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1.【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数?
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2+b^2=c^2$的过程；
(2)如果满足等式$a^2+b^2=c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,证明:$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数；
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
(4)请写出任意一组含有85的勾股数:
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2+4n+4$($n$为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^2+b^2=c^2$的过程；
(2)如果满足等式$a^2+b^2=c^2$的$a,b,c$是三个正整数,我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$,证明:$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数；
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为
48
；(4)请写出任意一组含有85的勾股数:
85,3612,3613(答案不唯一)
；(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^2+4n+4$($n$为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是
2n²+4n
,4n+4
.答案
1.(1)解:如答图.
第1题答图
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$,
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$,
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)证明:$\because (2mn)^2=4m^2n^2,(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2$,
$\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2=(m^2+n^2)^2$.
$\because m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)48
(4)85,3612,3613(答案不唯一)
(5)$2n^2+4n$ $4n+4$
第1题答图
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ABDN}+S_{正方形MDEF}+S_{△ MFG}+S_{△ ANG}=b^2+a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$,
$S_{五边形ABEFG}=S_{正方形ACFG}+S_{△ ABC}+S_{△ CEF}=c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^2+ab$,
$\therefore a^2+b^2+ab=c^2+ab,\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)证明:$\because (2mn)^2=4m^2n^2,(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2$,
$\therefore (2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2=(m^2+n^2)^2$.
$\because m,n$是正整数且$m＞n$,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$都是正整数,
$\therefore 2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数.
(3)48
(4)85,3612,3613(答案不唯一)
(5)$2n^2+4n$ $4n+4$
解析
【分析】
（1）利用“同一图形用不同方法计算面积结果相等”的思路推导勾股定理：第一种将五边形拆分为两个小正方形加2个全等直角三角形，第二种拆分为边长为c的正方形加2个全等直角三角形，两个面积表达式相等后消去公共项即可得到勾股定理公式。
（2）判定勾股数需要满足两个条件：一是三个数都是正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此计算验证即可。
（3）空白部分面积等于边长为c的正方形面积减去2个直角三角形的面积，先通过勾股定理求出$c^2$，再代入a、b的数值计算即可。
（4）找含85的勾股数时，可将85看作较小的勾股数，利用“若a为奇数，则$a,\frac{a^2-1}{2},\frac{a^2+1}{2}$是勾股数”的规律计算，也可将85看作最大数找符合条件的两个正整数。
（5）已知勾股数中最大数的表达式，将其平方后拆分为两个正整数的平方和，整理即可得到另外两个数的表达式。
【解析】
(1) 方法1：将五边形ABEFG拆分为边长为b的正方形、边长为a的正方形和2个全等直角三角形
$S_{五边形ABEFG}=b^2+a^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
方法2：将五边形ABEFG拆分为边长为c的正方形和2个全等直角三角形
$S_{五边形ABEFG}=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
