 - 4xy + 4x^2y^2$ (2) $16x^2 - 9y^2$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是准确识别式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，计算时要注意系数的平方和字母的指数运算不要出错。
【难度系数】
0.9
本题考查乘法公式的应用，解题时先观察式子的结构特征匹配对应公式：
(1) 式子是两个数的差的平方形式，符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，只需确定公式里的a和b对应式子中的哪部分，代入计算即可；
(2) 式子是两个二项式相乘，其中一项完全相同（4x），另一项互为相反数（3y和-3y），符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，确定a、b后代入计算即可。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式计算，将$a=1$，$b=2xy$代入公式：
$\begin{aligned}(1 - 2xy)^2&=1^2 - 2×1×2xy + (2xy)^2\\&=1 - 4xy + 4x^2y^2\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式计算，将$a=4x$，$b=3y$代入公式：
$\begin{aligned}(4x + 3y)(4x - 3y)&=(4x)^2 - (3y)^2\\&=16x^2 - 9y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $1 - 4xy + 4x^2y^2$ (2) $16x^2 - 9y^2$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是准确识别式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，计算时要注意系数的平方和字母的指数运算不要出错。
【难度系数】
0.9
