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11. 计算：
(1) $(-x)^{6} ÷ (-x)^{3}$；
(2) $(xy)^{4} ÷ (xy)$；
(3) $8^{2m+1} ÷ 8^{m}$；
(4) $(x+y)^{m+n} · (x+y)^{m+2n} ÷ (x+y)^{m-n}$。
(1) $(-x)^{6} ÷ (-x)^{3}$；
(2) $(xy)^{4} ÷ (xy)$；
(3) $8^{2m+1} ÷ 8^{m}$；
(4) $(x+y)^{m+n} · (x+y)^{m+2n} ÷ (x+y)^{m-n}$。
答案
(1) $-x^{3}$ (2) $x^{3}y^{3}$ (3) $8^{m+1}$ (4) $(x+y)^{m+4n}$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察每道小题的运算项底数是否相同，若底数相同则可直接运用幂的运算法则计算：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减。若底数是多项式的，可将整体当作底数参与运算，最后注意化简符号、展开积的乘方形式即可。
【解析】
(1) 底数同为$-x$，按同底数幂除法法则计算：
$(-x)^{6} ÷ (-x)^{3}=(-x)^{6-3}=(-x)^3=-x^3$
(2) 底数同为$xy$，按同底数幂除法法则计算，再展开积的乘方：
$(xy)^{4} ÷ (xy)=(xy)^{4-1}=(xy)^3=x^3y^3$
(3) 底数同为$8$，按同底数幂除法法则计算：
$8^{2m+1} ÷ 8^{m}=8^{(2m+1)-m}=8^{m+1}$
(4) 先按同底数幂乘法法则计算乘法部分，再按同底数幂除法法则计算：
$(x+y)^{m+n} · (x+y)^{m+2n} ÷ (x+y)^{m-n}$
$=(x+y)^{(m+n)+(m+2n)} ÷ (x+y)^{m-n}$
$=(x+y)^{2m+3n} ÷ (x+y)^{m-n}$
$=(x+y)^{(2m+3n)-(m-n)}$
$=(x+y)^{m+4n}$
【答案】
(1) $-x^{3}$ (2) $x^{3}y^{3}$ (3) $8^{m+1}$ (4) $(x+y)^{m+4n}$
【知识点】
同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握同底数幂乘除的运算法则，运算时注意底数可以是数字、单项式，也可以是多项式，需准确计算指数的加减，同时留意负数乘方的符号处理，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察每道小题的运算项底数是否相同，若底数相同则可直接运用幂的运算法则计算：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减。若底数是多项式的，可将整体当作底数参与运算，最后注意化简符号、展开积的乘方形式即可。
【解析】
(1) 底数同为$-x$，按同底数幂除法法则计算：
$(-x)^{6} ÷ (-x)^{3}=(-x)^{6-3}=(-x)^3=-x^3$
(2) 底数同为$xy$，按同底数幂除法法则计算，再展开积的乘方：
$(xy)^{4} ÷ (xy)=(xy)^{4-1}=(xy)^3=x^3y^3$
(3) 底数同为$8$，按同底数幂除法法则计算：
$8^{2m+1} ÷ 8^{m}=8^{(2m+1)-m}=8^{m+1}$
(4) 先按同底数幂乘法法则计算乘法部分，再按同底数幂除法法则计算：
$(x+y)^{m+n} · (x+y)^{m+2n} ÷ (x+y)^{m-n}$
$=(x+y)^{(m+n)+(m+2n)} ÷ (x+y)^{m-n}$
$=(x+y)^{2m+3n} ÷ (x+y)^{m-n}$
$=(x+y)^{(2m+3n)-(m-n)}$
$=(x+y)^{m+4n}$
【答案】
(1) $-x^{3}$ (2) $x^{3}y^{3}$ (3) $8^{m+1}$ (4) $(x+y)^{m+4n}$
【知识点】
同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握同底数幂乘除的运算法则，运算时注意底数可以是数字、单项式，也可以是多项式，需准确计算指数的加减，同时留意负数乘方的符号处理，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
12. 判断下列说法是否正确，正确的在括号内填“T”，错误的在括号内填“F”：
（1）当$x$取任何实数时，$x^{3}· x^{2}=x$. （
（2）当$x$取任何实数时，$(x^{2}+1)^{5}÷ (x^{2}+1)^{2}=(x^{2}+1)^{3}$. （
（3）当$x$取任何实数时，$(2x+3)^{0}=1$. （
（4）当$x$取任何实数时，$(x^{2}+1)^{0}=1$. （
（1）当$x$取任何实数时，$x^{3}· x^{2}=x$. （
F
）（2）当$x$取任何实数时，$(x^{2}+1)^{5}÷ (x^{2}+1)^{2}=(x^{2}+1)^{3}$. （
T
）（3）当$x$取任何实数时，$(2x+3)^{0}=1$. （
F
）（4）当$x$取任何实数时，$(x^{2}+1)^{0}=1$. （
T
）答案
(1) F (2) T (3) F (4) T
解析
【分析】
本题主要考查幂的相关运算规则，解题思路如下：
1. 对于同底数幂的乘除运算，先回忆运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，同时要注意除法运算中底数不能为0。
