6. 如图,直线$l_1$与$l_2$相交于点$P$,点$P$的横坐标为$-4$,直线$l_1$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$,且$l_1$与$y$轴交于点$A$,$l_2$与$y$轴交于点$B$,点$A$与点$B$恰好关于$x$轴对称.
(1)求点$B$的坐标和直线$l_2$的函数表达式.
(2)若$M$为直线$l_2$上一点,且$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}S_{△ PAB}$,求点$M$的坐标.

6.(1)
∵当x=0时,$y=\frac{1}{2}×0+3=3$,
∴A(0,3).
∵点A与点B关于x轴对称,
∴点B的坐标为(0,-3).
∵当x=-4时,$y=\frac{1}{2}×(-4)+3=1$,
∴P(-4,1).设直线l₂的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把B(0,-3)、P(-4,1)分别代入,得$\begin{cases}b=-3,\\-4k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-3,\end{cases}$
∴直线l₂的函数表达式为y=-x-3.
(2)设M(t,-t-3).
∵$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×[3-(-3)]×|-4|=12$,$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×[3-(-3)]×|t|=3|t|$,$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}S_{△ PAB}$,
∴$3|t|=\frac{1}{2}×12$,解得t=2或t=-2,
∴点M的坐标为(2,-5)或(-2,-1).

【分析】
(1) 求点B坐标时，先求直线$l_1$与y轴交点A的坐标：令$x=0$代入$l_1$的解析式即可得到A点坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的性质，直接得到B点坐标。求直线$l_2$的解析式时，已知两直线交点P的横坐标为-4，将$x=-4$代入$l_1$的解析式可求出P点纵坐标，得到P点坐标后用待定系数法，设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，将B、P两点坐标代入解二元一次方程组，即可得到$l_2$的解析式。
(2) 求点M坐标时，$△ PAB$和$△ MAB$的底均为线段AB，高分别为点P、点M到y轴的距离（即两点横坐标的绝对值）。先算出$△ PAB$的面积，再根据面积关系列出关于M点横坐标的绝对值方程，解方程得到横坐标的两个取值，再代入$l_2$的解析式求出对应的纵坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+3$，当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×0+3=3$，
∴点A的坐标为$(0,3)$。
∵点A与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标为$(0,-3)$。
∵点P在直线$l_1$上，且横坐标为-4，
将$x=-4$代入$y=\frac{1}{2}x+3$，得$y=\frac{1}{2}×(-4)+3=1$，
∴点P的坐标为$(-4,1)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
把$B(0,-3)$、$P(-4,1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}b=-3\\-4k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-3\end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-x-3$。
(2) 设点M的坐标为$(t,-t-3)$，
$AB$的长度为$3-(-3)=6$，点P到y轴的距离为$|-4|=4$，
∴$S_{△PAB}=\frac{1}{2}×AB×|-4|=\frac{1}{2}×6×4=12$。
$△ MAB$的底仍为$AB=6$，点M到y轴的距离为$|t|$，
∴$S_{△MAB}=\frac{1}{2}×AB×|t|=\frac{1}{2}×6×|t|=3|t|$。
根据题意$S_{△MAB}=\frac{1}{2}S_{△PAB}$，代入得：
$3|t|=\frac{1}{2}×12$
即$|t|=2$，解得$t=2$或$t=-2$。
当$t=2$时，$y=-2-3=-5$，即$M(2,-5)$；
当$t=-2$时，$y=-(-2)-3=-1$，即$M(-2,-1)$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$(0,-3)$，直线$l_2$的函数表达式为$y=-x-3$；
(2) 点M的坐标为$(2,-5)$或$(-2,-1)$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，关于x轴对称的点的坐标特征，一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，解题核心是熟练掌握一次函数解析式的求解方法，同时结合坐标的几何意义计算三角形面积，注意涉及绝对值的方程通常有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7

7. 如图,直线 $ l_1 $ 的函数表达式为 $ y_1 = kx + 1 $, $ l_1 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $,直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y_2 = -x + b $, $ l_2 $ 经过点 $ B(-1,5) $,且分别交 $ x $ 轴、直线 $ l_1 $ 于点 $ C、D $,已知点 $ D $ 的坐标为 $ (2,m) $.
(1)求 $ b、m、k $ 的值.
(2)$ △ ACD $ 的面积为 ______.

