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10. 如图, 在长方形花园 $ABCD$ 中, $AB=a$, $AD=b$, 在花园中修建一条长方形道路 $LMPQ$ 和一条平行四边形道路 $RTKS$.若 $LM=RS=c$, 则花园中可绿化部分的面积为(
A.$bc - ab + ac + b^2$
B.$a^2 + bc + ab - ac$
C.$ab - bc - ac + c^2$
D.$b^2 - bc + a^2 - ab$
C
).A.$bc - ab + ac + b^2$
B.$a^2 + bc + ab - ac$
C.$ab - bc - ac + c^2$
D.$b^2 - bc + a^2 - ab$
答案
C
解析
【分析】
要计算可绿化部分的面积，核心思路是：绿化面积=长方形花园总面积-两条道路的实际占地面积。计算道路面积时需注意，两条道路存在重叠区域，若直接将两条道路面积相加，重叠部分会被重复计算1次，因此需要减去重复的重叠面积，避免后续多减。解题步骤可按以下顺序进行：第一步先算长方形ABCD的总面积；第二步分别计算两条道路的面积；第三步计算两条道路重叠部分的面积；第四步算出实际道路总面积，最后用花园总面积减去实际道路面积即可得到绿化面积。
【解析】
1. 计算长方形花园ABCD的总面积：
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得$S_{ABCD}=AB × AD = ab$。
2. 计算长方形道路$LMPQ$的面积：
该道路为横向长方形，宽$LM=c$，长等于长方形花园的长$AD=b$，因此$S_{LMPQ}=b × c = bc$。
3. 计算平行四边形道路$RTKS$的面积：
根据平行四边形面积公式$S=底×高$，底$RS=c$，高等于长方形花园的宽$AB=a$，因此$S_{RTKS}=a × c = ac$。
4. 计算两条道路重叠部分的面积：
重叠部分为平行四边形，底为$c$，高为$c$，因此$S_{重叠}=c × c = c^2$。
5. 计算实际道路总面积：
由于重叠部分在计算$S_{LMPQ}$和$S_{RTKS}$时各被计算了1次，重复计数1次，因此实际道路面积为：
$S_{道路}=S_{LMPQ} + S_{RTKS} - S_{重叠}=bc + ac - c^2$。
6. 计算可绿化面积：
$S_{绿化}=S_{ABCD} - S_{道路}=ab - (bc + ac - c^2)=ab - bc - ac + c^2$。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算，平行四边形面积计算，重叠面积处理
【点评】
本题是几何面积计算的常见题型，解题核心是注意重叠区域的计数问题，避免出现重复减或者漏加的错误，掌握基础图形面积公式和简单的容斥逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算可绿化部分的面积，核心思路是：绿化面积=长方形花园总面积-两条道路的实际占地面积。计算道路面积时需注意，两条道路存在重叠区域，若直接将两条道路面积相加，重叠部分会被重复计算1次，因此需要减去重复的重叠面积，避免后续多减。解题步骤可按以下顺序进行：第一步先算长方形ABCD的总面积；第二步分别计算两条道路的面积；第三步计算两条道路重叠部分的面积；第四步算出实际道路总面积，最后用花园总面积减去实际道路面积即可得到绿化面积。
【解析】
1. 计算长方形花园ABCD的总面积：
根据长方形面积公式$S=长×宽$，可得$S_{ABCD}=AB × AD = ab$。
2. 计算长方形道路$LMPQ$的面积：
该道路为横向长方形，宽$LM=c$，长等于长方形花园的长$AD=b$，因此$S_{LMPQ}=b × c = bc$。
3. 计算平行四边形道路$RTKS$的面积：
根据平行四边形面积公式$S=底×高$，底$RS=c$，高等于长方形花园的宽$AB=a$，因此$S_{RTKS}=a × c = ac$。
4. 计算两条道路重叠部分的面积：
重叠部分为平行四边形，底为$c$，高为$c$，因此$S_{重叠}=c × c = c^2$。
5. 计算实际道路总面积：
由于重叠部分在计算$S_{LMPQ}$和$S_{RTKS}$时各被计算了1次，重复计数1次，因此实际道路面积为：
$S_{道路}=S_{LMPQ} + S_{RTKS} - S_{重叠}=bc + ac - c^2$。
6. 计算可绿化面积：
$S_{绿化}=S_{ABCD} - S_{道路}=ab - (bc + ac - c^2)=ab - bc - ac + c^2$。
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算，平行四边形面积计算，重叠面积处理
【点评】
本题是几何面积计算的常见题型，解题核心是注意重叠区域的计数问题，避免出现重复减或者漏加的错误，掌握基础图形面积公式和简单的容斥逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 计算：
