1. 如图,在底面周长为3米的华表上,有一条雕龙从柱底向柱顶(从点A到点B)均匀地盘绕3圈,每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米,则石柱上的雕龙有 （）

A.$3\sqrt{17}$米
B.20米
C.15米
D.$9\sqrt{2}$米

1.C

【分析】
本题是立体图形上的最短路径问题，解题思路是将立体图形转化为平面图形求解：首先把华表的圆柱侧面展开成平面长方形，雕龙盘绕3圈，展开后对应长方形的长为3倍底面周长，宽为柱身高度，雕龙的长度就是展开后长方形对角线的长度，最后用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
将华表的圆柱侧面沿AB展开，因为雕龙均匀盘绕3圈：
1. 计算展开后长方形的长：3圈的底面总周长 = $3×3=9$ 米；
2. 展开后长方形的宽 = 雕龙部分柱身高 = 12米；
3. 雕龙的长度即为该长方形的对角线长度，根据勾股定理：
对角线长度 = $\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ 米。
因此石柱上的雕龙长15米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，圆柱侧面展开，最短路径计算
【点评】
本题考查勾股定理的实际应用，核心解题思想是化曲为直，将立体图形的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，解题的关键是准确确定展开后直角三角形两条直角边的长度。
【难度系数】
0.7

2.(2025·宿迁模拟)如图,用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体,沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中,最短路径的长是________.

2.$\sqrt{13}$

【分析】
要解决立体图形表面的最短路径问题，首先需要将立体表面展开为平面图形，依据“两点之间线段最短”，可知连接A、B两点的线段长度就是最短路径的长。接下来只需确定展开后A、B两点所在直角三角形的两条直角边的长度，再用勾股定理计算线段长度即可。观察几何体的构成：由3个棱长为1的小正方体组成，展开包含A、B的相邻面到同一平面后，可得到对应直角三角形，斜边就是所求最短路径。
【解析】
将该几何体的表面展开，使点A和点B所在的平面处于同一平面内，根据两点之间线段最短，此时线段AB的长度即为从A到B的最短路径长。
已知小正方体的棱长为1，展开后得到的直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和2，
根据勾股定理，最短路径长为：
$AB=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
立体图形展开，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，核心解题思想是将立体问题转化为平面问题解决，解题时要注意准确判断展开后直角三角形的边长，避免因展开方式错误导致边长计算失误。
【难度系数】
0.7

3. 如图,圆柱形容器的底面周长是24 cm,高是17 cm,在外侧地面S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇,急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是________cm.

3.20

【分析】
要求圆柱侧面上蜘蛛到苍蝇的最短路径，需先将立体问题转化为平面问题：把圆柱侧面展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，最短路径就是展开图中S、F两点连线的长度。接下来需要确定连线对应的直角三角形的两条直角边长度：水平方向因为两点在圆柱相对位置，所以长度是底面周长的一半；竖直方向是底面到F点的高度，最后用勾股定理计算斜边即可得到最短路径长度。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点S的母线展开，得到长方形：
1. 长方形的长等于圆柱底面周长24cm，因为S和F是圆柱上相对的两点，所以两点的水平距离为底面周长的一半，即$24÷2=12\ \mathrm{cm}$；
2. 圆柱高为17cm，F距上口1cm，所以两点的竖直距离为$17-1=16\ \mathrm{cm}$；
3. 根据勾股定理，最短路径长度为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理的应用
【点评】
本题是曲面最短路径的常规题型，解题核心是运用转化思想，将立体曲面展开为平面，再结合几何性质和勾股定理求解，解题时需注意准确计算两点对应的水平、竖直距离，避免直接用底面周长作为直角边的错误。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在一块长为12米,宽为8米的长方形草地上堆放着一根正三棱柱的木块,它的侧棱平行于场地的宽AD,侧棱的长大于8米,底面是边长为3米的等边三角形,一只蚂蚁从点A处到点C处需要爬行的最短路程是$\underline{\hspace{3em}}$米.

