10. 如图，公路上A，B两点相距50 km，C，D为两村庄，$DA⊥ AB$于点A，$CB⊥ AB$于点B，已知$DA=30\ \mathrm{km}$，$CB=20\ \mathrm{km}$.现要在公路AB上建一个土特产市场E，使得C，D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A点多少千米处？判断此时$△ DEC$的形状，并说明理由.

10.解:设$AE=x$ km,则$BE=(50-x)$km.
∵$DA⊥AB,CB⊥AB$,
∴$∠A=∠B=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$DE^2=30^2+x^2$,
在$\mathrm{Rt}△CBE$中,$CE^2=20^2+(50-x)^2$.
∵$DE=CE$,
∴$30^2+x^2=20^2+(50-x)^2$,
解得$x=20$,则$AE=20$ km.
即市场E应建在距A点20 km的位置.
此时$△ DEC$是等腰直角三角形.
理由:$BE=50-20=30(\mathrm{km})$.
∵$AE=BC,∠A=∠B=90°,AD=BE$,
∴$△ADE≌△BEC(\mathrm{SAS})$,
∴$∠AED=∠BCE$.
∵$∠BCE+∠BEC=90°$,
∴$∠AED+∠BEC=90°$,
∴$∠DEC=90°$.
∵$DE=CE$,
∴$△ DEC$是等腰直角三角形.

【分析】
我们需要解决两个问题：一是求市场E到A点的距离，二是判断△DEC的形状。对于第一个问题，已知DA、CB都垂直于AB，因此△ADE和△BCE都是直角三角形，题目要求DE=CE，我们可以设AE=x km，那么BE的长度就是(50-x)km，根据勾股定理分别表示出DE²和CE²，利用DE=CE时二者平方相等列方程求解即可。对于第二个问题，已经知道DE=CE，只需证明∠DEC=90°即可判定三角形类型，可通过证明△ADE和△BEC全等，得到角的等量关系，进而推导∠DEC的度数。
【解析】
解：设$AE=x$ km，则$BE=(50-x)$km。
∵$DA⊥AB$，$CB⊥AB$，
∴$∠A=∠B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得$DE^2=30^2+x^2$，
在$\mathrm{Rt}△CBE$中，由勾股定理得$CE^2=20^2+(50-x)^2$。
∵$DE=CE$，
∴$30^2+x^2=20^2+(50-x)^2$，
解得$x=20$，即$AE=20$ km。
此时$△ DEC$是等腰直角三角形，理由如下：
$BE=50-20=30(\mathrm{km})$，
∵$AE=BC=20\mathrm{km}$，$∠A=∠B=90°$，$AD=BE=30\mathrm{km}$，
∴$△ADE≌△BEC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AED=∠BCE$。
∵$∠BCE+∠BEC=90°$，
∴$∠AED+∠BEC=90°$，
∴$∠DEC=180°-(∠AED+∠BEC)=90°$。
又
∵$DE=CE$，
∴$△ DEC$是等腰直角三角形。
【答案】
市场E应建在距A点20 km处，此时$△ DEC$是等腰直角三角形。
【知识点】
勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形判定
【点评】
本题将实际场景转化为几何问题求解，既考查了方程思想结合勾股定理求线段长度的方法，又考查了利用全等三角形性质推导角度关系、判断三角形形状的能力，贴合几何知识的实际应用场景。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在$△ ABD$中,$AC\bot BD$于点$C$,$E$为$AC$上一点,连接$BE$,$DE$,$DE$的延长线交$AB$于点$F$,已知$DE=AB$,$∠ CAD=45°$.
(1)求证:$DF\bot AB$;
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明,已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,求证:$a^2+b^2=c^2$.

11.证明:(1)$\because AC\bot BD,∠CAD=45°$,
$\therefore AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEC$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEC(\mathrm{HL}),\therefore ∠BAC=∠EDC$.
$\because ∠EDC+∠CED=90°,∠CED=∠AEF$,
$\therefore ∠AEF+∠BAC=90°$,
$\therefore ∠AFE=90°,\therefore DF\bot AB$.
(2)$\because S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$,
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c·DF-\frac{1}{2}c·EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c·DE=\frac{1}{2}c^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.

