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1. 计算：$(-2a)^{3}· (1 - 2a + a^{2})=\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$-8a^{3}+16a^{4}-8a^{5}$
解析
【分析】
这道题属于整式乘法运算题，解题要遵循先乘方、后乘法的运算顺序。首先第一步先计算积的乘方$(-2a)^3$，依据积的乘方法则算出单项式结果；第二步再按照单项式乘多项式的运算法则，用得到的单项式分别乘多项式的每一项，计算过程中要注意正负号的处理，同时遵循同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的规则，最后把所得的积相加即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算乘方部分
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(-2a)^3=(-2)^3· a^3=-8a^3$
第二步：计算单项式乘多项式
根据单项式乘多项式法则：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，可得：
$\begin{split}&-8a^3·(1-2a+a^2)\\=&-8a^3·1 + (-8a^3)·(-2a) + (-8a^3)· a^2\\=&-8a^3 + 16a^4 -8a^5\end{split}$
【答案】
$-8a^{3}+16a^{4}-8a^{5}$
【知识点】
积的乘方运算、单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，求解时需严格遵循运算顺序，要特别注意符号处理以及幂运算的指数规则，避免因粗心出现符号错误、指数计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
这道题属于整式乘法运算题，解题要遵循先乘方、后乘法的运算顺序。首先第一步先计算积的乘方$(-2a)^3$，依据积的乘方法则算出单项式结果；第二步再按照单项式乘多项式的运算法则，用得到的单项式分别乘多项式的每一项，计算过程中要注意正负号的处理，同时遵循同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的规则，最后把所得的积相加即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算乘方部分
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(-2a)^3=(-2)^3· a^3=-8a^3$
第二步：计算单项式乘多项式
根据单项式乘多项式法则：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，可得：
$\begin{split}&-8a^3·(1-2a+a^2)\\=&-8a^3·1 + (-8a^3)·(-2a) + (-8a^3)· a^2\\=&-8a^3 + 16a^4 -8a^5\end{split}$
【答案】
$-8a^{3}+16a^{4}-8a^{5}$
【知识点】
积的乘方运算、单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，求解时需严格遵循运算顺序，要特别注意符号处理以及幂运算的指数规则，避免因粗心出现符号错误、指数计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$9^{8} × 27^{2} ÷ (-3)^{18} = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$81$
解析
【分析】
观察算式中各幂的底数，9、27都可以转化为3的正整数次幂，(-3)的18次方是偶次幂，结果为正，也可以转化为3的幂。解题时先将所有幂的底数统一为3，再依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法和除法法则逐步计算即可。
【解析】
解：先将所有项转化为以3为底数的幂：
$\begin{aligned}原式&=(3^2)^8 × (3^3)^2 ÷ 3^{18} \quad (\mathrm{负数的偶次幂为正，故}(-3)^{18}=3^{18})\\&=3^{2×8} × 3^{3×2} ÷ 3^{18} \quad (\mathrm{幂的乘方：底数不变，指数相乘})\\&=3^{16} × 3^6 ÷ 3^{18}\\&=3^{16+6-18} \quad (\mathrm{同底数幂相乘/除：底数不变，指数相加减})\\&=3^4\\&=81\end{aligned}$
【答案】
$81$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负数的乘方性质
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的应用，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再按照对应法则计算，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.75
观察算式中各幂的底数，9、27都可以转化为3的正整数次幂，(-3)的18次方是偶次幂，结果为正，也可以转化为3的幂。解题时先将所有幂的底数统一为3，再依次运用幂的乘方法则、同底数幂的乘法和除法法则逐步计算即可。
【解析】
解：先将所有项转化为以3为底数的幂：
$\begin{aligned}原式&=(3^2)^8 × (3^3)^2 ÷ 3^{18} \quad (\mathrm{负数的偶次幂为正，故}(-3)^{18}=3^{18})\\&=3^{2×8} × 3^{3×2} ÷ 3^{18} \quad (\mathrm{幂的乘方：底数不变，指数相乘})\\&=3^{16} × 3^6 ÷ 3^{18}\\&=3^{16+6-18} \quad (\mathrm{同底数幂相乘/除：底数不变，指数相加减})\\&=3^4\\&=81\end{aligned}$
【答案】
$81$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负数的乘方性质
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的应用，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再按照对应法则计算，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.75
3. 计算：$(2m + n)(3n - m) = \underline{\hspace{8cm}}$.
