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1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 （
A.$1,2,3$
B.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
C.$2,3,4$
D.$\sqrt{2},\sqrt{3},2$
B
）A.$1,2,3$
B.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
C.$2,3,4$
D.$\sqrt{2},\sqrt{3},2$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形三条边中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时可按以下步骤思考：①对每个选项的三条线段，先找出最长边；②分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；③对比两个计算结果，若相等则对应选项符合要求，否则不符合。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A. 三条线段为1,2,3，最长边为3。计算得：$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不能组成直角三角形；
B. 三条线段为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，最长边为$\sqrt{3}$。计算得：$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$，$3=3$，可以组成直角三角形；
C. 三条线段为2,3,4，最长边为4。计算得：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
D. 三条线段为$\sqrt{2},\sqrt{3},2$，最长边为2。计算得：$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$2^2=4$，$5≠4$，不能组成直角三角形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题时需注意先确定最长边再验证平方关系，避免因找错最长边出现计算错误，是勾股定理章节的常规考点。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形三条边中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时可按以下步骤思考：①对每个选项的三条线段，先找出最长边；②分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方；③对比两个计算结果，若相等则对应选项符合要求，否则不符合。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A. 三条线段为1,2,3，最长边为3。计算得：$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不能组成直角三角形；
B. 三条线段为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，最长边为$\sqrt{3}$。计算得：$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$，$3=3$，可以组成直角三角形；
C. 三条线段为2,3,4，最长边为4。计算得：$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
D. 三条线段为$\sqrt{2},\sqrt{3},2$，最长边为2。计算得：$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$2^2=4$，$5≠4$，不能组成直角三角形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题时需注意先确定最长边再验证平方关系，避免因找错最长边出现计算错误，是勾股定理章节的常规考点。
【难度系数】
0.8
2.若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$,则对$△ ABC$的形状描述最准确的是
（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
（
C
）A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要回忆非负数的性质：平方和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。据此可得到两个关于三角形三边的等量关系，再分别结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理分析三角形的特征，注意两个条件需同时满足，不能仅根据单一条件判断形状。
【解析】
解：
∵ $(a-b)^2≥0$，$|a^2 + b^2 - c^2|≥0$，且二者的和为0，
∴ $\begin{cases}a-b=0 \\ a^2 + b^2 - c^2=0\end{cases}$，
由$a-b=0$可得$a=b$，说明$△ ABC$是等腰三角形；
由$a^2 + b^2 - c^2=0$可得$a^2 + b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，说明$△ ABC$是直角三角形。
因此$△ ABC$同时具备等腰和直角的特征，是等腰直角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，勾股定理逆定理，三角形形状判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题，需要同时结合两个非负数为0的条件分析，避免因漏看条件误选等腰三角形或直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆非负数的性质：平方和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。据此可得到两个关于三角形三边的等量关系，再分别结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理分析三角形的特征，注意两个条件需同时满足，不能仅根据单一条件判断形状。
【解析】
解：
∵ $(a-b)^2≥0$，$|a^2 + b^2 - c^2|≥0$，且二者的和为0，