因为两个表达式均为五边形的面积，故$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，两边同时减ab得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 计算两个较小数的平方和：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4$
计算最大数的平方：
$(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$
故$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=(m^2+n^2)^2$。
又因为m、n是正整数且$m＞n$，故$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$均为正整数，符合勾股数定义，因此这三个数是勾股数。
(3) 已知$a=4,b=8$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2=4^2+8^2=80$
空白部分面积$=c^2-2×\frac{1}{2}ab=80-4×8=48$。
(4) 示例：把85看作较小勾股数，设最大数为x，另一个数为$x-1$，则$85^2+(x-1)^2=x^2$，解得$x=3613$，$x-1=3612$，即勾股数为85,3612,3613（答案不唯一）。
(5) 计算最大数的平方：$(2n^2+4n+4)^2=4n^4+16n^3+32n^2+32n+16$
拆分验证：$(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2=4n^4+16n^3+16n^2+16n^2+32n+16=(2n^2+4n+4)^2$，故另外两个数为$2n^2+4n$和$4n+4$。
【答案】
(1) 推导过程见解析，可证$a^2+b^2=c^2$；
(2) 证明过程见解析，可证$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数；
(3) $\boxed{48}$
(4) $\boxed{85,3612,3613}$（答案不唯一）
(5) $\boxed{2n^2+4n}$；$\boxed{4n+4}$
【知识点】
勾股定理的证明、勾股数、面积法求面积
【点评】
本题以拼图探究为载体，综合考查了勾股定理的验证、勾股数的判定和应用，既强化了面积法解决几何问题的思路，也锻炼了代数运算和规律探究的能力，题目梯度设置合理，兼顾基础和拓展性。
【难度系数】
0.65
（1）利用“同一图形用不同方法计算面积结果相等”的思路推导勾股定理：第一种将五边形拆分为两个小正方形加2个全等直角三角形，第二种拆分为边长为c的正方形加2个全等直角三角形，两个面积表达式相等后消去公共项即可得到勾股定理公式。
（2）判定勾股数需要满足两个条件：一是三个数都是正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此计算验证即可。
（3）空白部分面积等于边长为c的正方形面积减去2个直角三角形的面积，先通过勾股定理求出$c^2$，再代入a、b的数值计算即可。
（4）找含85的勾股数时，可将85看作较小的勾股数，利用“若a为奇数，则$a,\frac{a^2-1}{2},\frac{a^2+1}{2}$是勾股数”的规律计算，也可将85看作最大数找符合条件的两个正整数。
（5）已知勾股数中最大数的表达式，将其平方后拆分为两个正整数的平方和，整理即可得到另外两个数的表达式。
【解析】
(1) 方法1：将五边形ABEFG拆分为边长为b的正方形、边长为a的正方形和2个全等直角三角形
$S_{五边形ABEFG}=b^2+a^2+2×\frac{1}{2}ab=a^2+b^2+ab$
方法2：将五边形ABEFG拆分为边长为c的正方形和2个全等直角三角形
$S_{五边形ABEFG}=c^2+2×\frac{1}{2}ab=c^2+ab$
因为两个表达式均为五边形的面积，故$a^2+b^2+ab=c^2+ab$，两边同时减ab得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 计算两个较小数的平方和：
$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4$
计算最大数的平方：
$(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4$
故$(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=(m^2+n^2)^2$。
又因为m、n是正整数且$m＞n$，故$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$均为正整数，符合勾股数定义，因此这三个数是勾股数。
(3) 已知$a=4,b=8$，由勾股定理得$c^2=a^2+b^2=4^2+8^2=80$
空白部分面积$=c^2-2×\frac{1}{2}ab=80-4×8=48$。
(4) 示例：把85看作较小勾股数，设最大数为x，另一个数为$x-1$，则$85^2+(x-1)^2=x^2$，解得$x=3613$，$x-1=3612$，即勾股数为85,3612,3613（答案不唯一）。
(5) 计算最大数的平方：$(2n^2+4n+4)^2=4n^4+16n^3+32n^2+32n+16$
拆分验证：$(2n^2+4n)^2+(4n+4)^2=4n^4+16n^3+16n^2+16n^2+32n+16=(2n^2+4n+4)^2$，故另外两个数为$2n^2+4n$和$4n+4$。
【答案】
(1) 推导过程见解析，可证$a^2+b^2=c^2$；
(2) 证明过程见解析，可证$2mn,m^2-n^2,m^2+n^2$是勾股数；
(3) $\boxed{48}$
(4) $\boxed{85,3612,3613}$（答案不唯一）
(5) $\boxed{2n^2+4n}$；$\boxed{4n+4}$
【知识点】
勾股定理的证明、勾股数、面积法求面积
【点评】
本题以拼图探究为载体，综合考查了勾股定理的验证、勾股数的判定和应用，既强化了面积法解决几何问题的思路，也锻炼了代数运算和规律探究的能力，题目梯度设置合理，兼顾基础和拓展性。
【难度系数】
0.65
