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6. 如图,一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点 A 处,一只苍蝇在这个长方体的对角顶点 G 处,若 $ AB=3\ \mathrm{cm},BC=5\ \mathrm{cm},BF=6\ \mathrm{cm} $,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行,才能最快抓到苍蝇?这时蜘蛛走过的路程是多少厘米?
答案
6.解:方案一:如答图①,当蜘蛛从点A出发经过EF(或DC)到点G时,连接AG,
∵BC=5 cm,
∴FG=BC=5 cm,又BF=6 cm,
∴BG=FG+BF=5+6=11(cm).
在Rt△ABG中,AG=$\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{3^2+11^2}=$$\sqrt{130}$(cm).
方案二:如答图②,当蜘蛛从点A出发经过BF(或DH)到点G时,连接AG,
∵AB=3 cm,BC=5 cm,
∴AC=AB+BC=3+5=8(cm).
∵BF=6 cm,
∴CG=BF=6 cm.
在Rt△ACG中,AG=$\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{8^2+6^2}=$10(cm).
方案三:如答图③,当蜘蛛从点A出发经过BC(或EH)到点G时,连接AG,
∵AB=3 cm,BF=6 cm,
∴AF=AB+BF=3+6=9(cm).
∵BC=5 cm,
∴FG=BC=5 cm.
在Rt△AFG中,AG=$\sqrt{AF^2+FG^2}=\sqrt{9^2+5^2}=$$\sqrt{106}$(cm).
∵$\sqrt{130}＞\sqrt{106}＞10$,
∴蜘蛛要沿着方案二的路线爬行,才能最快抓到苍蝇,这时蜘蛛走过的路程是10 cm.
解析
【分析】
要解决长方体表面两点的最短爬行路径问题，依据“两点之间，线段最短”的原理，需先将长方体的表面展开为平面图形，把立体表面的弯曲路径转化为平面内A、G两点间的线段长度。由于长方体共有三种不同的表面展开方式，因此要分类计算每种展开方式下AG的长度，再通过比较大小确定最短路径。
【解析】
解：分三种方案计算爬行路程：
方案一：如答图①，当蜘蛛从点A出发经过EF（或DC）到点G时，连接AG，
∵BC=5 cm，
∴FG=BC=5 cm，又BF=6 cm，
∴BG=FG+BF=5+6=11(cm)。
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{3^2+11^2}=\sqrt{130}\ \mathrm{cm}$。
方案二：如答图②，当蜘蛛从点A出发经过BF（或DH）到点G时，连接AG，
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
∴AC=AB+BC=3+5=8(cm)。
∵BF=6 cm，
∴CG=BF=6 cm。
在Rt△ACG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
方案三：如答图③，当蜘蛛从点A出发经过BC（或EH）到点G时，连接AG，
∵AB=3 cm，BF=6 cm，
∴AF=AB+BF=3+6=9(cm)。
∵BC=5 cm，
∴FG=BC=5 cm。
在Rt△AFG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AF^2+FG^2}=\sqrt{9^2+5^2}=\sqrt{106}\ \mathrm{cm}$。
∵$\sqrt{130}＞\sqrt{106}＞10$，
∴蜘蛛选择方案二的路线爬行路程最短，能最快抓到苍蝇。
【答案】
蜘蛛沿着从A出发经过BF（或DH）到G的路线爬行最快，这时走过的路程是10 cm。
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 勾股定理
3. 长方体表面展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，核心解题思路是将立体图形展开为平面图形，把空间路径转化为平面内两点间的线段长度求解，解题时需注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决长方体表面两点的最短爬行路径问题，依据“两点之间，线段最短”的原理，需先将长方体的表面展开为平面图形，把立体表面的弯曲路径转化为平面内A、G两点间的线段长度。由于长方体共有三种不同的表面展开方式，因此要分类计算每种展开方式下AG的长度，再通过比较大小确定最短路径。
【解析】
解：分三种方案计算爬行路程：
方案一：如答图①，当蜘蛛从点A出发经过EF（或DC）到点G时，连接AG，
∵BC=5 cm，
∴FG=BC=5 cm，又BF=6 cm，
∴BG=FG+BF=5+6=11(cm)。
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{3^2+11^2}=\sqrt{130}\ \mathrm{cm}$。
方案二：如答图②，当蜘蛛从点A出发经过BF（或DH）到点G时，连接AG，