2. 对于零指数幂运算，牢记成立的前提是底数不为0，即$a^0=1(a≠0)$，需要先判断底数是否可能等于0，再判断结论是否成立。
逐个分析4个小题：
（1）考查同底数幂乘法，按法则计算后对比结果即可判断；
（2）考查同底数幂除法，先判断底数恒不为0，再按法则计算验证；
（3）考查零指数幂，判断底数是否存在为0的情况即可；
（4）考查零指数幂，判断底数是否恒不为0即可。
【解析】
（1）根据同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），可得$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5≠x$，因此该说法错误。
（2）根据同底数幂除法法则：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$），由于$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1≠0$，满足底数不为0的要求，计算得$(x^2+1)^5÷(x^2+1)^2=(x^2+1)^{5-2}=(x^2+1)^3$，因此该说法正确。
（3）根据零指数幂的规定：$a^0=1(a≠0)$，当$2x+3=0$即$x=-\frac{3}{2}$时，$(2x+3)^0$无意义，不满足等于1的结论，因此该说法错误。
（4）根据零指数幂的规定，由于$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1≠0$，即对任意实数x，底数都不为0，因此$(x^2+1)^0=1$恒成立，该说法正确。
【答案】
(1)F (2)T (3)F (4)T
【知识点】
同底数幂乘法、同底数幂除法、零指数幂运算
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的适用条件，易错点是忽略零指数幂中底数不能为0的限制，做题时遇到零指数幂要先验证底数的取值范围，避免因忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
本题主要考查幂的相关运算规则，解题思路如下：
1. 对于同底数幂的乘除运算，先回忆运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，同时要注意除法运算中底数不能为0。
2. 对于零指数幂运算，牢记成立的前提是底数不为0，即$a^0=1(a≠0)$，需要先判断底数是否可能等于0，再判断结论是否成立。
逐个分析4个小题：
（1）考查同底数幂乘法，按法则计算后对比结果即可判断；
（2）考查同底数幂除法，先判断底数恒不为0，再按法则计算验证；
（3）考查零指数幂，判断底数是否存在为0的情况即可；
（4）考查零指数幂，判断底数是否恒不为0即可。
【解析】
（1）根据同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），可得$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5≠x$，因此该说法错误。
（2）根据同底数幂除法法则：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$），由于$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1≠0$，满足底数不为0的要求，计算得$(x^2+1)^5÷(x^2+1)^2=(x^2+1)^{5-2}=(x^2+1)^3$，因此该说法正确。
（3）根据零指数幂的规定：$a^0=1(a≠0)$，当$2x+3=0$即$x=-\frac{3}{2}$时，$(2x+3)^0$无意义，不满足等于1的结论，因此该说法错误。
（4）根据零指数幂的规定，由于$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1≠0$，即对任意实数x，底数都不为0，因此$(x^2+1)^0=1$恒成立，该说法正确。
【答案】
(1)F (2)T (3)F (4)T
【知识点】
同底数幂乘法、同底数幂除法、零指数幂运算
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的适用条件，易错点是忽略零指数幂中底数不能为0的限制，做题时遇到零指数幂要先验证底数的取值范围，避免因忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
13. 已知$a^m=3$，$a^n=5$，求：
（1）$a^{m-n}$的值；
（2）$a^{3m-2n}$的值。
（1）$a^{m-n}$的值；
（2）$a^{3m-2n}$的值。
答案
(1) $\dfrac{3}{5}$ (2) $\dfrac{27}{25}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的逆用，解题时先回忆相关运算法则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用可得$a^{m-n}=a^m÷ a^n$；②幂的乘方，底数不变，指数相乘，逆用可得$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$。对于（1），直接将$a^m=3$、$a^n=5$代入逆用的同底数幂除法公式计算即可；对于（2），先将$a^{3m-2n}$变形为$a^{3m}÷ a^{2n}$，再利用幂的乘方的逆用将其转化为含$a^m$、$a^n$的形式，最后代入数值计算。
【解析】