答案
$-2m^{2}+5mn+3n^{2}$
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：第一步回忆多项式乘多项式的运算法则：两个多项式相乘，要把第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加；第二步按照法则展开算式，注意每项相乘时不要漏乘、不要搞错符号；第三步合并式子中的同类项，就能得到最终结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(2m + n)(3n - m) &= 2m·3n + 2m·(-m) + n·3n + n·(-m) \\&= 6mn - 2m^2 + 3n^2 - mn \\&= -2m^2 + (6mn - mn) + 3n^2 \\&= -2m^2 + 5mn + 3n^2\end{aligned}$
【答案】
$-2m^{2}+5mn+3n^{2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题时要注意展开过程中符号的处理，合并同类项时准确计算同类项的系数，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：第一步回忆多项式乘多项式的运算法则：两个多项式相乘，要把第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加；第二步按照法则展开算式，注意每项相乘时不要漏乘、不要搞错符号；第三步合并式子中的同类项，就能得到最终结果。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(2m + n)(3n - m) &= 2m·3n + 2m·(-m) + n·3n + n·(-m) \\&= 6mn - 2m^2 + 3n^2 - mn \\&= -2m^2 + (6mn - mn) + 3n^2 \\&= -2m^2 + 5mn + 3n^2\end{aligned}$
【答案】
$-2m^{2}+5mn+3n^{2}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题时要注意展开过程中符号的处理，合并同类项时准确计算同类项的系数，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. （ ）$· 4a^2b = \dfrac{1}{2}a^6b^2c.$
答案
$\dfrac{1}{8}a^{4}bc$
解析
【分析】
本题是已知两个单项式的乘积与其中一个单项式，求另一个单项式的运算，解题核心是运用“因数=积÷另一个因数”的关系，转化为单项式除以单项式的计算。解题时按照单项式除法的规则分步计算即可：先算系数的商，再算同底数幂的商，最后把只在被除式中出现的字母连同指数保留下来，合并所有因式就得到结果。
【解析】
设括号内的代数式为$x$，根据题意可得：
$x = \dfrac{1}{2}a^6b^2c ÷ 4a^2b$
按照单项式除法法则计算：
1. 系数相除：$\dfrac{1}{2} ÷ 4 = \dfrac{1}{8}$
2. 同底数幂分别相除：
$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2} = a^4$，$b^2 ÷ b = b^{2-1} = b$
3. 被除式中独有的字母$c$连同指数保留，作为商的因式
将上述结果合并得：$x = \dfrac{1}{8}a^4bc$
【答案】
$\dfrac{1}{8}a^{4}bc$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查单项式除法的运算规则，解题时需注意不要遗漏被除式中单独存在的字母，同时要准确计算系数的商和同底数幂的指数差，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是已知两个单项式的乘积与其中一个单项式，求另一个单项式的运算，解题核心是运用“因数=积÷另一个因数”的关系，转化为单项式除以单项式的计算。解题时按照单项式除法的规则分步计算即可：先算系数的商，再算同底数幂的商，最后把只在被除式中出现的字母连同指数保留下来，合并所有因式就得到结果。
【解析】
设括号内的代数式为$x$，根据题意可得：
$x = \dfrac{1}{2}a^6b^2c ÷ 4a^2b$
按照单项式除法法则计算：
1. 系数相除：$\dfrac{1}{2} ÷ 4 = \dfrac{1}{8}$
2. 同底数幂分别相除：
$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2} = a^4$，$b^2 ÷ b = b^{2-1} = b$
3. 被除式中独有的字母$c$连同指数保留，作为商的因式
将上述结果合并得：$x = \dfrac{1}{8}a^4bc$
【答案】
$\dfrac{1}{8}a^{4}bc$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查单项式除法的运算规则，解题时需注意不要遗漏被除式中单独存在的字母，同时要准确计算系数的商和同底数幂的指数差，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