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
∴AC=AB+BC=3+5=8(cm)。
∵BF=6 cm，
∴CG=BF=6 cm。
在Rt△ACG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
方案三：如答图③，当蜘蛛从点A出发经过BC（或EH）到点G时，连接AG，
∵AB=3 cm，BF=6 cm，
∴AF=AB+BF=3+6=9(cm)。
∵BC=5 cm，
∴FG=BC=5 cm。
在Rt△AFG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AF^2+FG^2}=\sqrt{9^2+5^2}=\sqrt{106}\ \mathrm{cm}$。
∵$\sqrt{130}＞\sqrt{106}＞10$，
∴蜘蛛选择方案二的路线爬行路程最短，能最快抓到苍蝇。
【答案】
蜘蛛沿着从A出发经过BF（或DH）到G的路线爬行最快，这时走过的路程是10 cm。
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 勾股定理
3. 长方体表面展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，核心解题思路是将立体图形展开为平面图形，把空间路径转化为平面内两点间的线段长度求解，解题时需注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况导致判断错误。
【难度系数】
0.7
7.(2025·苏州期中)如图,在长方形ABCD中,AB=6,E是一个动点,且△CDE的面积始终等于长方形ABCD面积的四分之一.若EA+EB的最小值为10,则△CED的面积是 (
A.10
B.12
C.14
D.16
B
)A.10
B.12
C.14
D.16
答案
7.B
解析
【分析】首先根据△CDE与长方形ABCD的面积关系，确定动点E的运动轨迹为长方形的竖直中线；再利用将军饮马最短路径模型，通过作对称点将EA+EB的和转化为两点间的线段长，结合勾股定理求出长方形的边长BC，最后计算△CED的面积即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=6，设BC的长为$x$，则长方形ABCD的面积为$AB·BC=6x$。
△CDE以CD为底，设E到CD的距离为$h$，则$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×CD×h=3h$。
由题意$S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{长方形ABCD}$，代入得$3h=\frac{1}{4}×6x$，化简得$h=\frac{x}{2}$，即E点在长方形的竖直中线上（该直线到点B、C的距离相等）。
根据将军饮马模型，作点B关于该中线的对称点，由对称性可知点B的对称点为点C，因此$EA+EB=EA+EC$，当A、E、C三点共线时，$EA+EC$取得最小值，即线段AC的长度，由题知最小值为10，故$AC=10$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
则长方形ABCD的面积为$6×8=48$，因此$S_{△ CDE}=\frac{1}{4}×48=12$。
【答案】B
【知识点】最短路径问题，勾股定理，面积计算
【点评】本题是几何综合题，解题核心是先通过面积关系确定动点轨迹，再利用对称转化线段和，最终结合勾股定理求解，对学生的转化思维有一定要求。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=6，设BC的长为$x$，则长方形ABCD的面积为$AB·BC=6x$。
△CDE以CD为底，设E到CD的距离为$h$，则$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×CD×h=3h$。
由题意$S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{长方形ABCD}$，代入得$3h=\frac{1}{4}×6x$，化简得$h=\frac{x}{2}$，即E点在长方形的竖直中线上（该直线到点B、C的距离相等）。
根据将军饮马模型，作点B关于该中线的对称点，由对称性可知点B的对称点为点C，因此$EA+EB=EA+EC$，当A、E、C三点共线时，$EA+EC$取得最小值，即线段AC的长度，由题知最小值为10，故$AC=10$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
则长方形ABCD的面积为$6×8=48$，因此$S_{△ CDE}=\frac{1}{4}×48=12$。
【答案】B
【知识点】最短路径问题，勾股定理，面积计算
【点评】本题是几何综合题，解题核心是先通过面积关系确定动点轨迹，再利用对称转化线段和，最终结合勾股定理求解，对学生的转化思维有一定要求。
【难度系数】0.6
8. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC=13$,$BC=10$,$EF$垂直平分$AC$,分别交$AC$,$AB$于点$E$,$F$.
