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13.如图，△ABC的两条高AD和BF相交于点E，AD=BD=8，AC=10，AE=2，则BF的长为 （
A.11.2
B.11.5
C.12.5
D.13
A
）A.11.2
B.11.5
C.12.5
D.13
答案
13.A
解析
【分析】
要求BF的长度，可采用等面积法求解：BF是△ABC中AC边上的高，AD是△ABC中BC边上的高，△ABC的面积可以用两种不同的底和高表示，二者相等即可列等式求解。首先先求BC的长度：AD垂直BC，△ADC是直角三角形，已知AD和AC的长度，可先求出DC的长，再与BD相加得到BC总长，最后代入面积等式即可算出BF。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，由勾股定理得：
$DC^2=AC^2-AD^2=10^2-8^2=36$，
∴$DC=6$，
则$BC=BD+DC=8+6=14$，
∵BF是AC边上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}× AC× BF$，
代入数值得：
$\frac{1}{2}×14×8=\frac{1}{2}×10× BF$，
化简得：$56=5BF$，
解得：$BF=11.2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题核心是运用等面积法求三角形的高，解题的关键是先通过勾股定理求出BC边的长度，再利用面积相等建立等式求解，属于基础的几何计算类题型。
【难度系数】
0.7
要求BF的长度，可采用等面积法求解：BF是△ABC中AC边上的高，AD是△ABC中BC边上的高，△ABC的面积可以用两种不同的底和高表示，二者相等即可列等式求解。首先先求BC的长度：AD垂直BC，△ADC是直角三角形，已知AD和AC的长度，可先求出DC的长，再与BD相加得到BC总长，最后代入面积等式即可算出BF。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，由勾股定理得：
$DC^2=AC^2-AD^2=10^2-8^2=36$，
∴$DC=6$，
则$BC=BD+DC=8+6=14$，
∵BF是AC边上的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}× AC× BF$，
代入数值得：
$\frac{1}{2}×14×8=\frac{1}{2}×10× BF$，
化简得：$56=5BF$，
解得：$BF=11.2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题核心是运用等面积法求三角形的高，解题的关键是先通过勾股定理求出BC边的长度，再利用面积相等建立等式求解，属于基础的几何计算类题型。
【难度系数】
0.7
14.将一副直角三角板按如图的方式放置，已知$∠ E=60°$，$∠ C=45°$，$EF// BC$，则$∠ BND=$
105
°。答案
14.105
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据直角三角板的角度特征，先算出∠F和∠B的度数；再结合EF平行BC的条件，利用平行线的内错角相等性质得到∠FDB的度数；最后在△BND中利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠BND的度数。
【解析】
解：
∵△DEF是直角三角板，∠EDF=90°，∠E=60°
∴∠F=180°-90°-60°=30°
∵△ABC是直角三角板，∠BAC=90°，∠C=45°
∴∠B=180°-90°-45°=45°
∵EF//BC
∴∠FDB=∠F=30°（两直线平行，内错角相等）
在△BND中，三角形内角和为180°，因此：
∠BND=180°-∠B-∠FDB=180°-45°-30°=105°
【答案】
105
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角板特征
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是熟练掌握直角三角板的固定内角度数，结合平行线性质找到所求角所在三角形的其余内角，代入内角和公式即可求解，是平行线与三角形内角和结合的典型考法。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：首先根据直角三角板的角度特征，先算出∠F和∠B的度数；再结合EF平行BC的条件，利用平行线的内错角相等性质得到∠FDB的度数；最后在△BND中利用三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠BND的度数。
【解析】
解：
∵△DEF是直角三角板，∠EDF=90°，∠E=60°
∴∠F=180°-90°-60°=30°
∵△ABC是直角三角板，∠BAC=90°，∠C=45°
∴∠B=180°-90°-45°=45°
∵EF//BC
∴∠FDB=∠F=30°（两直线平行，内错角相等）
在△BND中，三角形内角和为180°，因此：
∠BND=180°-∠B-∠FDB=180°-45°-30°=105°
【答案】
105
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角板特征
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是熟练掌握直角三角板的固定内角度数，结合平行线性质找到所求角所在三角形的其余内角，代入内角和公式即可求解，是平行线与三角形内角和结合的典型考法。
【难度系数】
0.75
15.如图，CA平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E。
(1)△ABC与△ADC全等吗？
(2)若∠EAC=45°，求∠BAE的度数。
(1)△ABC与△ADC全等吗？
(2)若∠EAC=45°，求∠BAE的度数。
答案
15.解:(1)因为CA平分∠DCB,所以∠ACB=∠ACD。
又因为AC=AC,BC=DC,所以△ABC≌△ADC(SAS)。
(2)因为∠EAC=45°,所以∠CAD=180°-∠EAC=135°。
由(1)知△ADC≌△ABC,所以∠BAC=∠DAC=135°。
所以∠BAE=∠BAC-∠CAE=90°。
又因为AC=AC,BC=DC,所以△ABC≌△ADC(SAS)。
(2)因为∠EAC=45°,所以∠CAD=180°-∠EAC=135°。
由(1)知△ADC≌△ABC,所以∠BAC=∠DAC=135°。
所以∠BAE=∠BAC-∠CAE=90°。
解析
【分析】
(1) 判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：CA平分∠DCB可得一组对应角相等，已知CB=CD，还有公共边AC，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，即可证明两三角形全等。
(2) 求∠BAE的度数时，先根据邻补角的关系，由∠EAC的度数求出∠CAD的度数；再利用第一问的全等结论，得到∠BAC和∠CAD相等，最后通过角度的和差运算，用∠BAC减去∠EAC即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ CA平分∠DCB，
∴ ∠ACB=∠ACD。
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC（已知）\\∠ACB=∠ACD（角平分线的定义）\\AC=AC（公共边）\end{array} $
∴ △ABC≌△ADC（SAS）。
(2) 解：
∵ ∠EAC=45°，∠EAC与∠CAD互为邻补角，
∴ ∠CAD=180°-∠EAC=180°-45°=135°。
由(1)得△ABC≌△ADC，根据全等三角形对应角相等，
∴ ∠BAC=∠CAD=135°，
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠EAC=135°-45°=90°。
【答案】
(1) △ABC与△ADC全等；
(2) ∠BAE的度数为$\boxed{90°}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心考查全等三角形的判定定理和性质的应用，解题时要注意挖掘公共边、角平分线等隐含条件，结合角度的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：CA平分∠DCB可得一组对应角相等，已知CB=CD，还有公共边AC，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，即可证明两三角形全等。
(2) 求∠BAE的度数时，先根据邻补角的关系，由∠EAC的度数求出∠CAD的度数；再利用第一问的全等结论，得到∠BAC和∠CAD相等，最后通过角度的和差运算，用∠BAC减去∠EAC即可得到∠BAE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ CA平分∠DCB，
∴ ∠ACB=∠ACD。
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC（已知）\\∠ACB=∠ACD（角平分线的定义）\\AC=AC（公共边）\end{array} $
∴ △ABC≌△ADC（SAS）。
(2) 解：
∵ ∠EAC=45°，∠EAC与∠CAD互为邻补角，
∴ ∠CAD=180°-∠EAC=180°-45°=135°。
由(1)得△ABC≌△ADC，根据全等三角形对应角相等，
∴ ∠BAC=∠CAD=135°，
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠EAC=135°-45°=90°。
【答案】
(1) △ABC与△ADC全等；
(2) ∠BAE的度数为$\boxed{90°}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心考查全等三角形的判定定理和性质的应用，解题时要注意挖掘公共边、角平分线等隐含条件，结合角度的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