(1) $(-2xy^2z^3)^2 · (-x^2y)^3$；
(2) $(-x^2y) · (x^3y^2z)$；
(3) $(-2x^2) · (xy - 3yz + xz)$；
(4) $(-2m - 1)(3m - 2)$。
(1) $(-2xy^2z^3)^2 · (-x^2y)^3$；
(2) $(-x^2y) · (x^3y^2z)$；
(3) $(-2x^2) · (xy - 3yz + xz)$；
(4) $(-2m - 1)(3m - 2)$。
答案
(1) $-4x^{8}y^{7}z^{6}$
(2) $-x^{5}y^{3}z$
(3) $-2x^{3}y+6x^{2}yz-2x^{3}z$
(4) $-6m^{2}+m+2$
(2) $-x^{5}y^{3}z$
(3) $-2x^{3}y+6x^{2}yz-2x^{3}z$
(4) $-6m^{2}+m+2$
解析
【分析】
这四道题均为整式乘法运算，解题思路如下：
1. 对于(1)题，先根据积的乘方、幂的乘方法则分别计算两个乘方项，再按照单项式乘单项式的法则计算乘积，注意符号和同底数幂指数的运算规则。
2. 对于(2)题，直接运用单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂的指数相加，单独出现的字母连同指数直接作为积的因式。
3. 对于(3)题，运用单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意负号的处理，不要漏乘项。
4. 对于(4)题，运用多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 第一步计算乘方：
$(-2xy^2z^3)^2 = (-2)^2 · x^2 · (y^2)^2 · (z^3)^2 = 4x^2y^4z^6$
$(-x^2y)^3 = (-1)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -x^6y^3$
第二步计算单项式乘积：
原式$= 4x^2y^4z^6 · (-x^6y^3) = 4×(-1) · x^{2+6} · y^{4+3} · z^6 = -4x^8y^7z^6$
(2) 直接按单项式乘单项式法则计算：
原式$= (-1×1) · x^{2+3} · y^{1+2} · z = -x^5y^3z$
(3) 按单项式乘多项式法则展开：
原式$= (-2x^2)· xy + (-2x^2)· (-3yz) + (-2x^2)· xz$
$= -2x^3y + 6x^2yz - 2x^3z$
(4) 按多项式乘多项式法则展开后合并同类项：
原式$= (-2m)· 3m + (-2m)· (-2) + (-1)· 3m + (-1)· (-2)$
$= -6m^2 + 4m - 3m + 2$
$= -6m^2 + m + 2$
【答案】
(1) $\boxed{-4x^{8}y^{7}z^{6}}$
(2) $\boxed{-x^{5}y^{3}z}$
(3) $\boxed{-2x^{3}y+6x^{2}yz-2x^{3}z}$
(4) $\boxed{-6m^{2}+m+2}$
【知识点】
幂的运算性质，单项式乘多项式，多项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，全面覆盖了整式乘法的核心运算规则，解题过程中需注意运算顺序，尤其要重视符号判断，避免出现漏乘、指数计算错误、同类项合并错误等问题。
【难度系数】
0.8
这四道题均为整式乘法运算，解题思路如下：
1. 对于(1)题，先根据积的乘方、幂的乘方法则分别计算两个乘方项，再按照单项式乘单项式的法则计算乘积，注意符号和同底数幂指数的运算规则。
2. 对于(2)题，直接运用单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂的指数相加，单独出现的字母连同指数直接作为积的因式。
3. 对于(3)题，运用单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，注意负号的处理，不要漏乘项。
4. 对于(4)题，运用多项式乘多项式法则：用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 第一步计算乘方：
$(-2xy^2z^3)^2 = (-2)^2 · x^2 · (y^2)^2 · (z^3)^2 = 4x^2y^4z^6$
$(-x^2y)^3 = (-1)^3 · (x^2)^3 · y^3 = -x^6y^3$
第二步计算单项式乘积：
原式$= 4x^2y^4z^6 · (-x^6y^3) = 4×(-1) · x^{2+6} · y^{4+3} · z^6 = -4x^8y^7z^6$
(2) 直接按单项式乘单项式法则计算：
