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1. 某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共 30 台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如下表所示.设采购甲型台灯 $ x $ 台，全部售出后获利 $ y $ 元.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式.
(2)若要求采购甲型台灯的数量不小于乙型台灯数量的 2 倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式.
(2)若要求采购甲型台灯的数量不小于乙型台灯数量的 2 倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？
答案
1.(1)根据题意,得y=(200-160)x+(300-250)(30-x)=-10x+1500,
∴y与x的函数表达式为y=-10x+1500.
(2)根据题意,得x≥2(30-x),解得x≥20,
∴20≤x≤30.
∵y=-10x+1500,且-10＜0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=20时,y有最大值,最大值为-10×20+1500=1300,此时30-20=10.答:采购甲型台灯20台,乙型台灯10台时商店获利最大,最大利润是1300元.
∴y与x的函数表达式为y=-10x+1500.
(2)根据题意,得x≥2(30-x),解得x≥20,
∴20≤x≤30.
∵y=-10x+1500,且-10＜0,
∴y随x的增大而减小,
∴当x=20时,y有最大值,最大值为-10×20+1500=1300,此时30-20=10.答:采购甲型台灯20台,乙型台灯10台时商店获利最大,最大利润是1300元.
解析
【分析】
(1)要推导y与x的函数表达式，需明确总利润=甲型台灯总利润+乙型台灯总利润。先分别计算甲、乙单台台灯的利润，已知甲型采购x台，则乙型采购(30-x)台，分别计算两类台灯的总利润相加即可得到解析式。
(2)先根据“甲型台灯数量不小于乙型台灯数量的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，因为一次项系数为负，y随x的增大而减小，因此x取最小值时总利润最大，代入计算即可得到最优采购方案和最大利润。
【解析】
(1)根据题意，单台甲型台灯利润为(200-160)元，单台乙型台灯利润为(300-250)元，乙型台灯数量为(30-x)台，因此：
$y=(200-160)x+(300-250)(30-x)$
整理得：$y=-10x+1500$
即y与x的函数表达式为$y=-10x+1500$。
(2)根据题意，甲型台灯数量不小于乙型台灯数量的2倍，列不等式：
$x≥2(30-x)$
解得：$x≥20$
结合x为台灯数量，取值范围为$20≤x≤30$
在函数$y=-10x+1500$中，$k=-10＜0$，因此y随x的增大而减小
所以当x取最小值20时，y取得最大值，最大值为：
$y=-10×20+1500=1300$
此时乙型台灯数量为$30-20=10$（台）
【答案】
(1)$y=-10x+1500$；
(2)采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时获利最大，最大利润为1300元。
【知识点】
一次函数应用；一元一次不等式应用；一次函数性质
【点评】
本题为实际生活中的利润最值问题，解题核心是先结合利润计算规则建立一次函数模型，再根据题干限制条件确定自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要推导y与x的函数表达式，需明确总利润=甲型台灯总利润+乙型台灯总利润。先分别计算甲、乙单台台灯的利润，已知甲型采购x台，则乙型采购(30-x)台，分别计算两类台灯的总利润相加即可得到解析式。
(2)先根据“甲型台灯数量不小于乙型台灯数量的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，因为一次项系数为负，y随x的增大而减小，因此x取最小值时总利润最大，代入计算即可得到最优采购方案和最大利润。
【解析】
(1)根据题意，单台甲型台灯利润为(200-160)元，单台乙型台灯利润为(300-250)元，乙型台灯数量为(30-x)台，因此：
$y=(200-160)x+(300-250)(30-x)$
整理得：$y=-10x+1500$
即y与x的函数表达式为$y=-10x+1500$。
(2)根据题意，甲型台灯数量不小于乙型台灯数量的2倍，列不等式：
$x≥2(30-x)$
解得：$x≥20$
结合x为台灯数量，取值范围为$20≤x≤30$
在函数$y=-10x+1500$中，$k=-10＜0$，因此y随x的增大而减小
所以当x取最小值20时，y取得最大值，最大值为：
$y=-10×20+1500=1300$
此时乙型台灯数量为$30-20=10$（台）
【答案】
(1)$y=-10x+1500$；
(2)采购甲型台灯20台，乙型台灯10台时获利最大，最大利润为1300元。
【知识点】
一次函数应用；一元一次不等式应用；一次函数性质
【点评】
本题为实际生活中的利润最值问题，解题核心是先结合利润计算规则建立一次函数模型，再根据题干限制条件确定自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 小明对甲、乙两个保温壶进行了保温测试，同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多$90\ °\mathrm{C}$的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好. 在这段测试时间内，甲、乙两个保温壶的各自水温$y_1$、$y_2$（单位:$°\mathrm{C}$）与测试时间$x$（单位:$\mathrm{min}$）之间的函数图象如图所示.