∴ $\begin{cases}a-b=0 \\ a^2 + b^2 - c^2=0\end{cases}$，
由$a-b=0$可得$a=b$，说明$△ ABC$是等腰三角形；
由$a^2 + b^2 - c^2=0$可得$a^2 + b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，说明$△ ABC$是直角三角形。
因此$△ ABC$同时具备等腰和直角的特征，是等腰直角三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，勾股定理逆定理，三角形形状判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题，需要同时结合两个非负数为0的条件分析，避免因漏看条件误选等腰三角形或直角三角形。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,D为AB的中点,点E在AC上,且$BE⊥ AC$.若$DE=5$,$AE=8$,则BE的长度是 （
A.5
B.5.5
C.6
D.6.5
C
）A.5
B.5.5
C.6
D.6.5
答案
3.C
解析
【分析】
首先由BE⊥AC可判断△ABE是直角三角形，已知D是AB的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出斜边AB的长度；再在Rt△ABE中，利用勾股定理，结合已知的AE长度，即可求出BE的长度。
【解析】
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB=90°，即△ABE是直角三角形。
∵ D为AB的中点，DE是Rt△ABE斜边AB上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，AB=2DE。
已知DE=5，
∴ AB=2×5=10。
在Rt△ABE中，AE=8，AB=10，由勾股定理得：
$BE^2 + AE^2 = AB^2$
∴ $BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合勾股定理计算未知边长，熟练掌握直角三角形的相关性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
首先由BE⊥AC可判断△ABE是直角三角形，已知D是AB的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出斜边AB的长度；再在Rt△ABE中，利用勾股定理，结合已知的AE长度，即可求出BE的长度。
【解析】
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB=90°，即△ABE是直角三角形。
∵ D为AB的中点，DE是Rt△ABE斜边AB上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，AB=2DE。
已知DE=5，
∴ AB=2×5=10。
在Rt△ABE中，AE=8，AB=10，由勾股定理得：
$BE^2 + AE^2 = AB^2$
∴ $BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合勾股定理计算未知边长，熟练掌握直角三角形的相关性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$.若 $S_3+S_2-S_1=18$,则图中阴影部分的面积为 (
A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$5$
D.$\dfrac{7}{2}$
B
)A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$5$
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
4.B
解析
【分析】
首先观察图形，Rt△ABC中∠A为直角，根据勾股定理可得到三边对应正方形面积的关系：以斜边BC为边的正方形面积S3等于另外两个直角边对应正方形面积S1与S2的和。将该关系代入已知条件S3+S2-S1=18，可先求出S2的数值。再观察阴影部分，阴影是两个共底为AB的三角形，两个三角形的高之和等于AB，因此阴影面积可表示为$\frac{1}{2}AB^2$，也就是$\frac{1}{2}S_2$，代入S2的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴根据勾股定理可得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
由正方形面积公式可知：$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，
∴$S_3 = S_2 + S_1$，
将$S_3 = S_2 + S_1$代入$S_3+S_2-S_1=18$，得：
$(S_2 + S_1) + S_2 - S_1 = 18$，
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$，即$AB^2=9$。
阴影部分两个三角形均以AB为底，高之和等于AB，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2} × AB × AB=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2} × 9=\frac{9}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积，三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与几何图形面积计算结合，解题的核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合阴影部分和正方形面积的关联求解，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
首先观察图形，Rt△ABC中∠A为直角，根据勾股定理可得到三边对应正方形面积的关系：以斜边BC为边的正方形面积S3等于另外两个直角边对应正方形面积S1与S2的和。将该关系代入已知条件S3+S2-S1=18，可先求出S2的数值。再观察阴影部分，阴影是两个共底为AB的三角形，两个三角形的高之和等于AB，因此阴影面积可表示为$\frac{1}{2}AB^2$，也就是$\frac{1}{2}S_2$，代入S2的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴根据勾股定理可得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
