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6.如图，已知△ABC和△CDE，点E在AC上，DE//BC，AB=CD，∠A=∠D。若DE=5，AE=1，则BC的长为（
A.4
B.3
C.5
D.6
A
）A.4
B.3
C.5
D.6
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先利用平行线的性质得到一组相等的内错角，结合已知的两组相等条件（∠A=∠D、AB=CD），用AAS判定△ABC和△DCE全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，将BC的长度转化为CE的长度，结合已知线段长度计算即可。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ACB=∠DEC（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\∠ACB=∠DEC \\AB=CD\end{array} $
∴△ABC≌△DCE（AAS）。
由全等三角形的性质可得：AC=DE，BC=CE。
已知DE=5，
∴AC=5。
又
∵AE=1，
∴CE=AC - AE=5 - 1=4，
∴BC=CE=4。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心是通过平行线性质得到全等需要的等角条件，再利用全等的性质转化线段关系求解，是三角形章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行线的性质得到一组相等的内错角，结合已知的两组相等条件（∠A=∠D、AB=CD），用AAS判定△ABC和△DCE全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，将BC的长度转化为CE的长度，结合已知线段长度计算即可。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ACB=∠DEC（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\∠ACB=∠DEC \\AB=CD\end{array} $
∴△ABC≌△DCE（AAS）。
由全等三角形的性质可得：AC=DE，BC=CE。
已知DE=5，
∴AC=5。
又
∵AE=1，
∴CE=AC - AE=5 - 1=4，
∴BC=CE=4。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，核心是通过平行线性质得到全等需要的等角条件，再利用全等的性质转化线段关系求解，是三角形章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=9$，$AC=7$，$AD$为中线，则$△ ABD$的周长比$△ ACD$的周长大
2
。答案
7.2
解析
【分析】
要计算△ABD与△ACD的周长差，首先先写出两个三角形的周长表达式：三角形周长等于三边之和，因此△ABD周长为AB+BD+AD，△ACD周长为AC+CD+AD。观察两个式子发现AD是公共边，长度相等；又AD是△ABC的中线，根据中线定义，D是BC中点，因此BD=CD，这两组相等的边在作差时可以抵消，最终周长差就等于AB与AC的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：△ABD的周长 = AB + BD + AD，
△ACD的周长 = AC + CD + AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD，
∴△ABD的周长 - △ACD的周长
= (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)
= AB - AC
∵AB=9，AC=7，
∴原式=9-7=2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等的线段，再结合公共边，将复杂的周长差计算简化为两条已知边的差，避免了不必要的计算，考查对基础概念的运用能力。
【难度系数】
0.8
要计算△ABD与△ACD的周长差，首先先写出两个三角形的周长表达式：三角形周长等于三边之和，因此△ABD周长为AB+BD+AD，△ACD周长为AC+CD+AD。观察两个式子发现AD是公共边，长度相等；又AD是△ABC的中线，根据中线定义，D是BC中点，因此BD=CD，这两组相等的边在作差时可以抵消，最终周长差就等于AB与AC的差，代入数值计算即可。
【解析】
解：△ABD的周长 = AB + BD + AD，
△ACD的周长 = AC + CD + AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD，
∴△ABD的周长 - △ACD的周长
= (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)
= AB - AC
∵AB=9，AC=7，
∴原式=9-7=2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等的线段，再结合公共边，将复杂的周长差计算简化为两条已知边的差，避免了不必要的计算，考查对基础概念的运用能力。
【难度系数】
0.8
8.一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是
4
。（只填一个即可）答案
8.4(答案不唯一)
解析
【分析】
解决这道题的核心是运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再在范围内任选一个合适的数即可。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以设第三边的长度为x，将已知的两边长代入三边关系，就能求出x的取值范围，在范围内任选一个数就是符合要求的答案。
【解析】
设第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得 $2 ＜ x ＜ 8$
因此只要取大于2且小于8的任意一个数都满足要求，例如4。
【答案】
4(答案不唯一)
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，掌握三边关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再在范围内任选一个合适的数即可。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以设第三边的长度为x，将已知的两边长代入三边关系，就能求出x的取值范围，在范围内任选一个数就是符合要求的答案。