(1)当测试时间为$100\ \mathrm{min}$时，乙壶中的水温是$\_\_\_\_\_\_\ °\mathrm{C}$.
(2)求甲壶中的水温$y_1$与$x$之间的函数表达式.
(3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过$10\ °\mathrm{C}$时，直接写出$x$的取值范围.
(1)当测试时间为$100\ \mathrm{min}$时，乙壶中的水温是$\_\_\_\_\_\_\ °\mathrm{C}$.
(2)求甲壶中的水温$y_1$与$x$之间的函数表达式.
(3)当甲、乙两个保温壶的温差不超过$10\ °\mathrm{C}$时，直接写出$x$的取值范围.
答案
2.(1)80 解析:乙壶中水的温度每分钟下降(90-60)÷300=0.1(℃),则当测试时间为100 min时,乙壶中的水温是90-0.1×100=80(℃).
(2)甲壶中水的温度每分钟下降(90-45)÷300=0.15(℃),
∴甲壶中的水温y₁与x之间的函数表达式为y₁=-0.15x+90(0≤x≤300).
(3)乙壶中的水温y₂与x之间的函数表达式为y₂=-0.1x+90,当y₂-y₁≤10时,得-0.1x+90-(-0.15x+90)≤10,解得x≤200,
∴x的取值范围为0≤x≤200.
(2)甲壶中水的温度每分钟下降(90-45)÷300=0.15(℃),
∴甲壶中的水温y₁与x之间的函数表达式为y₁=-0.15x+90(0≤x≤300).
(3)乙壶中的水温y₂与x之间的函数表达式为y₂=-0.1x+90,当y₂-y₁≤10时,得-0.1x+90-(-0.15x+90)≤10,解得x≤200,
∴x的取值范围为0≤x≤200.
解析
【分析】
首先观察图像可知，甲乙两个保温壶的水温随时间变化均为一次函数关系，初始温度均为90℃，300min时甲壶水温45℃，乙壶水温60℃（乙保温性能更好，降温更慢）。
(1) 要求100min时乙壶水温，先计算乙壶每分钟的降温速度，再计算100min的降温幅度，用初始温度减去降温幅度即可得结果。
(2) 求甲壶水温$y_1$与x的函数表达式，因为是一次函数，可设表达式为$y_1=kx+b$，代入图像上已知的两个点（初始点(0,90)和300min对应的点(300,45)），用待定系数法求解即可，注意标注自变量x的取值范围。
(3) 先求出乙壶水温$y_2$与x的函数表达式，因为乙的温度始终高于甲，温差不超过10℃即$y_2-y_1≤10$，代入两个函数表达式解不等式，结合x的实际取值范围即可得到结果。
【解析】
(1) 乙壶的降温速度为：$\frac{90 - 60}{300}=0.1\ \mathrm{° C/min}$
100min时乙壶的水温为：$90 - 0.1×100=80\ \mathrm{° C}$
(2) 设甲壶水温$y_1$与$x$的函数表达式为$y_1=kx+b$（$k≠0$）
将点$(0,90)$、$(300,45)$代入得：
$\begin{cases}b=90\\300k + b=45\end{cases}$
把$b=90$代入第二个方程：$300k + 90=45$，解得$k=-0.15$
∴甲壶的函数表达式为$y_1=-0.15x + 90$（$0≤ x≤300$）
(3) 先求乙壶水温$y_2$与$x$的函数表达式，设$y_2=mx+n$（$m≠0$）
将点$(0,90)$、$(300,60)$代入得：
$\begin{cases}n=90\\300m + n=60\end{cases}$，解得$m=-0.1$，即$y_2=-0.1x + 90$
∵乙保温性能更好，水温始终高于甲，温差不超过$10\ \mathrm{° C}$即$y_2 - y_1≤10$
代入得：$-0.1x + 90 - (-0.15x + 90)≤10$
化简得：$0.05x≤10$，解得$x≤200$
又
∵时间$x≥0$
∴$x$的取值范围是$0≤ x≤200$
【答案】
