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2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^2$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^2$，从而得到等式$c^2=\frac{1}{2}ab×4+(b - a)^2$，化简，便得到结论$a^2 + b^2 = c^2$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们争先恐后地证明勾股定理，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的$Rt△ ABC$和$Rt△ DEA$如图②放置，其三边长分别为$a,b,c,∠ BAC=∠ DEA = 90°$，显然$BC⊥ AD$.
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形$ABDC$，梯形$AEDC,△ EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)如图③，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 4,AC = 5,BC = 6$，设$BD = x$，求$x$的值.
【方法运用】千百年来，人们争先恐后地证明勾股定理，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的$Rt△ ABC$和$Rt△ DEA$如图②放置，其三边长分别为$a,b,c,∠ BAC=∠ DEA = 90°$，显然$BC⊥ AD$.
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形$ABDC$，梯形$AEDC,△ EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)如图③，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 4,AC = 5,BC = 6$，设$BD = x$，求$x$的值.
答案
2.(1)证明:$\because S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^2,S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b$,
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}(a-b)a,S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$,
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$,
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)解:在$Rt△ ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$.
$\because BD+CD=BC=6$,
$\therefore CD=BC-BD=6-x$.
在$Rt△ ACD$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2$,
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2,\therefore x=\frac{9}{4}$.
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}(a-b)a,S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$,
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$,
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)解:在$Rt△ ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$.
$\because BD+CD=BC=6$,
$\therefore CD=BC-BD=6-x$.
在$Rt△ ACD$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2$,
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2,\therefore x=\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1) 本小问利用“双求法”证明勾股定理：首先分别计算三个指定图形的面积，再根据图形的面积和差关系得到三个面积的等量关系式，将面积表达式代入关系式后化简，即可推导出勾股定理。
(2) 本小问利用公共边建立方程求解：AD是两个直角三角形的公共直角边，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中用勾股定理表示出AD²，根据AD²相等列方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 证明：
由题意得，$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^2$，
$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b$，
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}(a-b)a$，
根据图形面积关系可得：$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$，
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$，
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab$，
化简得：$a^2+b^2=c^2$。
(2) 解：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理，得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$，
$\because BD+CD=BC=6$，
$\therefore CD=BC-BD=6-x$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理，得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2$，
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2$，
解得：$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立，可得$a^2+b^2=c^2$；
(2) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用，面积法
【点评】
本题围绕勾股定理展开，既考查了勾股定理的推导过程，也考查了勾股定理的实际应用，核心方法是“双求法”，即通过同一个量的两种不同表达建立等式，解题时需要准确找到等量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问利用“双求法”证明勾股定理：首先分别计算三个指定图形的面积，再根据图形的面积和差关系得到三个面积的等量关系式，将面积表达式代入关系式后化简，即可推导出勾股定理。
(2) 本小问利用公共边建立方程求解：AD是两个直角三角形的公共直角边，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中用勾股定理表示出AD²，根据AD²相等列方程，解方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 证明：
由题意得，$S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^2$，
$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b$，
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}(a-b)a$，
根据图形面积关系可得：$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△ BED}$，
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}(a-b)a$，
$\therefore \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab$，
化简得：$a^2+b^2=c^2$。
(2) 解：
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理，得$AD^2=AB^2-BD^2=4^2-x^2=16-x^2$，
$\because BD+CD=BC=6$，
$\therefore CD=BC-BD=6-x$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理，得$AD^2=AC^2-CD^2=5^2-(6-x)^2=-11+12x-x^2$，
$\therefore 16-x^2=-11+12x-x^2$，
解得：$x=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立，可得$a^2+b^2=c^2$；
(2) $x=\frac{9}{4}$
【知识点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用，面积法
【点评】
本题围绕勾股定理展开，既考查了勾股定理的推导过程，也考查了勾股定理的实际应用，核心方法是“双求法”，即通过同一个量的两种不同表达建立等式，解题时需要准确找到等量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