5. 如图，某体育馆用大小相同的正方形木板镶嵌地面，第1次铺2块，第2次把第1次铺的完全围起来，第3次把第2次铺的完全围起来……依此方法，第n次铺完后，用含字母n的代数式表示第n次镶嵌所使用的木板数为
8n-6(n为正整数)
.答案
$8n-6$(n为正整数)
解析
【分析】
解题时我们先从已知的前三次镶嵌情况入手，先分别计算出每次新使用的木板数量，再观察这些数量的变化规律，进而推导得出第n次的通用表达式。第一步先数/计算前三次每次新增的木板数，第二步对比这几个数的差值找规律，第三步根据规律写出含n的代数式即可。
【解析】
观察图形分别计算每次镶嵌的木板数：
1. 第1次镶嵌使用的木板数：2；
2. 第2次镶嵌后，完整图形为3行4列，总木板数为$3×4=12$，减去第1次已铺的2块，得第2次新增木板数为$12-2=10$；
3. 第3次镶嵌后，完整图形为5行6列，总木板数为$5×6=30$，减去前两次已铺的12块，得第3次新增木板数为$30-12=18$；
观察数值2、10、18，可发现后一个数比前一个数大8，因此第n次镶嵌的木板数为：
$2+8(n-1)=8n-6$（n为正整数）
【答案】
$8n-6$(n为正整数)
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的典型题目，解题核心是区分“累计总木板数”和“单次新增木板数”，通过计算前几次的特殊值归纳通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时我们先从已知的前三次镶嵌情况入手，先分别计算出每次新使用的木板数量，再观察这些数量的变化规律，进而推导得出第n次的通用表达式。第一步先数/计算前三次每次新增的木板数，第二步对比这几个数的差值找规律，第三步根据规律写出含n的代数式即可。
【解析】
观察图形分别计算每次镶嵌的木板数：
1. 第1次镶嵌使用的木板数：2；
2. 第2次镶嵌后，完整图形为3行4列，总木板数为$3×4=12$，减去第1次已铺的2块，得第2次新增木板数为$12-2=10$；
3. 第3次镶嵌后，完整图形为5行6列，总木板数为$5×6=30$，减去前两次已铺的12块，得第3次新增木板数为$30-12=18$；
观察数值2、10、18，可发现后一个数比前一个数大8，因此第n次镶嵌的木板数为：
$2+8(n-1)=8n-6$（n为正整数）
【答案】
$8n-6$(n为正整数)
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的典型题目，解题核心是区分“累计总木板数”和“单次新增木板数”，通过计算前几次的特殊值归纳通用规律，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
6. 下列计算不正确的是(
A.$2a^2 · (-3ab^2) = -5a^3b^2$
B.$(-xy)^2 · (-xy)^3 = (-xy)^5$
C.$(-2ab)^2 · (-3ab^2)^3 = -108a^5b^8$
D.$(-a^2)^{2n} = a^{4n}$（$n$为正整数）
A
).A.$2a^2 · (-3ab^2) = -5a^3b^2$
B.$(-xy)^2 · (-xy)^3 = (-xy)^5$
C.$(-2ab)^2 · (-3ab^2)^3 = -108a^5b^8$
D.$(-a^2)^{2n} = a^{4n}$（$n$为正整数）
答案
A
解析
【分析】
这道题考查整式乘法相关的运算，解题思路是逐个对每个选项按照对应的运算法则计算，对比给出的结果，找出计算错误的选项。解题时需要用到同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式的运算法则，逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂分别相乘。计算$2a^2 · (-3ab^2)$时，系数部分：$2×(-3)=-6$，$a$的部分：$a^2·a=a^{2+1}=a^3$，$b$的部分保留$b^2$，所以结果应为$-6a^3b^2$，选项给出的结果是$-5a^3b^2$，计算错误。
选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。$(-xy)^2 · (-xy)^3 = (-xy)^{2+3}=(-xy)^5$，计算正确。
选项C：先算积的乘方，再算单项式乘法。$(-2ab)^2=(-2)^2a^2b^2=4a^2b^2$，$(-3ab^2)^3=(-3)^3a^3(b^2)^3=-27a^3b^6$，相乘得$4a^2b^2·(-27a^3b^6)=4×(-27)·a^{2+3}·b^{2+6}=-108a^5b^8$，计算正确。
选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，且$n$为正整数时$2n$是偶数，负数的偶次幂为正。$(-a^2)^{2n}=(a^2)^{2n}=a^{2×2n}=a^{4n}$，计算正确。