若$D$为$BC$上一动点,$M$为$EF$上一动点,则$CM+DM$的最小值为 （
A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$13$
若$D$为$BC$上一动点,$M$为$EF$上一动点,则$CM+DM$的最小值为 （
C
）A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$13$
答案
8.C
解析
【分析】
这是一道几何最短路径问题，解题思路如下：1. 先利用垂直平分线的性质转化线段：EF是AC的垂直平分线，因此EF上任意点M到A、C的距离相等，即CM=AM，可将所求CM+DM转化为AM+DM；2. 转化后问题变为求点A到BC上点D的最短距离，根据垂线段最短，可知等腰△ABC底边BC上的高就是这个最小值；3. 最后利用勾股定理计算出高的长度即可。
【解析】
解：
∵EF垂直平分AC，点M在EF上
∴MA=MC（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴CM+DM=AM+DM
要使AM+DM的值最小，根据两点之间线段最短及垂线段最短，当A、M、D三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM=AD为最小值。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=5（等腰三角形三线合一）
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
即CM+DM的最小值为12。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题考查几何最值的求解，解题关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等价转化，再结合垂线段最短确定最值对应的位置，最后用勾股定理计算，是几何中较为典型的综合题型。
【难度系数】
0.7
这是一道几何最短路径问题，解题思路如下：1. 先利用垂直平分线的性质转化线段：EF是AC的垂直平分线，因此EF上任意点M到A、C的距离相等，即CM=AM，可将所求CM+DM转化为AM+DM；2. 转化后问题变为求点A到BC上点D的最短距离，根据垂线段最短，可知等腰△ABC底边BC上的高就是这个最小值；3. 最后利用勾股定理计算出高的长度即可。
【解析】
解：
∵EF垂直平分AC，点M在EF上
∴MA=MC（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴CM+DM=AM+DM
要使AM+DM的值最小，根据两点之间线段最短及垂线段最短，当A、M、D三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM=AD为最小值。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=5（等腰三角形三线合一）
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
即CM+DM的最小值为12。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题考查几何最值的求解，解题关键是利用垂直平分线的性质完成线段的等价转化，再结合垂线段最短确定最值对应的位置，最后用勾股定理计算，是几何中较为典型的综合题型。
【难度系数】
0.7
9.(2025·金坛区期中)如图,正方形ABCD的边长是2,E是BC的中点,P是对角线AC上的一个动点,则$PB+PE$的最小值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
9.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 首先明确正方形的对角线AC是它的一条对称轴，点B关于AC的对称点为点D；2. 根据轴对称的性质，对称轴上的点P到两个对称点的距离相等，即PB=PD，因此可将待求的PB+PE转化为PD+PE；3. 根据“两点之间线段最短”，可知当D、P、E三点共线时，PD+PE的和最小，最小值即为线段DE的长度，最后利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于对角线AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE。
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PD+PE取得最小值，最小值为线段DE的长度。
∵正方形边长为2，E是BC的中点，
∴CD=2，CE=½BC=1，∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE=√(CD² + CE²)=√(2² + 1²)=√5，
即PB+PE的最小值为√5。
【答案】
√5
【知识点】
轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是将军饮马模型在正方形中的典型应用，解题的核心是利用正方形的轴对称性将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算，能够很好地考查学生对几何最值问题的转化思维能力。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 首先明确正方形的对角线AC是它的一条对称轴，点B关于AC的对称点为点D；2. 根据轴对称的性质，对称轴上的点P到两个对称点的距离相等，即PB=PD，因此可将待求的PB+PE转化为PD+PE；3. 根据“两点之间线段最短”，可知当D、P、E三点共线时，PD+PE的和最小，最小值即为线段DE的长度，最后利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于对角线AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE。
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，PD+PE取得最小值，最小值为线段DE的长度。
∵正方形边长为2，E是BC的中点，
∴CD=2，CE=½BC=1，∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE=√(CD² + CE²)=√(2² + 1²)=√5，
即PB+PE的最小值为√5。
【答案】
√5
【知识点】
轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是将军饮马模型在正方形中的典型应用，解题的核心是利用正方形的轴对称性将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算，能够很好地考查学生对几何最值问题的转化思维能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$,$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$,
$E,F$分别是$AD,AC$上的动点,则$CE+EF$的最小值为$\underline{\hspace{3em}}$.