原式$= (-1×1) · x^{2+3} · y^{1+2} · z = -x^5y^3z$
(3) 按单项式乘多项式法则展开：
原式$= (-2x^2)· xy + (-2x^2)· (-3yz) + (-2x^2)· xz$
$= -2x^3y + 6x^2yz - 2x^3z$
(4) 按多项式乘多项式法则展开后合并同类项：
原式$= (-2m)· 3m + (-2m)· (-2) + (-1)· 3m + (-1)· (-2)$
$= -6m^2 + 4m - 3m + 2$
$= -6m^2 + m + 2$
【答案】
(1) $\boxed{-4x^{8}y^{7}z^{6}}$
(2) $\boxed{-x^{5}y^{3}z}$
(3) $\boxed{-2x^{3}y+6x^{2}yz-2x^{3}z}$
(4) $\boxed{-6m^{2}+m+2}$
【知识点】
幂的运算性质，单项式乘多项式，多项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，全面覆盖了整式乘法的核心运算规则，解题过程中需注意运算顺序，尤其要重视符号判断，避免出现漏乘、指数计算错误、同类项合并错误等问题。
【难度系数】
0.8
12. 已知多项式$(-2x^{2})(3x^{2}-ax-6)-3x^{3}+x^{2}$不含$x$的三次项，求$a$的值.
答案
$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“多项式不含x的三次项”的含义：即合并同类项后，x³项的系数为0。解题思路分三步：第一步根据单项式乘多项式的法则展开原式的乘积部分；第二步合并同类项，提取x³项的系数；第三步令x³项的系数等于0，解一元一次方程即可求出a的值，计算时需注意符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：先展开并化简多项式：
$\begin{aligned}&(-2x^{2})(3x^{2}-ax-6)-3x^{3}+x^{2}\\=&-2x^2 · 3x^2 + (-2x^2) · (-ax) + (-2x^2) · (-6) - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + 2ax^3 + 12x^2 - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + (2a - 3)x^3 + 13x^2\end{aligned}$
∵ 多项式不含x的三次项
∴ x³项的系数为0，即：
$2a - 3 = 0$
解得：$a=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1.单项式乘多项式
2.合并同类项
3.解一元一次方程
【点评】
本题核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，解题时需要准确完成整式的乘法运算和同类项合并，重点注意乘法运算中的符号规则，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先需明确“多项式不含x的三次项”的含义：即合并同类项后，x³项的系数为0。解题思路分三步：第一步根据单项式乘多项式的法则展开原式的乘积部分；第二步合并同类项，提取x³项的系数；第三步令x³项的系数等于0，解一元一次方程即可求出a的值，计算时需注意符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：先展开并化简多项式：
$\begin{aligned}&(-2x^{2})(3x^{2}-ax-6)-3x^{3}+x^{2}\\=&-2x^2 · 3x^2 + (-2x^2) · (-ax) + (-2x^2) · (-6) - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + 2ax^3 + 12x^2 - 3x^3 + x^2\\=&-6x^4 + (2a - 3)x^3 + 13x^2\end{aligned}$
∵ 多项式不含x的三次项
∴ x³项的系数为0，即：
$2a - 3 = 0$
解得：$a=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1.单项式乘多项式
2.合并同类项
3.解一元一次方程
【点评】
本题核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，解题时需要准确完成整式的乘法运算和同类项合并，重点注意乘法运算中的符号规则，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.75
13. 已知$(-2ax^{b}y^{2c})(3x^{b-1}y)=12x^{11}y^{7}$，其中$a$，$b$，$c$为常数，求$a+b+c$的值.