(1) $\boxed{80}$
(2) $\boxed{y_1=-0.15x+90(0≤ x≤300)}$
(3) $\boxed{0≤ x≤200}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题以生活中保温壶保温测试为背景，考查一次函数的实际应用，需要学生具备从函数图像中提取信息的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，同时能结合不等式解决实际温差范围问题，兼顾了对读图能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先观察图像可知，甲乙两个保温壶的水温随时间变化均为一次函数关系，初始温度均为90℃，300min时甲壶水温45℃，乙壶水温60℃（乙保温性能更好，降温更慢）。
(1) 要求100min时乙壶水温，先计算乙壶每分钟的降温速度，再计算100min的降温幅度，用初始温度减去降温幅度即可得结果。
(2) 求甲壶水温$y_1$与x的函数表达式，因为是一次函数，可设表达式为$y_1=kx+b$，代入图像上已知的两个点（初始点(0,90)和300min对应的点(300,45)），用待定系数法求解即可，注意标注自变量x的取值范围。
(3) 先求出乙壶水温$y_2$与x的函数表达式，因为乙的温度始终高于甲，温差不超过10℃即$y_2-y_1≤10$，代入两个函数表达式解不等式，结合x的实际取值范围即可得到结果。
【解析】
(1) 乙壶的降温速度为：$\frac{90 - 60}{300}=0.1\ \mathrm{° C/min}$
100min时乙壶的水温为：$90 - 0.1×100=80\ \mathrm{° C}$
(2) 设甲壶水温$y_1$与$x$的函数表达式为$y_1=kx+b$（$k≠0$）
将点$(0,90)$、$(300,45)$代入得：
$\begin{cases}b=90\\300k + b=45\end{cases}$
把$b=90$代入第二个方程：$300k + 90=45$，解得$k=-0.15$
∴甲壶的函数表达式为$y_1=-0.15x + 90$（$0≤ x≤300$）
(3) 先求乙壶水温$y_2$与$x$的函数表达式，设$y_2=mx+n$（$m≠0$）
将点$(0,90)$、$(300,60)$代入得：
$\begin{cases}n=90\\300m + n=60\end{cases}$，解得$m=-0.1$，即$y_2=-0.1x + 90$
∵乙保温性能更好，水温始终高于甲，温差不超过$10\ \mathrm{° C}$即$y_2 - y_1≤10$
代入得：$-0.1x + 90 - (-0.15x + 90)≤10$
化简得：$0.05x≤10$，解得$x≤200$
又
∵时间$x≥0$
∴$x$的取值范围是$0≤ x≤200$
【答案】
(1) $\boxed{80}$
(2) $\boxed{y_1=-0.15x+90(0≤ x≤300)}$
(3) $\boxed{0≤ x≤200}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题以生活中保温壶保温测试为背景，考查一次函数的实际应用，需要学生具备从函数图像中提取信息的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，同时能结合不等式解决实际温差范围问题，兼顾了对读图能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. (2025·广西)已知一次函数$y=-x+b$的图象经过点$P(4,3)$，则$b$的值为 （
A.3
B.4
C.6
D.7
D
）A.3
B.4
C.6
D.7
答案
1.D 解析:
∵一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),
∴3=-1×4+b,解得b=7.