【解析】
设第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得 $2 ＜ x ＜ 8$
因此只要取大于2且小于8的任意一个数都满足要求，例如4。
【答案】
4(答案不唯一)
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，掌握三边关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
9.如图，BE，CD是角平分线，∠A=80°，则∠1+∠2的度数为
50°
。答案
9.50°
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的度数之和。再根据角平分线的定义，可知∠1是∠ABC的一半、∠2是∠ACB的一半，因此∠1+∠2等于∠ABC与∠ACB之和的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ A=80°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 80° = 100°$
∵BE是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线
∴$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
将$∠ ABC + ∠ ACB=100°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}×100° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线性质的基础综合题，解题的核心是先求出两个底角的和，再通过角平分线的性质建立所求角与底角和的数量关系，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的度数之和。再根据角平分线的定义，可知∠1是∠ABC的一半、∠2是∠ACB的一半，因此∠1+∠2等于∠ABC与∠ACB之和的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ A=80°$，代入得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 80° = 100°$
∵BE是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线
∴$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)$
将$∠ ABC + ∠ ACB=100°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = \frac{1}{2}×100° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线性质的基础综合题，解题的核心是先求出两个底角的和，再通过角平分线的性质建立所求角与底角和的数量关系，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图，AB//CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件：
（只填一种情况即可）
AO=DO
，使△AOB≌△DOC。（只填一种情况即可）
答案
10.AO=DO(答案不唯一)
解析
【分析】
首先梳理已知条件：已知$AB// CD$，可根据平行线的性质得到两组内错角相等；同时$AD$与$BC$交于点$O$，可得到一组对顶角相等。此时已有三组角对应相等，要判定$△ AOB≌△ DOC$，只需再补充一组对应边相等的条件，补充的边符合全等三角形的判定定理即可。
【解析】
$\because AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”可得：$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$。
$\because AD$与$BC$交于点$O$，$\therefore ∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等）。
若添加条件$AO=DO$，在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\AO=DO \\∠ AOB=∠ DOC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{ASA})$。
（也可添加$AB=DC$、$BO=CO$等条件，均可证明两三角形全等）
【答案】
$AO=DO$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是开放性题目，解题时需要先结合已知条件推导得出已有的相等关系，再结合全等三角形的判定定理补充缺失的条件即可，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：已知$AB// CD$，可根据平行线的性质得到两组内错角相等；同时$AD$与$BC$交于点$O$，可得到一组对顶角相等。此时已有三组角对应相等，要判定$△ AOB≌△ DOC$，只需再补充一组对应边相等的条件，补充的边符合全等三角形的判定定理即可。
【解析】
$\because AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”可得：$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$。
$\because AD$与$BC$交于点$O$，$\therefore ∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等）。
若添加条件$AO=DO$，在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\AO=DO \\∠ AOB=∠ DOC\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{ASA})$。
（也可添加$AB=DC$、$BO=CO$等条件，均可证明两三角形全等）
【答案】