（1）根据同底数幂除法的逆运算：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，
将$a^m=3$，$a^n=5$代入得：
$a^{m-n}=3÷5=\dfrac{3}{5}$。
（2）先将$a^{3m-2n}$变形为同底数幂除法的形式：$a^{3m-2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$，
再根据幂的乘方的逆运算，得$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，
将$a^m=3$，$a^n=5$代入得：
$a^{3m}=(a^m)^3=3^3=27$，$a^{2n}=(a^n)^2=5^2=25$，
因此$a^{3m-2n}=27÷25=\dfrac{27}{25}$。
【答案】
（1）$\dfrac{3}{5}$；（2）$\dfrac{27}{25}$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心是灵活运用幂的运算法则的逆变形，将待求式子转化为用已知条件表示的形式，计算时注意指数运算规则不要混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算性质的逆用，解题时先回忆相关运算法则：①同底数幂相除，底数不变，指数相减，逆用可得$a^{m-n}=a^m÷ a^n$；②幂的乘方，底数不变，指数相乘，逆用可得$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$。对于（1），直接将$a^m=3$、$a^n=5$代入逆用的同底数幂除法公式计算即可；对于（2），先将$a^{3m-2n}$变形为$a^{3m}÷ a^{2n}$，再利用幂的乘方的逆用将其转化为含$a^m$、$a^n$的形式，最后代入数值计算。
【解析】
（1）根据同底数幂除法的逆运算：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，
将$a^m=3$，$a^n=5$代入得：
$a^{m-n}=3÷5=\dfrac{3}{5}$。
（2）先将$a^{3m-2n}$变形为同底数幂除法的形式：$a^{3m-2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$，
再根据幂的乘方的逆运算，得$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，
将$a^m=3$，$a^n=5$代入得：
$a^{3m}=(a^m)^3=3^3=27$，$a^{2n}=(a^n)^2=5^2=25$，
因此$a^{3m-2n}=27÷25=\dfrac{27}{25}$。
【答案】
（1）$\dfrac{3}{5}$；（2）$\dfrac{27}{25}$
【知识点】
同底数幂的除法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心是灵活运用幂的运算法则的逆变形，将待求式子转化为用已知条件表示的形式，计算时注意指数运算规则不要混淆。
【难度系数】
0.8
14. 已知$3x - 8 = (x - 1)^0$，求$x$的值.
答案
$3$
解析
【分析】
解题时首先回忆零指数幂的相关规则：非零数的零次幂等于1，且零指数幂的底数不能为0。首先根据该规则确定方程右侧的取值为1，同时得到x的限制条件，再将原方程转化为一元一次方程求解，最后验证所求的解是否满足底数不为0的要求即可。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0=1(a≠0)$，可得：
1. 底数满足 $x-1≠0$，即 $x≠1$；
2. 方程右侧的值为1，因此原方程可转化为：
$3x - 8 = 1$
移项得：$3x = 1 + 8$
合并同类项得：$3x = 9$
系数化为1得：$x = 3$
验证：当$x=3$时，$x-1=2≠0$，符合零指数幂的底数要求。
【答案】
$3$
【知识点】
零指数幂性质，解一元一次方程，零指数幂有意义的条件
【点评】
本题重点考察零指数幂的相关性质，解题的易错点是忽略零指数幂底数不能为0的限制条件，求出方程的解后要注意验证是否符合底数非零的要求，避免得到错误的增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆零指数幂的相关规则：非零数的零次幂等于1，且零指数幂的底数不能为0。首先根据该规则确定方程右侧的取值为1，同时得到x的限制条件，再将原方程转化为一元一次方程求解，最后验证所求的解是否满足底数不为0的要求即可。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0=1(a≠0)$，可得：
1. 底数满足 $x-1≠0$，即 $x≠1$；
2. 方程右侧的值为1，因此原方程可转化为：
$3x - 8 = 1$
移项得：$3x = 1 + 8$
合并同类项得：$3x = 9$
系数化为1得：$x = 3$
验证：当$x=3$时，$x-1=2≠0$，符合零指数幂的底数要求。
【答案】
$3$
【知识点】
零指数幂性质，解一元一次方程，零指数幂有意义的条件
【点评】
本题重点考察零指数幂的相关性质，解题的易错点是忽略零指数幂底数不能为0的限制条件，求出方程的解后要注意验证是否符合底数非零的要求，避免得到错误的增根。
【难度系数】
0.7
15. 规定两个非零数$a$，$b$之间的一种运算，记作$a※b$：如果$a^{k}=b$，那么$a※b = k$.例如：
因为$2^{3}=8$，所以$2※8 = 3$；因为$(-3)^{-2}=\frac{1}{9}$，所以$(-3)※\frac{1}{9}=-2$.