答案
$7$
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式乘单项式的运算规则，先将等式左边的两个单项式相乘，把结果整理为系数、x的幂、y的幂相乘的形式。由于等式两边相等，所以对应项的系数相等、相同字母的指数也分别相等，据此列出关于a、b、c的一元一次方程，分别求解三个未知数后代入a+b+c计算即可。
【解析】
第一步：计算等式左边的单项式乘积
根据单项式乘单项式的法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，得：
$(-2ax^{b}y^{2c})(3x^{b-1}y)$
$=(-2a×3)· x^{b+(b-1)}· y^{2c+1}$
$=-6a x^{2b-1} y^{2c+1}$
第二步：根据等式两边对应项系数、指数相等列方程
因为$-6a x^{2b-1} y^{2c+1}=12x^{11}y^{7}$，所以：
1. 系数相等：$-6a=12$，解得$a=-2$
2. x的指数相等：$2b-1=11$，解得$b=6$
3. y的指数相等：$2c+1=7$，解得$c=3$
第三步：计算$a+b+c$的值
将$a=-2$，$b=6$，$c=3$代入得：
$a+b+c=-2+6+3=7$
【答案】
$7$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是利用等式两边对应项的系数与同底数幂的指数分别相等建立方程，掌握单项式乘法的运算规则是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆单项式乘单项式的运算规则，先将等式左边的两个单项式相乘，把结果整理为系数、x的幂、y的幂相乘的形式。由于等式两边相等，所以对应项的系数相等、相同字母的指数也分别相等，据此列出关于a、b、c的一元一次方程，分别求解三个未知数后代入a+b+c计算即可。
【解析】
第一步：计算等式左边的单项式乘积
根据单项式乘单项式的法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，得：
$(-2ax^{b}y^{2c})(3x^{b-1}y)$
$=(-2a×3)· x^{b+(b-1)}· y^{2c+1}$
$=-6a x^{2b-1} y^{2c+1}$
第二步：根据等式两边对应项系数、指数相等列方程
因为$-6a x^{2b-1} y^{2c+1}=12x^{11}y^{7}$，所以：
1. 系数相等：$-6a=12$，解得$a=-2$
2. x的指数相等：$2b-1=11$，解得$b=6$
3. y的指数相等：$2c+1=7$，解得$c=3$
第三步：计算$a+b+c$的值
将$a=-2$，$b=6$，$c=3$代入得：
$a+b+c=-2+6+3=7$
【答案】
$7$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是利用等式两边对应项的系数与同底数幂的指数分别相等建立方程，掌握单项式乘法的运算规则是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
14. 先化简，再求值：$2(x-3)(x+2)-(3+a)(3-a)$，其中$a=-2$，$x=1$.
答案
$2x^{2}-2x+a^{2}-21$，$-17$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先分别计算两个乘法部分，其中$(x-3)(x+2)$用多项式乘多项式法则计算，$(3+a)(3-a)$可以用平方差公式简化计算，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将已知的$x$和$a$的值代入最简式，计算出最终结果即可。注意去括号时，如果括号前是负号，括号内各项要变号，避免符号错误。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算多项式乘法：
$(x-3)(x+2)=x^2 +2x -3x -6 = x^2 -x -6$，
因此$2(x-3)(x+2)=2(x^2 -x -6)=2x^2 -2x -12$；
2. 用平方差公式计算：
$(3+a)(3-a)=3^2 -a^2=9 -a^2$；
3. 去括号、合并同类项：
原式$=2x^2 -2x -12 - (9 -a^2)$
$=2x^2 -2x -12 -9 +a^2$
$=2x^2 -2x +a^2 -21$
4. 代入$x=1$，$a=-2$求值：
将$x=1$、$a=-2$代入最简式得：
$2×1^2 -2×1 + (-2)^2 -21$
$=2 -2 +4 -21$
$=-17$
【答案】
$2x^{2}-2x+a^{2}-21$，$-17$
【知识点】