∵一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),
∴3=-1×4+b,解得b=7.
解析
【分析】
若一个点在函数的图象上，那么该点的横、纵坐标一定满足对应的函数解析式。本题已知点P(4,3)在一次函数$y=-x+b$的图象上，因此可以把$x=4$、$y=3$代入函数解析式，得到只含未知数b的一元一次方程，解这个方程就能求出b的取值。
【解析】
∵一次函数$y=-x+b$的图象经过点$P(4,3)$，
∴将$x=4$，$y=3$代入函数解析式可得：
$3=-1×4+b$
移项计算得：$b=3+4=7$
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心考察函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握“点在图象上则坐标满足解析式”的规律，代入计算即可得出结果，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
若一个点在函数的图象上，那么该点的横、纵坐标一定满足对应的函数解析式。本题已知点P(4,3)在一次函数$y=-x+b$的图象上，因此可以把$x=4$、$y=3$代入函数解析式，得到只含未知数b的一元一次方程，解这个方程就能求出b的取值。
【解析】
∵一次函数$y=-x+b$的图象经过点$P(4,3)$，
∴将$x=4$，$y=3$代入函数解析式可得：
$3=-1×4+b$
移项计算得：$b=3+4=7$
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心考察函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握“点在图象上则坐标满足解析式”的规律，代入计算即可得出结果，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
2. (2025·长春)已知点$A(-3,y_1)$、$B(3,y_2)$在同一正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上，则下列结论正确的是 （
A.$y_1=-y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_2＞0$
D.$y_1＜0$
A
）A.$y_1=-y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_2＞0$
D.$y_1＜0$
答案
2.A 解析:
∵点A(-3,y₁)、B(3,y₂)在同一正比例函数y=kx(k＜0)的图象上,
∴y₁=-3k＞0,y₂=3k＜0,
∴y₁=-y₂.
∵点A(-3,y₁)、B(3,y₂)在同一正比例函数y=kx(k＜0)的图象上,
∴y₁=-3k＞0,y₂=3k＜0,
∴y₁=-y₂.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，所以我们可以把点A、B的横坐标分别代入正比例函数y=kx中，得到y₁、y₂关于k的表达式；再结合已知条件k＜0，分析y₁、y₂的符号和两者的关系，逐一验证选项即可得出正确答案。
【解析】
∵点A(-3,y₁)、B(3,y₂)在正比例函数y=kx(k＜0)的图象上，
∴将x=-3代入解析式得：y₁ = k×(-3) = -3k，
将x=3代入解析式得：y₂ = k×3 = 3k，
∵k＜0，
∴y₁=-3k＞0，y₂=3k＜0，
由此可得：y₁ = -3k = -(3k) = -y₂，故A选项正确；
B选项：y₁=-3k，y₂=3k，两者不相等，B错误；
C选项：y₂=3k＜0，C错误；
D选项：y₁=-3k＞0，D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数的基础应用，核心是理解函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，结合k的符号即可判断函数值的相关结论，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，所以我们可以把点A、B的横坐标分别代入正比例函数y=kx中，得到y₁、y₂关于k的表达式；再结合已知条件k＜0，分析y₁、y₂的符号和两者的关系，逐一验证选项即可得出正确答案。
【解析】
∵点A(-3,y₁)、B(3,y₂)在正比例函数y=kx(k＜0)的图象上，
∴将x=-3代入解析式得：y₁ = k×(-3) = -3k，
将x=3代入解析式得：y₂ = k×3 = 3k，
∵k＜0，
∴y₁=-3k＞0，y₂=3k＜0，
由此可得：y₁ = -3k = -(3k) = -y₂，故A选项正确；
B选项：y₁=-3k，y₂=3k，两者不相等，B错误；
C选项：y₂=3k＜0，C错误；
D选项：y₁=-3k＞0，D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数的基础应用，核心是理解函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，结合k的符号即可判断函数值的相关结论，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.8
3. (2025·扬州)已知$m^{2025}+2025m=2025$，则一次函数$y=(1-m)x+m$的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3.D 解析:
∵m²⁰²⁵+2025m=2025,
∴m＞0且2025m＜2025,
∴0＜m＜1,
∴1-m＞0,
∴一次函数y=(1-m)x+m的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
∵m²⁰²⁵+2025m=2025,
∴m＞0且2025m＜2025,
∴0＜m＜1,
∴1-m＞0,
∴一次函数y=(1-m)x+m的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.