4.17

【分析】
要解决蚂蚁从A到C的最短路程问题，需遵循“两点之间线段最短”的原理，将立体图形的表面展开为平面图形后计算线段长度。首先观察图形：正三棱柱侧棱平行于草地宽AD，因此展开后竖直方向（对应草地宽）长度不变，仍为8米；蚂蚁爬过正三棱柱表面时，展开后横向总长度为原草地长12米加上正三棱柱底面等边三角形的一条边长3米，得到总横向长度后，用勾股定理即可算出最短路径长度。
【解析】
将正三棱柱的侧面展开，把A、C所在的平面铺平为一个长方形：
1. 计算展开后长方形的长：原草地长为12米，正三棱柱底面等边三角形边长为3米，因此展开后长为 $12 + 3 = 15$ 米；
2. 展开后长方形的宽等于原草地的宽，为8米；
3. 根据勾股定理，A到C的最短路程为长方形的对角线长度：
$AC = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$（米）
【答案】
17
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是最短路径的典型应用题，核心是掌握将立体表面展开为平面的转化思想，展开时要准确判断各边长度的变化，再结合勾股定理计算即可求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图①,圆柱形杯子的高为 18 cm,底面周长为 24 cm,在杯内壁离杯底 4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 2 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,为了吃到蜂蜜,蚂蚁从外壁 A 处沿着最短路径到达内壁 B 处.
(1)如图②是杯子的侧面展开图,请在杯沿 CD 上确定一点 P,使蚂蚁沿 A－P－B 路线爬行的距离最短；
(2)结合图形,求出蚂蚁爬行的最短路线长.

5.解:(1)如答图,作点A关于CD的对称点A₁,连接A₁B交CD于点P,点P即为所求.

(2)如答图,连接AP,过点B作BE⊥AC于点E.
由题意,得A₁E=18−4+2=16(cm),BE=$\frac{1}{2}×24=$12(cm),
在Rt△A₁BE中,由勾股定理,得
A₁B=$\sqrt{A_1E^2+BE^2}=\sqrt{16^2+12^2}=$20(cm).
∵AP=A₁P,
∴AP+PB=A₁B,
∴蚂蚁爬行的最短路线长是20 cm.

【分析】
本题是圆柱侧面最短路径问题，解题思路如下：1. 曲面最短路径问题需先转化为平面问题，本题已给出侧面展开图，可直接在平面内分析；2. 第一问要找CD上的点P使A-P-B路径最短，由于路径需经过CD，可利用轴对称将点A转化到CD的另一侧，根据“两点之间线段最短”，连接对称点与B，和CD的交点即为所求P点，此时AP+PB的长度最短；3. 第二问求最短路径长度时，通过作垂线构造直角三角形，先求出两条直角边的长度，再利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
(1) 作点A关于CD的对称点$A_1$，连接$A_1B$，$A_1B$与CD的交点即为所求的点P，原理是轴对称性质可得$AP=A_1P$，此时$AP+PB=A_1P+PB=A_1B$，为最短路径。
(2) 过点B作$BE⊥ AC$于点E，根据题意计算直角边长度：
$A_1E$为A到杯沿距离加杯高减B到杯底距离，即$A_1E=18-4+2=16(\mathrm{cm})$；
A和B在圆柱上相对，所以BE为底面周长的一半，即$BE=\frac{1}{2}×24=12(\mathrm{cm})$；
在$\mathrm{Rt}△ A_1BE$中，由勾股定理得：
$A_1B=\sqrt{A_1E^2+BE^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20(\mathrm{cm})$；
因为$AP=A_1P$，所以$AP+PB=A_1B=20\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 作点A关于CD的对称点$A_1$，连接$A_1B$交CD于点P，点P即为所求，如下图：

(2) 蚂蚁爬行的最短路线长是$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型考题，核心考查转化思想，将曲面问题转化为平面几何问题，通过轴对称把折线路径转化为线段长，再结合勾股定理计算，能有效考查学生的空间转化能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.7