由正方形面积公式可知：$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，
∴$S_3 = S_2 + S_1$，
将$S_3 = S_2 + S_1$代入$S_3+S_2-S_1=18$，得：
$(S_2 + S_1) + S_2 - S_1 = 18$，
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$，即$AB^2=9$。
阴影部分两个三角形均以AB为底，高之和等于AB，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2} × AB × AB=\frac{1}{2}AB^2=\frac{1}{2} × 9=\frac{9}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积，三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与几何图形面积计算结合，解题的核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合阴影部分和正方形面积的关联求解，很好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
5. 已知直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为________厘米。
答案
5.4或$\sqrt{34}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形第三边的求解，核心是运用勾股定理。由于题干没有明确说明已知的两条边哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论：第一种是5厘米的边为斜边，3厘米为直角边；第二种是3厘米和5厘米都为直角边，第三边为斜边，分别按照勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
直角三角形的三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，需分情况计算：
1. 当长为5cm的边是斜边时，第三边为直角边，设其长度为$x$cm：
根据勾股定理列等式：$x^2 + 3^2 = 5^2$
计算得：$x^2 = 25 - 9 = 16$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{16} = 4$。
2. 当长为3cm和5cm的边都是直角边时，第三边为斜边，设其长度为$y$cm：
根据勾股定理列等式：$y^2 = 3^2 + 5^2$
计算得：$y^2 = 9 + 25 = 34$
因为边长为正数，所以$y = \sqrt{34}$。
综上，第三边的长度为4或$\sqrt{34}$厘米。
【答案】
4或$\sqrt{34}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是未明确斜边时忽略分类讨论，容易默认某条边为斜边导致漏解，解题时需注意审题，明确边的类型后再计算。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形第三边的求解，核心是运用勾股定理。由于题干没有明确说明已知的两条边哪条是斜边，因此需要分两种情况讨论：第一种是5厘米的边为斜边，3厘米为直角边；第二种是3厘米和5厘米都为直角边，第三边为斜边，分别按照勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
直角三角形的三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，需分情况计算：
1. 当长为5cm的边是斜边时，第三边为直角边，设其长度为$x$cm：
根据勾股定理列等式：$x^2 + 3^2 = 5^2$
计算得：$x^2 = 25 - 9 = 16$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{16} = 4$。
2. 当长为3cm和5cm的边都是直角边时，第三边为斜边，设其长度为$y$cm：
根据勾股定理列等式：$y^2 = 3^2 + 5^2$
计算得：$y^2 = 9 + 25 = 34$
因为边长为正数，所以$y = \sqrt{34}$。
综上，第三边的长度为4或$\sqrt{34}$厘米。
【答案】
4或$\sqrt{34}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是未明确斜边时忽略分类讨论，容易默认某条边为斜边导致漏解，解题时需注意审题，明确边的类型后再计算。
【难度系数】
0.7
6. 无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H:14 m，D:48 m”（H代表无人机离起飞点的竖直距）
离，D代表无人机离起飞点的水平距离)，则此时无人机到起飞点的距离为
离，D代表无人机离起飞点的水平距离)，则此时无人机到起飞点的距离为
50
m答案
50
解析
【解析】
由题意可知，无人机的竖直距离H=14m，水平距离D=48m，二者相互垂直，与无人机到起飞点的连线构成直角三角形，根据勾股定理，无人机到起飞点的距离为：
$s=\sqrt{H^2+D^2}=\sqrt{14^2+48^2}=\sqrt{196+2304}=\sqrt{2500}=50\ \mathrm{m}$
【答案】
50
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查勾股定理的应用，解题关键是识别出竖直距离、水平距离与所求距离构成直角三角形的三边关系，代入数值计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9
由题意可知，无人机的竖直距离H=14m，水平距离D=48m，二者相互垂直，与无人机到起飞点的连线构成直角三角形，根据勾股定理，无人机到起飞点的距离为：
$s=\sqrt{H^2+D^2}=\sqrt{14^2+48^2}=\sqrt{196+2304}=\sqrt{2500}=50\ \mathrm{m}$
【答案】
50
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查勾股定理的应用，解题关键是识别出竖直距离、水平距离与所求距离构成直角三角形的三边关系，代入数值计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$P$为直线$AB$上一动点，连接$PC$，则线段$PC$长度的最小值是________.