解析
【分析】
要解决这道题需分两步思考：第一步先根据已知等式确定m的取值范围，首先分析等式$m^{2025}+2025m=2025$，若$m≤0$，则$m^{2025}$和$2025m$均为非正数，两者之和不可能等于2025，因此$m＞0$；若$m≥1$，则$m^{2025}≥1$、$2025m≥2025$，两者之和会大于2025，不符合等式，因此$m＜1$，即可得$0＜m＜1$。第二步根据m的范围判断一次函数斜率和截距的正负，再结合一次函数图象性质判断经过的象限即可。
【解析】
$\because m^{2025}+2025m=2025$，
若$m≤0$，则$m^{2025}≤0$，$2025m≤0$，可得$m^{2025}+2025m≤0$，与等式矛盾，故$m＞0$；
若$m≥1$，则$m^{2025}≥1$，$2025m≥2025$，可得$m^{2025}+2025m＞2025$，与等式矛盾，故$m＜1$；
$\therefore 0＜m＜1$，
$\therefore 1-m＞0$，
一次函数$y=(1-m)x+m$中，斜率$1-m＞0$，截距$m＞0$，
$\therefore$该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象性质 2. 乘方符号规律 3. 不等式性质
【点评】
本题属于一次函数相关的基础综合题，核心考查学生对一次函数图象与系数关系的掌握，以及根据代数式特征推导参数取值范围的逻辑推理能力，解题关键是准确判断m的取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决这道题需分两步思考：第一步先根据已知等式确定m的取值范围，首先分析等式$m^{2025}+2025m=2025$，若$m≤0$，则$m^{2025}$和$2025m$均为非正数，两者之和不可能等于2025，因此$m＞0$；若$m≥1$，则$m^{2025}≥1$、$2025m≥2025$，两者之和会大于2025，不符合等式，因此$m＜1$，即可得$0＜m＜1$。第二步根据m的范围判断一次函数斜率和截距的正负，再结合一次函数图象性质判断经过的象限即可。
【解析】
$\because m^{2025}+2025m=2025$，
若$m≤0$，则$m^{2025}≤0$，$2025m≤0$，可得$m^{2025}+2025m≤0$，与等式矛盾，故$m＞0$；
若$m≥1$，则$m^{2025}≥1$，$2025m≥2025$，可得$m^{2025}+2025m＞2025$，与等式矛盾，故$m＜1$；
$\therefore 0＜m＜1$，
$\therefore 1-m＞0$，
一次函数$y=(1-m)x+m$中，斜率$1-m＞0$，截距$m＞0$，
$\therefore$该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象性质 2. 乘方符号规律 3. 不等式性质
【点评】
本题属于一次函数相关的基础综合题，核心考查学生对一次函数图象与系数关系的掌握，以及根据代数式特征推导参数取值范围的逻辑推理能力，解题关键是准确判断m的取值范围。
【难度系数】
0.7