综上，计算不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式，幂的运算，积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查幂的各类运算法则以及单项式乘法的计算，解题时要注意符号的判断、指数的运算规则，避免出现系数相加、指数计算错误等低级失误。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式乘法相关的运算，解题思路是逐个对每个选项按照对应的运算法则计算，对比给出的结果，找出计算错误的选项。解题时需要用到同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式的运算法则，逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂分别相乘。计算$2a^2 · (-3ab^2)$时，系数部分：$2×(-3)=-6$，$a$的部分：$a^2·a=a^{2+1}=a^3$，$b$的部分保留$b^2$，所以结果应为$-6a^3b^2$，选项给出的结果是$-5a^3b^2$，计算错误。
选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。$(-xy)^2 · (-xy)^3 = (-xy)^{2+3}=(-xy)^5$，计算正确。
选项C：先算积的乘方，再算单项式乘法。$(-2ab)^2=(-2)^2a^2b^2=4a^2b^2$，$(-3ab^2)^3=(-3)^3a^3(b^2)^3=-27a^3b^6$，相乘得$4a^2b^2·(-27a^3b^6)=4×(-27)·a^{2+3}·b^{2+6}=-108a^5b^8$，计算正确。
选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，且$n$为正整数时$2n$是偶数，负数的偶次幂为正。$(-a^2)^{2n}=(a^2)^{2n}=a^{2×2n}=a^{4n}$，计算正确。
综上，计算不正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式，幂的运算，积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查幂的各类运算法则以及单项式乘法的计算，解题时要注意符号的判断、指数的运算规则，避免出现系数相加、指数计算错误等低级失误。
【难度系数】
0.8
7. 如果单项式$-3x^{4a-b}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{a+b}$是同类项，那么$a$，$b$的值分别为（
A.$a=1$，$b=2$
B.$a=2$，$b=2$
C.$a=2$，$b=1$
D.$a=1$，$b=1$
D
）.A.$a=1$，$b=2$
B.$a=2$，$b=2$
C.$a=2$，$b=1$
D.$a=1$，$b=1$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。我们可以对照两个单项式中x和y的指数，分别列出关于a、b的等式，组成二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{4a-b}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{a+b}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可列方程组：
$\begin{cases}4a - b = 3&①\\a + b = 2&②\end{cases}$
将①+②消去b，得：$5a = 5$，解得$a=1$
把$a=1$代入②，得：$1 + b = 2$，解得$b=1$
即$a=1$，$b=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心考查同类项概念的应用，解题关键是抓住同类项中相同字母指数相等的特征列方程，计算量小，掌握基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。我们可以对照两个单项式中x和y的指数，分别列出关于a、b的等式，组成二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
【解析】
解：
∵单项式$-3x^{4a-b}y^{2}$与$\dfrac{1}{3}x^{3}y^{a+b}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可列方程组：
$\begin{cases}4a - b = 3&①\\a + b = 2&②\end{cases}$
将①+②消去b，得：$5a = 5$，解得$a=1$
把$a=1$代入②，得：$1 + b = 2$，解得$b=1$
即$a=1$，$b=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心考查同类项概念的应用，解题关键是抓住同类项中相同字母指数相等的特征列方程，计算量小，掌握基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
8. 满足等式$(x+3)(x-2)=x^2+ax+b$的$a$，$b$的值为(
A.$a=5$，$b=6$