答案
7.$\frac{12}{5}$
解析
【分析】根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”的性质，可知当PC⊥AB时，PC的长度取得最小值，即所求最小值为Rt△ABC斜边上的高。我们可先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法建立等量关系，即可求出斜边上的高，也就是PC的最小值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据垂线段最短的性质，当$PC⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
此时$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× PC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× PC$，
化简得：$12=5PC$，解得$PC=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是几何最短距离的典型题型，解题核心是先利用垂线段最短确定最短距离的位置，再结合直角三角形的性质用面积法求解，能很好地考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据垂线段最短的性质，当$PC⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
此时$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× PC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× PC$，
化简得：$12=5PC$，解得$PC=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是几何最短距离的典型题型，解题核心是先利用垂线段最短确定最短距离的位置，再结合直角三角形的性质用面积法求解，能很好地考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.(2025•广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=√2,则AD=
$\sqrt{3}-1$
.答案
8.$\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
首先从已知边的关系判断三角形的形状：由AB=BC=CA=2可知△ABC是等边三角形，由BD=CD=√2、BC=2，可通过勾股定理逆定理判断△BDC是等腰直角三角形。再结合等腰（等边）三角形三线合一的性质，可知点A和点D都在BC的垂直平分线上，取BC的中点E，连接AE、DE，则A、E、D三点共线。分别求出AE、DE的长度，再根据A、D在BC同侧，用AE的长度减去DE的长度即可得到AD的长。
【解析】
1. 取BC的中点E，连接AE、DE。
2. 求AE的长度：
∵AB=BC=CA=2，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，根据等边三角形三线合一，得AE⊥BC，BE=½BC=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB²-BE²)=√(2²-1²)=√3。
3. 求DE的长度：
∵BD=CD，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一，得DE⊥BC，
在△BDC中，BD²+CD²=(√2)²+(√2)²=4，BC²=2²=4，
∴BD²+CD²=BC²，由勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∵DE是Rt△BDC斜边BC上的中线，
∴DE=½BC=1。
4. 计算AD的长度：
∵A、D在BC同侧，且AE、DE都垂直于BC且过点E，
∴A、D、E三点共线，
∴AD=AE-DE=√3-1。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理及逆定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于特殊三角形的综合应用基础题，解题的关键是利用等腰、等边三角形三线合一的性质作辅助线构造共线的高，结合勾股定理和直角三角形的性质计算线段长度，需要熟练掌握各类特殊三角形的核心性质。
【难度系数】
0.65
首先从已知边的关系判断三角形的形状：由AB=BC=CA=2可知△ABC是等边三角形，由BD=CD=√2、BC=2，可通过勾股定理逆定理判断△BDC是等腰直角三角形。再结合等腰（等边）三角形三线合一的性质，可知点A和点D都在BC的垂直平分线上，取BC的中点E，连接AE、DE，则A、E、D三点共线。分别求出AE、DE的长度，再根据A、D在BC同侧，用AE的长度减去DE的长度即可得到AD的长。
【解析】
1. 取BC的中点E，连接AE、DE。
2. 求AE的长度：
∵AB=BC=CA=2，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，根据等边三角形三线合一，得AE⊥BC，BE=½BC=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB²-BE²)=√(2²-1²)=√3。
3. 求DE的长度：
∵BD=CD，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一，得DE⊥BC，
在△BDC中，BD²+CD²=(√2)²+(√2)²=4，BC²=2²=4，
∴BD²+CD²=BC²，由勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∵DE是Rt△BDC斜边BC上的中线，
∴DE=½BC=1。
4. 计算AD的长度：
∵A、D在BC同侧，且AE、DE都垂直于BC且过点E，
∴A、D、E三点共线，
∴AD=AE-DE=√3-1。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理及逆定理，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于特殊三角形的综合应用基础题，解题的关键是利用等腰、等边三角形三线合一的性质作辅助线构造共线的高，结合勾股定理和直角三角形的性质计算线段长度，需要熟练掌握各类特殊三角形的核心性质。
【难度系数】
0.65
三、解答题
9. 如图，$AB=12$，$AB⊥ BC$于点$B$，$AB⊥ AD$于点$A$，$AD=5$，$BC=10$，$E$是$CD$的中点，求$AE$的长.