7.(1)将B(-1,5)代入y₂=-x+b,得1+b=5,解得b=4,
∴直线l₂的函数表达式为y₂=-x+4.把D(2,m)代入y₂=-x+4,得m=-2+4=2,
∴点D的坐标为(2,2).把D(2,2)代入y₁=kx+1,得2k+1=2,解得$k=\frac{1}{2}$,
∴直线l₁的函数表达式为$y₁=\frac{1}{2}x+1$.
(2)6 解析:当y=0时,-x+4=0,解得x=4,
∴C(4,0);当y=0时,$\frac{1}{2}x+1=0$,解得x=-2,
∴A(-2,0),
∴$△ ACD$的面积为$\frac{1}{2}×(4+2)×2=6$.

【分析】
(1)解题思路：首先利用待定系数法，将点B的坐标代入直线$l_2$的表达式，先求出b的值，得到$l_2$的完整函数表达式；再将点D的横坐标代入$l_2$的表达式，求出m的值，得到点D的完整坐标；最后将点D坐标代入直线$l_1$的表达式，即可求出k的值。
(2)求$△ ACD$的面积时，首先观察到A、C两点均在x轴上，因此先分别令两个直线的函数值y=0，求出A、C两点的坐标，得到AC的长度作为三角形的底；点D的纵坐标即为AC边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$B(-1,5)$代入$y_2=-x+b$，得：
$-(-1)+b=5$，即$1+b=5$，解得$b=4$，
因此直线$l_2$的表达式为$y_2=-x+4$。
把$D(2,m)$代入$y_2=-x+4$，得：
$m=-2+4=2$，即点D坐标为$(2,2)$。
把$D(2,2)$代入$y_1=kx+1$，得：
$2k+1=2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 求点C坐标：令$y_2=0$，即$-x+4=0$，解得$x=4$，因此$C(4,0)$。
求点A坐标：令$y_1=0$，即$\frac{1}{2}x+1=0$，解得$x=-2$，因此$A(-2,0)$。
则AC的长度为$|4 - (-2)|=6$，AC边上的高为点D的纵坐标2，
因此$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
【答案】
(1)$b=4$，$m=2$，$k=\frac{1}{2}$；(2)6
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，核心考查待定系数法的应用，解题时要注意利用“点在函数图象上则点坐标满足函数解析式”这一性质，计算坐标系内三角形面积时，优先观察是否有边在坐标轴上，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7

1. 如果函数$y=2x-b$($b$为常数)与函数$y=x+4$的图象的交点坐标为$(1,5)$，那么关于$x、y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x-y=b,\\x-y=-4\end{cases}$的解为________.

1.$\begin{cases}x=1,\\y=5\end{cases}$

【分析】
解题的核心是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系：两个一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式，将函数解析式变形为二元一次方程的形式后，该交点坐标就是这两个方程组成的方程组的解。首先我们将题干给出的两个一次函数解析式变形，验证是否和待求方程组的方程一致，即可直接得出方程组的解。
【解析】
先对已知的两个一次函数解析式进行移项变形：
1. 对于$y=2x-b$，移项可得$2x-y=b$，与方程组的第一个方程完全相同；
2. 对于$y=x+4$，移项可得$x-y=-4$，与方程组的第二个方程完全相同。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应两个二元一次方程组成的方程组的解。
已知两个函数图象的交点坐标为$(1,5)$，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=1,\\y=5\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 二元一次方程组的解
【点评】
本题是基础概念应用题，无需复杂计算，只要掌握一次函数图象交点和对应二元一次方程组解的对应关系，就能快速得出答案，核心是理解函数解析式和二元一次方程的等价变形。
【难度系数】
0.85

2. 如图,直线 $ l_1: y = x + 1 $ 与直线 $ l_2: y = mx + n $ 相交于点 $ P(a,2) $,则关于 $ x $ 的方程 $ x + 1 = mx + n $ 的解为 ______.

2.$x=1$ 解析:将P(a,2)代入y=x+1,得a=1,故关于x的方程x+1=mx+n的解是x=1.

【分析】
要解这个问题，首先明确：关于x的方程$x+1=mx+n$的解，就是直线$l_1$和$l_2$交点的横坐标，因为此时两条直线的函数值相等。我们已知交点$P$的纵坐标为2，且$P$在直线$l_1$上，因此先将$P$点坐标代入$l_1$的解析式求出横坐标$a$，即可得到方程的解。
【解析】
∵点$P(a,2)$在直线$l_1:y = x + 1$上
∴将$y=2$代入$y=x+1$，得：
$2 = a + 1$
解得$a=1$，即点$P$的坐标为$(1,2)$
∵方程$x+1=mx+n$的解是直线$l_1$与$l_2$交点的横坐标
∴该方程的解为$x=1$
【答案】
$x=1$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题核心考查一次函数和一元一次方程的对应关系，解题的关键是理解两个一次函数的交点横坐标即为对应一元一次方程的解，难度较低，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9