根据上述规定，解答下列问题：
(1) $4※16=$
(2) 已知$x※1 = 3x - 1$，求$x$的值.
因为$2^{3}=8$，所以$2※8 = 3$；因为$(-3)^{-2}=\frac{1}{9}$，所以$(-3)※\frac{1}{9}=-2$.
根据上述规定，解答下列问题：
(1) $4※16=$
$2$
，$3※\frac{1}{27}=$$-3$
；(2) 已知$x※1 = 3x - 1$，求$x$的值.
答案
(1) 2 $-3$ (2) $x=\dfrac{1}{3}$ 或1或$-1$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先理解新运算的规则：$a※b=k$等价于$a^k=b$，需将新运算转化为已学的乘方运算求解。
（1）针对第一小问，只需分别找出4的多少次方等于16、3的多少次方等于$\frac{1}{27}$，对应得到的指数就是所求结果。
（2）针对第二小问，先根据新定义将$x※1 = 3x - 1$转化为乘方等式$x^{3x-1}=1$，且$x$是非零数（题目规定运算的两个数为非零数），再分三种情况讨论乘方结果为1的情形：①非零数的0次幂为1；②1的任意次幂为1；③-1的偶次幂为1，分别求解并验证即可。
【解析】
（1）因为$4^2=16$，根据新运算规则可得$4※16=2$；
因为$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$，所以$3※\frac{1}{27}=-3$。
（2）根据新运算定义，由$x※1 = 3x - 1$可得：$x^{3x-1}=1$，且$x≠0$，分以下三种情况讨论：
① 当指数为0，底数不为0时，幂的值为1：
令$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，此时底数$x=\frac{1}{3}≠0$，符合要求；
② 当底数为1时，1的任意次幂均为1：
令$x=1$，代入得$1^{3×1-1}=1^2=1$，符合要求；
③ 当底数为-1时，-1的偶次幂为1：
令$x=-1$，代入得$(-1)^{3×(-1)-1}=(-1)^{-4}=1$，指数$-4$是偶数，符合要求。
综上，$x$的值为$\frac{1}{3}$、$1$、$-1$。
【答案】
(1) $2$，$-3$；(2) $x=\dfrac{1}{3}$ 或1或$-1$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，零指数幂性质
【点评】
本题重点考查新运算的转化能力和分类讨论思想，解题关键是将陌生的新运算转化为熟悉的乘方运算，第二问需要全面考虑乘方结果为1的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算类题目，解题核心是先理解新运算的规则：$a※b=k$等价于$a^k=b$，需将新运算转化为已学的乘方运算求解。
（1）针对第一小问，只需分别找出4的多少次方等于16、3的多少次方等于$\frac{1}{27}$，对应得到的指数就是所求结果。
（2）针对第二小问，先根据新定义将$x※1 = 3x - 1$转化为乘方等式$x^{3x-1}=1$，且$x$是非零数（题目规定运算的两个数为非零数），再分三种情况讨论乘方结果为1的情形：①非零数的0次幂为1；②1的任意次幂为1；③-1的偶次幂为1，分别求解并验证即可。
【解析】
（1）因为$4^2=16$，根据新运算规则可得$4※16=2$；
因为$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$，所以$3※\frac{1}{27}=-3$。
（2）根据新运算定义，由$x※1 = 3x - 1$可得：$x^{3x-1}=1$，且$x≠0$，分以下三种情况讨论：
① 当指数为0，底数不为0时，幂的值为1：
令$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，此时底数$x=\frac{1}{3}≠0$，符合要求；
② 当底数为1时，1的任意次幂均为1：
令$x=1$，代入得$1^{3×1-1}=1^2=1$，符合要求；
③ 当底数为-1时，-1的偶次幂为1：
令$x=-1$，代入得$(-1)^{3×(-1)-1}=(-1)^{-4}=1$，指数$-4$是偶数，符合要求。
综上，$x$的值为$\frac{1}{3}$、$1$、$-1$。
【答案】
(1) $2$，$-3$；(2) $x=\dfrac{1}{3}$ 或1或$-1$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，零指数幂性质
【点评】
本题重点考查新运算的转化能力和分类讨论思想，解题关键是将陌生的新运算转化为熟悉的乘方运算，第二问需要全面考虑乘方结果为1的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