9. 如图，$AB=12$，$AB⊥ BC$于点$B$，$AB⊥ AD$于点$A$，$AD=5$，$BC=10$，$E$是$CD$的中点，求$AE$的长.
答案
9.解:如答图,延长AE交BC于点F.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴AD//BC,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠CFE.
又
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△AED与△FEC中,
$\begin{cases} ∠D=∠C, \\ ∠DAE=∠CFE, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴△AED≌△FEC(AAS),
∴AE=FE,AD=FC.
∵AD=5,BC=10,
∴BF=5.
在Rt△ABF中,$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴AF=13,
∴$AE=\frac{1}{2}AF=6.5$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB同时垂直于AD和BC，可推出AD与BC平行，再结合E是CD中点的特征，我们可以通过延长AE交BC于点F构造全等三角形，把AD的长度转化为FC的长度，将分散的边的条件集中到直角三角形ABF中，先求出斜边AF的长度，再利用全等得到E是AF的中点，即可求出AE的长度。
【解析】
解：如答图，延长AE交BC于点F。
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴$AD// BC$，
∴$∠D=∠C$，$∠DAE=∠CFE$。
又
∵E是CD的中点，
∴$DE=CE$。
在$△ AED$与$△ FEC$中，
$\begin{cases} ∠D=∠C, \\ ∠DAE=∠CFE, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴$△ AED≌△ FEC(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=FE$，$AD=FC$。
∵$AD=5$，$BC=10$，
∴$BF=BC-FC=BC-AD=10-5=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入$AB=12$，$BF=5$，得$AF=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$AE=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×13=6.5$。
【答案】
9.解:如答图,延长AE交BC于点F.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴AD//BC,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠CFE.
又
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△AED与△FEC中,
$\begin{cases} ∠D=∠C, \\ ∠DAE=∠CFE, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴△AED≌△FEC(AAS),
∴AE=FE,AD=FC.
∵AD=5,BC=10,
∴BF=5.
在Rt△ABF中,$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴AF=13,
∴$AE=\frac{1}{2}AF=6.5$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合平行线与中点的特征合理构造全等三角形，实现线段的转化，将所求线段转化到直角三角形中利用勾股定理求解，该辅助线构造方法是处理平行线和中点组合条件的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：AB同时垂直于AD和BC，可推出AD与BC平行，再结合E是CD中点的特征，我们可以通过延长AE交BC于点F构造全等三角形，把AD的长度转化为FC的长度，将分散的边的条件集中到直角三角形ABF中，先求出斜边AF的长度，再利用全等得到E是AF的中点，即可求出AE的长度。
【解析】
解：如答图，延长AE交BC于点F。
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴$AD// BC$，
∴$∠D=∠C$，$∠DAE=∠CFE$。
又
∵E是CD的中点，
∴$DE=CE$。
在$△ AED$与$△ FEC$中，
$\begin{cases} ∠D=∠C, \\ ∠DAE=∠CFE, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴$△ AED≌△ FEC(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=FE$，$AD=FC$。
∵$AD=5$，$BC=10$，
∴$BF=BC-FC=BC-AD=10-5=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入$AB=12$，$BF=5$，得$AF=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$AE=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×13=6.5$。
【答案】
9.解:如答图,延长AE交BC于点F.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴AD//BC,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠CFE.
又
∵E是CD的中点,
∴DE=CE.
在△AED与△FEC中,
$\begin{cases} ∠D=∠C, \\ ∠DAE=∠CFE, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴△AED≌△FEC(AAS),
∴AE=FE,AD=FC.
∵AD=5,BC=10,
∴BF=5.
在Rt△ABF中,$AB^2+BF^2=AF^2$,
∴AF=13,
∴$AE=\frac{1}{2}AF=6.5$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合平行线与中点的特征合理构造全等三角形，实现线段的转化，将所求线段转化到直角三角形中利用勾股定理求解，该辅助线构造方法是处理平行线和中点组合条件的常用方法。
【难度系数】
0.7