整式化简求值、多项式乘多项式、平方差公式
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则和平方差公式，计算时要特别注意去括号的符号变化，代入负数求值时要注意平方运算的正确性。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先分别计算两个乘法部分，其中$(x-3)(x+2)$用多项式乘多项式法则计算，$(3+a)(3-a)$可以用平方差公式简化计算，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将已知的$x$和$a$的值代入最简式，计算出最终结果即可。注意去括号时，如果括号前是负号，括号内各项要变号，避免符号错误。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算多项式乘法：
$(x-3)(x+2)=x^2 +2x -3x -6 = x^2 -x -6$，
因此$2(x-3)(x+2)=2(x^2 -x -6)=2x^2 -2x -12$；
2. 用平方差公式计算：
$(3+a)(3-a)=3^2 -a^2=9 -a^2$；
3. 去括号、合并同类项：
原式$=2x^2 -2x -12 - (9 -a^2)$
$=2x^2 -2x -12 -9 +a^2$
$=2x^2 -2x +a^2 -21$
4. 代入$x=1$，$a=-2$求值：
将$x=1$、$a=-2$代入最简式得：
$2×1^2 -2×1 + (-2)^2 -21$
$=2 -2 +4 -21$
$=-17$
【答案】
$2x^{2}-2x+a^{2}-21$，$-17$
【知识点】
整式化简求值、多项式乘多项式、平方差公式
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则和平方差公式，计算时要特别注意去括号的符号变化，代入负数求值时要注意平方运算的正确性。
【难度系数】
0.8
15. 对于任意正整数$n$，代数式$n(n+7)-(n+3)(n-2)$的值是否总能被6整除？请说明理由.
答案
能. 因为$n(n+7)-(n+3)(n-2)=(n^{2}+7n)-(n^{2}-2n+3n-6)=6(n+1)$，所以总能被6整除
解析
【分析】
要判断代数式的值是否总能被6整除，首先需对代数式进行化简：先按照整式乘法法则分别计算两个乘法项，再去括号、合并同类项，最后观察化简结果是否含有因数6，若n为正整数时除6外剩余部分为整数，即可证明该代数式能被6整除。
【解析】
解：对代数式逐步化简：
1. 分别展开两个乘法项：
$n(n+7)=n^2+7n$，
$(n+3)(n-2)=n^2-2n+3n-6=n^2+n-6$；
2. 代入原式去括号、合并同类项：
$n(n+7)-(n+3)(n-2)=(n^2+7n)-(n^2+n-6)=n^2+7n-n^2-n+6=6n+6$；
3. 提取公因数得：$6n+6=6(n+1)$。
由于n是正整数，因此$n+1$也是正整数，$6(n+1)$是6的正整数倍，所以该代数式的值总能被6整除。
【答案】
能. 因为$n(n+7)-(n+3)(n-2)=(n^{2}+7n)-(n^{2}-2n+3n-6)=6(n+1)$，所以总能被6整除
【知识点】
整式乘法，整式化简，整除判定
【点评】
本题考查整式运算在整除判定中的应用，核心是通过整式的乘法、加减运算将原式化简为乘积形式，再结合整除的概念判断，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断代数式的值是否总能被6整除，首先需对代数式进行化简：先按照整式乘法法则分别计算两个乘法项，再去括号、合并同类项，最后观察化简结果是否含有因数6，若n为正整数时除6外剩余部分为整数，即可证明该代数式能被6整除。
【解析】
解：对代数式逐步化简：
1. 分别展开两个乘法项：
$n(n+7)=n^2+7n$，
$(n+3)(n-2)=n^2-2n+3n-6=n^2+n-6$；
2. 代入原式去括号、合并同类项：
$n(n+7)-(n+3)(n-2)=(n^2+7n)-(n^2+n-6)=n^2+7n-n^2-n+6=6n+6$；
3. 提取公因数得：$6n+6=6(n+1)$。
由于n是正整数，因此$n+1$也是正整数，$6(n+1)$是6的正整数倍，所以该代数式的值总能被6整除。
【答案】
能. 因为$n(n+7)-(n+3)(n-2)=(n^{2}+7n)-(n^{2}-2n+3n-6)=6(n+1)$，所以总能被6整除
【知识点】
整式乘法，整式化简，整除判定
【点评】
本题考查整式运算在整除判定中的应用，核心是通过整式的乘法、加减运算将原式化简为乘积形式，再结合整除的概念判断，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