B.$a=1$，$b=-6$
C.$a=1$，$b=6$
D.$a=5$，$b=-6$
B
).A.$a=5$，$b=6$
B.$a=1$，$b=-6$
C.$a=1$，$b=6$
D.$a=5$，$b=-6$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要把等式左边的多项式乘积展开并化简，再根据等式两边的多项式相等时，同类项的系数对应相等的规律，就能分别求出a、b的值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
先计算等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(x+3)(x-2)&=x× x + x×(-2) + 3× x + 3×(-2)\\&=x^2 - 2x + 3x - 6\\&=x^2 + x - 6\end{aligned}$
因为等式左边等于右边，即$x^2 + x - 6 = x^2 + ax + b$，对比两边同类项的系数可得：
一次项系数：$a=1$
常数项：$b=-6$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式恒等条件
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法的基本运算规则，计算时注意正负号的处理，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要把等式左边的多项式乘积展开并化简，再根据等式两边的多项式相等时，同类项的系数对应相等的规律，就能分别求出a、b的值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
先计算等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(x+3)(x-2)&=x× x + x×(-2) + 3× x + 3×(-2)\\&=x^2 - 2x + 3x - 6\\&=x^2 + x - 6\end{aligned}$
因为等式左边等于右边，即$x^2 + x - 6 = x^2 + ax + b$，对比两边同类项的系数可得：
一次项系数：$a=1$
常数项：$b=-6$
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式恒等条件
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法的基本运算规则，计算时注意正负号的处理，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. 要使$(6x - a)(2x + 1)$的结果中不含$x$的一次项，常数$a$应等于(
A.0
B.1
C.2
D.3
D
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“结果中不含x的一次项”的含义：即多项式展开合并同类项后，x的一次项的系数为0。解题思路分为三步：第一步用多项式乘多项式的法则展开原式，第二步合并同类项找到x的一次项的系数，第三步令一次项系数等于0，解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开式子：
$\begin{aligned}(6x - a)(2x + 1)&=6x·2x + 6x·1 - a·2x - a·1\\&=12x^2 + 6x - 2ax - a\\&=12x^2 + (6 - 2a)x - a\end{aligned}$
因为结果中不含x的一次项，所以x的一次项的系数为0，即：
$6 - 2a = 0$
移项得$2a=6$，解得$a=3$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的典型基础题，核心考点是“多项式不含某项则该项系数为0”的应用，熟练掌握多项式乘法运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确“结果中不含x的一次项”的含义：即多项式展开合并同类项后，x的一次项的系数为0。解题思路分为三步：第一步用多项式乘多项式的法则展开原式，第二步合并同类项找到x的一次项的系数，第三步令一次项系数等于0，解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开式子：
$\begin{aligned}(6x - a)(2x + 1)&=6x·2x + 6x·1 - a·2x - a·1\\&=12x^2 + 6x - 2ax - a\\&=12x^2 + (6 - 2a)x - a\end{aligned}$
因为结果中不含x的一次项，所以x的一次项的系数为0，即：
$6 - 2a = 0$
移项得$2a=6$，解得$a=3$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、解一元一次方程
【点评】
本题是整式乘法的典型基础题，核心考点是“多项式不含某项则该项系数为0”的应用，熟练掌握多项式乘法运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