$E,F$分别是$AD,AC$上的动点,则$CE+EF$的最小值为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
10.$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
本题是求两条线段和的最小值问题，解题思路如下：①首先回忆最短路径问题的常用解法：通过轴对称转化线段，将两条线段的和转化为点到点或点到线的距离；②题中AD是∠CAB的角平分线，角平分线所在直线是角的对称轴，因此可将AC上的点F关于AD作对称，对称点F'必然落在AB上，此时EF=EF'，则CE+EF可转化为CE+EF'；③要让CE+EF'最小，根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当C、E、F'三点共线且CF'垂直AB时，CF'的长度就是CE+EF的最小值，最后用面积法计算这个垂线段的长度即可。
【解析】
解：在AB上取点F'，使AF'=AF。
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE=∠F'AE，
又
∵AE=AE，AF=AF'，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'，
∴CE+EF=CE+EF'。
要使CE+EF的值最小，需CE+EF'最小，根据垂线段最短，当CF'⊥AB且C、E、F'三点共线时，CE+EF'取得最小值，即为点C到AB的垂线段长度。
设Rt△ABC斜边AB上的高为h，
由三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·h$，
代入AC=3，BC=4，AB=5，得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×h$，
解得$h=\frac{12}{5}$，
即CE+EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题将角平分线的对称性、最短路径模型和三角形面积计算结合考查，解题的核心是利用角平分线的对称性将线段EF转化为EF'，把两条线段的和转化为点到直线的距离，再用面积法求解，需要熟练掌握最短路径问题的转化思路。
【难度系数】
0.6
本题是求两条线段和的最小值问题，解题思路如下：①首先回忆最短路径问题的常用解法：通过轴对称转化线段，将两条线段的和转化为点到点或点到线的距离；②题中AD是∠CAB的角平分线，角平分线所在直线是角的对称轴，因此可将AC上的点F关于AD作对称，对称点F'必然落在AB上，此时EF=EF'，则CE+EF可转化为CE+EF'；③要让CE+EF'最小，根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当C、E、F'三点共线且CF'垂直AB时，CF'的长度就是CE+EF的最小值，最后用面积法计算这个垂线段的长度即可。
【解析】
解：在AB上取点F'，使AF'=AF。
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE=∠F'AE，
又
∵AE=AE，AF=AF'，
∴△AEF≌△AEF'（SAS），
∴EF=EF'，
∴CE+EF=CE+EF'。
要使CE+EF的值最小，需CE+EF'最小，根据垂线段最短，当CF'⊥AB且C、E、F'三点共线时，CE+EF'取得最小值，即为点C到AB的垂线段长度。
设Rt△ABC斜边AB上的高为h，
由三角形面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·h$，
代入AC=3，BC=4，AB=5，得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×h$，
解得$h=\frac{12}{5}$，
即CE+EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题将角平分线的对称性、最短路径模型和三角形面积计算结合考查，解题的核心是利用角平分线的对称性将线段EF转化为EF'，把两条线段的和转化为点到直线的距离，再用面积法求解，需要熟练掌握最短路径问题的转化思路。
【难度系数】
0.6
11. 2024年某文化旅游品牌活动在青秀山风景区拉开帷幕，大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴.如图，在地图上A，B两站的直线距离为25 km，C，D分别为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且$DA⊥AB$于点A，$CB⊥AB$于点B.已知$DA=15\ \mathrm{km}$，$CB=10\ \mathrm{km}$，现在小明要在直线AB上找到地点E.
(1)若要使得C，D两地到地点E的距离相等，则地点E应在距离A站多少千米处？
(2)若要使得地点E到C，D两地的距离之和最小，则地点E应在距离A站多少千米处？
(1)若要使得C，D两地到地点E的距离相等，则地点E应在距离A站多少千米处？
(2)若要使得地点E到C，D两地的距离之和最小，则地点E应在距离A站多少千米处？
答案
11.解:(1)
∵要使得C,D两地到地点E的距离相等，
∴DE=CE.
∵DA⊥AB,CB⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,
∴AE²+AD²=DE²,BE²+BC²=CE²,
∴AE²+AD²=BE²+BC².
设AE=x km,则BE=AB−AE=(25−x)km.
∵DA=15 km,CB=10 km,
∴x²+15²=(25−x)²+10²,解得x=10,
∴AE=10 km,则地点E应在距离A站10 km处.
(2)如答图,作点D关于AB的对称点D',连接CD'交AB于点E',则点E'到C,D两地的距离之和最小,过点D'作D'F⊥CB交CB的延长线于点F,连接DE'.
则∠F=90°,D'F=AB=25 km,CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25 km,
∴D'F=CF.
∵E'D=E'D',
∴E'C+E'D的最小值即为CD',此时∠BCE'=45°,
∴∠AE'D'=∠CE'B=45°,
∴∠AE'D=∠AE'D'=45°,
∴AE'=AD=15 km.
即要使得地点E到C,D两地的距离之和最小,则地点E应在距离A站15 km处.