【分析】
(1) 要证$DF\bot AB$，即证$∠ AFE=90°$。首先由$AC\bot BD$、$∠ CAD=45°$可得$△ ACD$是等腰直角三角形，得到$AC=DC$，结合已知$DE=AB$，可通过HL证明$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC$，得到角相等的关系，再利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余的性质，即可推导得出$∠ AFE=90°$。
(2) 要证勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可利用阴影部分面积的两种表示方法建立等式：一方面阴影面积是$△ BCE$和$△ ACD$的面积和，另一方面阴影面积等于$△ ABD$的面积减去$△ ABE$的面积，结合(1)中$DF\bot AB$的结论和$DE=AB=c$的条件，代入面积公式化简即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC\bot BD$，$∠ CAD=45°$，
$\therefore AC=DC$，$∠ ACB=∠ DCE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE \\ AC=DC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ BAC=∠ EDC$。
$\because ∠ EDC+∠ CED=90°$，$∠ CED=∠ AEF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ AEF+∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ AFE=180°-(∠ AEF+∠ BAC)=90°$，即$DF\bot AB$。
(2) 证明：
由图形面积关系可得：$S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$，
代入面积公式计算：
左边$=\frac{1}{2}BC· CE+\frac{1}{2}AC· CD$，由全等可知$CE=BC=a$，$CD=AC=b$，故左边$=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$；
右边$=\frac{1}{2}AB· DF-\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}c·(DF-EF)=\frac{1}{2}c· DE$，已知$DE=AB=c$，故右边$=\frac{1}{2}c^2$。
$\therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2$，两边同乘2得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
(1) 证明成立，$DF\bot AB$；
(2) 证明成立，$a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；垂直的判定；面积法证勾股定理
【点评】
本题将全等三角形的判定、性质与勾股定理的证明相结合，第一问通过全等转化角的关系推导垂直，第二问利用面积和差关系巧妙完成勾股定理的证明，能很好地考查学生的逻辑推理能力和对几何面积关系的理解能力。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$CD⊥ AB$,$BE⊥ AC$,垂足分别为$D,E$,$F$为$BC$的中点,$BE$与$DF$,$DC$分别交于点$G$,$H$,$∠ ABE=∠ CBE$.
(1)线段$BH$与$AC$相等吗? 若相等,请给予证明;若不相等,请说明理由.
(2)求证:$BG^2-GE^2=EA^2$.

12.(1)解:$BH=AC$.
证明:$\because CD⊥AB,BE⊥AC$,
$\therefore ∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$,
$\therefore ∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°$,
$\therefore ∠HBD=∠ACD$.
$\because ∠ABC=45°$,
$\therefore ∠BCD=180°-∠CDB-∠ABC=180°-90°-45°=45°=∠ABC$,
$\therefore DB=DC$.
在$△DBH$和$△DCA$中,$\begin{cases} ∠BDH=∠CDA, \\ BD=CD, \\ ∠HBD=∠ACD, \end{cases}$
$\therefore △DBH≌△DCA(\mathrm{ASA}),\therefore BH=AC$.
(2)证明:如答图,连接$CG$,
由(1)知,$DB=CD$.
$\because F$为$BC$的中点,$\therefore DF$垂直平分$BC$,$\therefore BG=CG$.
$\because BE⊥AC$,
$\therefore ∠AEB=∠CEB=90°$.
在$△ABE$和$△CBE$中,
$\begin{cases} ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠CEB, \end{cases}$
$\therefore △ABE≌△CBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore EC=EA$.
在$\mathrm{Rt}△CGE$中,由勾股定理,得$CG^2-GE^2=CE^2$,
$\because CE=AE,BG=CG$,
$\therefore BG^2-GE^2=EA^2$.

【分析】
(1) 要判断BH与AC是否相等，可通过证明二者所在的三角形全等推导。首先根据CD⊥AB、∠ABC=45°可推出△BCD是等腰直角三角形，得到BD=CD；再利用同角的余角相等推出∠HBD=∠ACD，结合直角相等的条件，用ASA即可证明△DBH和△DCA全等，从而得到线段相等的结论。
(2) 要证明平方差形式的等式，可结合勾股定理分析。首先连接辅助线CG，由F是BC中点、BD=CD可知DF是BC的垂直平分线，可得BG=CG；再根据BE是角平分线且垂直AC，证明△ABE≌△CBE得到EA=EC；最后在Rt△CGE中利用勾股定理，将对应线段等量替换即可得到要证的结论。
【解析】
(1) $BH=AC$，证明如下：
$\because CD⊥AB,BE⊥AC$，
$\therefore ∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$，
$\therefore ∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°$，
$\therefore ∠HBD=∠ACD$。
$\because ∠ABC=45°$，
$\therefore ∠BCD=180°-∠CDB-∠ABC=180°-90°-45°=45°=∠ABC$，
$\therefore DB=DC$。
在$△DBH$和$△DCA$中，
$\begin{cases} ∠BDH=∠CDA, \\ BD=CD, \\ ∠HBD=∠ACD, \end{cases}$
$\therefore △DBH≌△DCA(\mathrm{ASA})$，$\therefore BH=AC$。
(2) 证明：连接$CG$，
由(1)知，$DB=CD$。
$\because F$为$BC$的中点，$\therefore DF$垂直平分$BC$，$\therefore BG=CG$。
$\because BE⊥AC$，
$\therefore ∠AEB=∠CEB=90°$。
在$△ABE$和$△CBE$中，
$\begin{cases} ∠ABE=∠CBE, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠CEB, \end{cases}$
$\therefore △ABE≌△CBE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EC=EA$。
在$\mathrm{Rt}△CGE$中，由勾股定理，得$CG^2-GE^2=CE^2$，
$\because CE=AE,BG=CG$，
$\therefore BG^2-GE^2=EA^2$。
【答案】
(1) $BH=AC$，证明见解析；
(2) 证明见解析。

【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，综合考查了三角形全等、等腰三角形、线段垂直平分线和勾股定理的相关知识，解题的关键是准确识别全等三角形，合理添加辅助线，通过线段的等量转化推导结论，对几何逻辑推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6