$AO=DO$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是开放性题目，解题时需要先结合已知条件推导得出已有的相等关系，再结合全等三角形的判定定理补充缺失的条件即可，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E。△ABE与△ACD全等吗？为什么？
答案
11.解:全等。理由如下：
因为CD⊥AB,BE⊥AC，
所以∠ADC=∠AEB=90°。
在△ABE和△ACD中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC,\\∠ A=∠ A,\\AB=AC,\end{cases}$
所以△ABE≌△ACD(AAS)。
因为CD⊥AB,BE⊥AC，
所以∠ADC=∠AEB=90°。
在△ABE和△ACD中,
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC,\\∠ A=∠ A,\\AB=AC,\end{cases}$
所以△ABE≌△ACD(AAS)。
解析
【分析】
要判断△ABE与△ACD是否全等，可结合已知条件对照全等三角形的判定定理推导：首先根据CD⊥AB、BE⊥AC的垂直条件，可得两个三角形各有一个90°的角，对应相等；其次两个三角形有公共角∠A，是另一组对应相等的角；最后已知AB=AC，是一组对应相等的边，三个条件刚好符合“角角边（AAS）”的全等判定规则，即可证明两三角形全等。
【解析】
解：△ABE与△ACD全等，理由如下：
因为CD⊥AB，BE⊥AC，
所以∠ADC=∠AEB=90°。
在△ABE和△ACD中：
$\begin{cases}∠AEB=∠ADC \\∠A=∠A \\AB=AC\end{cases}$
所以△ABE≌△ACD（AAS）。
【答案】
△ABE与△ACD全等。
【知识点】
全等三角形AAS判定，垂直的定义，公共角性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是从已知条件和图形中挖掘出垂直带来的等角、公共角相等的隐含条件，再结合给出的等边即可完成判定，是巩固全等三角形判定的典型基础题。
【难度系数】
0.85
要判断△ABE与△ACD是否全等，可结合已知条件对照全等三角形的判定定理推导：首先根据CD⊥AB、BE⊥AC的垂直条件，可得两个三角形各有一个90°的角，对应相等；其次两个三角形有公共角∠A，是另一组对应相等的角；最后已知AB=AC，是一组对应相等的边，三个条件刚好符合“角角边（AAS）”的全等判定规则，即可证明两三角形全等。
【解析】
解：△ABE与△ACD全等，理由如下：
因为CD⊥AB，BE⊥AC，
所以∠ADC=∠AEB=90°。
在△ABE和△ACD中：
$\begin{cases}∠AEB=∠ADC \\∠A=∠A \\AB=AC\end{cases}$
所以△ABE≌△ACD（AAS）。
【答案】
△ABE与△ACD全等。
【知识点】
全等三角形AAS判定，垂直的定义，公共角性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是从已知条件和图形中挖掘出垂直带来的等角、公共角相等的隐含条件，再结合给出的等边即可完成判定，是巩固全等三角形判定的典型基础题。
【难度系数】
0.85
12.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数。
第12题图
第12题图答案
12.解:由题意得$∠ A=\frac{180°}{5}=36°$,所以$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=72°$。因为$BD⊥ AC$,所以$∠ DBC=90°-72°=18°$。
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的∠C=∠ABC=2∠A的数量关系，先求出∠A的度数，进一步得到∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可知△BDC是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为$ x $，则$ ∠C = ∠ABC = 2x $。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
$ x + 2x + 2x = 180° $
合并同类项得$ 5x = 180° $，解得$ x = 36° $，即$ ∠A = 36° $。
因此$ ∠C = 2x = 2×36° = 72° $。
因为BD是AC边上的高，所以$ BD⊥AC $，即$ ∠BDC = 90° $。
在Rt△BDC中，两个锐角互余，因此：
$ ∠DBC = 90° - ∠C = 90° - 72° = 18° $
【答案】
$ 18° $
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的核心是先通过角度间的倍数关系结合内角和定理求出∠C的度数，再利用直角三角形的性质求解所求角，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的∠C=∠ABC=2∠A的数量关系，先求出∠A的度数，进一步得到∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可知△BDC是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：设∠A的度数为$ x $，则$ ∠C = ∠ABC = 2x $。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
$ x + 2x + 2x = 180° $
合并同类项得$ 5x = 180° $，解得$ x = 36° $，即$ ∠A = 36° $。
因此$ ∠C = 2x = 2×36° = 72° $。
因为BD是AC边上的高，所以$ BD⊥AC $，即$ ∠BDC = 90° $。
在Rt△BDC中，两个锐角互余，因此：
$ ∠DBC = 90° - ∠C = 90° - 72° = 18° $
【答案】
$ 18° $
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的核心是先通过角度间的倍数关系结合内角和定理求出∠C的度数，再利用直角三角形的性质求解所求角，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