解析
【分析】
(1) 要使C、D两地到E的距离相等，即DE=CE，已知DA⊥AB、CB⊥AB，△DAE和△CBE均为直角三角形，可根据勾股定理分别表示DE²和CE²，令二者相等列方程求解。设AE为x km，则BE为(25-x)km，代入已知边长解方程即可得到结果。
(2) 要使E到C、D的距离之和最小，属于“将军饮马”最短路径问题，解题思路是作点D关于AB的对称点D'，将DE+CE转化为D'E+CE，根据两点之间线段最短，连接CD'与AB的交点即为所求E点，再构造直角三角形结合边长关系求出AE的长度即可。
【解析】
(1) 要使得C，D两地到地点E的距离相等，故$DE=CE$。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，
根据勾股定理可得：$AE^2+AD^2=DE^2$，$BE^2+BC^2=CE^2$，
$\therefore AE^2+AD^2=BE^2+BC^2$。
设$AE=x\ \mathrm{km}$，则$BE=AB-AE=(25-x)\ \mathrm{km}$，已知$DA=15\ \mathrm{km}$，$CB=10\ \mathrm{km}$，代入得：
$x^2+15^2=(25-x)^2+10^2$
展开化简得$50x=500$，解得$x=10$，即$AE=10\ \mathrm{km}$。
(2) 作点D关于AB的对称点$D'$，连接$CD'$交AB于点$E'$，则点$E'$到C，D两地的距离之和最小，过点$D'$作$D'F⊥ CB$交CB的延长线于点F，连接$DE'$。
则$∠ F=90°$，$D'F=AB=25\ \mathrm{km}$，$CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25\ \mathrm{km}$，
$\therefore D'F=CF$，$△ CFD'$为等腰直角三角形，$∠ BCE'=45°$，
$\therefore ∠ AE'D'=∠ CE'B=45°$，
由轴对称性质得$∠ AE'D=∠ AE'D'=45°$，
$\therefore △ DAE'$为等腰直角三角形，$AE'=AD=15\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 地点E应在距离A站10 km处；
(2) 地点E应在距离A站15 km处。
【知识点】
勾股定理，轴对称的性质，最短路径问题
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了利用勾股定理列方程求解线段长度的方法，也考查了“将军饮马”最短路径模型的应用，需要学生掌握几何转化思想和方程思想，能较好地考查几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要使C、D两地到E的距离相等，即DE=CE，已知DA⊥AB、CB⊥AB，△DAE和△CBE均为直角三角形，可根据勾股定理分别表示DE²和CE²，令二者相等列方程求解。设AE为x km，则BE为(25-x)km，代入已知边长解方程即可得到结果。
(2) 要使E到C、D的距离之和最小，属于“将军饮马”最短路径问题，解题思路是作点D关于AB的对称点D'，将DE+CE转化为D'E+CE，根据两点之间线段最短，连接CD'与AB的交点即为所求E点，再构造直角三角形结合边长关系求出AE的长度即可。
【解析】
(1) 要使得C，D两地到地点E的距离相等，故$DE=CE$。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，
根据勾股定理可得：$AE^2+AD^2=DE^2$，$BE^2+BC^2=CE^2$，
$\therefore AE^2+AD^2=BE^2+BC^2$。
设$AE=x\ \mathrm{km}$，则$BE=AB-AE=(25-x)\ \mathrm{km}$，已知$DA=15\ \mathrm{km}$，$CB=10\ \mathrm{km}$，代入得：
$x^2+15^2=(25-x)^2+10^2$
展开化简得$50x=500$，解得$x=10$，即$AE=10\ \mathrm{km}$。
(2) 作点D关于AB的对称点$D'$，连接$CD'$交AB于点$E'$，则点$E'$到C，D两地的距离之和最小，过点$D'$作$D'F⊥ CB$交CB的延长线于点F，连接$DE'$。
则$∠ F=90°$，$D'F=AB=25\ \mathrm{km}$，$CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25\ \mathrm{km}$，
$\therefore D'F=CF$，$△ CFD'$为等腰直角三角形，$∠ BCE'=45°$，
$\therefore ∠ AE'D'=∠ CE'B=45°$，
由轴对称性质得$∠ AE'D=∠ AE'D'=45°$，
$\therefore △ DAE'$为等腰直角三角形，$AE'=AD=15\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) 地点E应在距离A站10 km处；
(2) 地点E应在距离A站15 km处。
【知识点】
勾股定理，轴对称的性质，最短路径问题
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了利用勾股定理列方程求解线段长度的方法，也考查了“将军饮马”最短路径模型的应用，需要学生掌握几何转化思想和方程思想，能较好地考查几何知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
