16.【问题背景】小李同学在学习了“三角形”这章内容后，他对三角形的三边关系及三角形的中线特别感兴趣，下面是他总结的一些题目笔记。请同学们帮他分析一下。
【新知探究】如图①，在等腰三角形ABC中，AB，AC是△ABC的腰。已知△ABC的两条边的长度分别为4 cm，9 cm，求△ABC的周长。小李同学经过计算，得出的△ABC的周长是17 cm或22 cm。
(1)小李同学的答案是否正确？如果不正确，请写出正确的答案。
【新知拓展】根据(1)的答案，小李同学继续探索三角形中线的重要作用。
如图②，当添加条件：BD是等腰三角形ABC的中线时，△ABD的周长比△CBD的周长大多少？
(2)请你帮小李同学写出解答过程。
【拓展应用】结合(2)的解答过程，小李同学继续探索三角形中线在一般三角形中是否具有同样作用。
如图③，在△ABC(AB＞AC)中，已知AD是△ABC的中线，其中AB＝m，AC＝n。△ABD的周长比△ACD的周长大多少？
(3)请用含m，n的代数式表示出△ABD的周长比△ACD的周长大多少。

16.解:(1)小李同学的答案不正确。正确答案是△ABC的周长是22 cm。理由如下：
当长度为4 cm的边是等腰三角形ABC的腰时，
此时该等腰三角形ABC的三边长分别为4 cm,4 cm,9 cm。
因为4+4＜9,不符合构成三角形的条件，
所以长度为4 cm的边不能是等腰三角形ABC的腰,只能是底边，
此时该等腰三角形ABC的三边长分别为9 cm,9 cm,4 cm，
符合构成三角形的条件，
所以等腰三角形ABC的周长是9+9+4=22(cm)。
(2)由(1)知△ABC的腰长AB=AC=9 cm,底边长BC=4 cm。
又因为BD是△ABC的中线，
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=4.5$ cm，
所以△ABD的周长比△BDC的周长大$(AB+BD+AD)-(BD+BC+CD)=AB-BC=9-4=5$(cm)。
(3)因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
因为△ABD的周长$=AB+AD+BD$,△ACD的周长$=AC+AD+CD$,且$AB＞AC$，
所以△ABD的周长比△ACD的周长大$(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=m-n$。

【分析】
(1) 求解等腰三角形周长问题时，首先需要分类讨论已知的两条边哪个是腰、哪个是底，得到两种边长组合后，必须用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证能否构成三角形，排除不符合的情况后再计算正确周长。
(2) 求两个三角形的周长差，先分别写出两个三角形的周长表达式，根据中线的定义可得AD=CD，两个周长相减时，公共边BD、相等的AD和CD会相互抵消，只需计算AB和BC的差值即可。
(3) 推广到一般三角形时，同样根据中线定义得BD=CD，写出两个三角形周长表达式后相减，公共边AD、相等的BD和CD抵消，最终差值为AB与AC的差，代入对应字母即可得到结果。
【解析】
(1) 小李同学的答案不正确，正确解答如下：
① 若长度为4cm的边是腰，则等腰三角形三边长为4cm，4cm，9cm，
∵4+4=8＜9，不符合三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若长度为9cm的边是腰，则等腰三角形三边长为9cm，9cm，4cm，
∵4+9＞9，符合三角形三边关系，此时周长为9+9+4=22cm。
(2) 由(1)可知等腰△ABC中AB=AC=9cm，BC=4cm，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4.5cm，
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△CBD的周长为$BC+BD+CD$，
两者的周长差为$(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=9-4=5$cm。
(3)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
△ABD的周长为$AB+AD+BD=m+AD+BD$，
△ACD的周长为$AC+AD+CD=n+AD+CD$，
两者的周长差为$(m+AD+BD)-(n+AD+CD)=m-n$。
【答案】
(1) 小李的答案不正确，△ABC的周长为22cm；
(2) △ABD的周长比△CBD的周长大5cm；
(3) △ABD的周长比△ACD的周长大$m-n$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形中线的定义
【点评】
本题综合考查三角形的基础知识点，解题时需注意：等腰三角形边长相关问题分类讨论后，必须验证三边是否满足构成三角形的条件；求解中线分三角形的周长差时，无需计算完整周长，通过抵消相等的边可简化计算过程。
【难度系数】
0.7