登录
6. 为了增强学生的环保意识,普及环保知识,某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛.竞赛结束后,从七、八年级参赛学生的成绩(单位:分.满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩,并进行整理,绘制了如图24-3所示的统计图表:
| | 平均数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 七年级 | $a$ | 95 | $s_1^2$ |
| 八年级 | 92.5 | $b$ | $s_2^2$ |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)表格中的$a=$
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好?请说明理由.
(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛,得分90分及以上为“优秀”等级,请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.
| | 平均数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 七年级 | $a$ | 95 | $s_1^2$ |
| 八年级 | 92.5 | $b$ | $s_2^2$ |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)表格中的$a=$
93.2
,$b=$96.5
,$s_1^2$＜
(填“＞”“＜”或“=”)$s_2^2$.(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好?请说明理由.
(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛,得分90分及以上为“优秀”等级,请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.
答案
6. (1)93. 2 96. 5 ＜ (2)我认为该校七年级学生环保知识掌握较好,因为七年级这 10 名学生成绩的平均数较高,且方差较小. (答案不唯一,合理即可) (3)$200×\frac{8}{10}+160×\frac{6}{10}=256$(名). 所以估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为 256 名.
解析
【分析】
这道题围绕数据的分析相关知识展开，解题思路如下：
1. 求七年级平均数$a$：先从统计图中提取七年级10名学生的所有成绩，求和后除以10即可得到$a$；求八年级中位数$b$：先将八年级10名学生的成绩从小到大排序，取第5、第6个成绩的平均值就是中位数$b$；比较方差大小：方差反映数据的波动程度，观察两组成绩的波动情况，波动越小方差越小。
2. 判断哪个年级掌握更好：可结合平均数、方差的意义分析，平均数高说明整体水平高，方差小说明成绩更稳定。
3. 估计优秀总人数：先分别统计七、八年级抽取的10名学生中90分及以上的人数，算出各自的优秀率，再用各年级总人数乘对应优秀率，求和即可得到总优秀人数。
【解析】
(1) 首先提取七年级10名学生的成绩：95，96，98，88，95，87，90，95，90，98。
平均数$a=(95+96+98+88+95+87+90+95+90+98)÷10=932÷10=93.2$。
再提取八年级10名学生的成绩：96，89，97，82，98，100，84，97，83，99，将其从小到大排序：82，83，84，89，96，97，97，98，99，100。
共10个数据，中位数$b$为第5个和第6个数据的平均数，即$b=(96+97)÷2=96.5$。
观察两组数据：七年级成绩波动更小、更集中，八年级成绩存在更低的分数，波动更大，因此方差$s_1^2 ＜ s_2^2$。
(2) 七年级学生环保知识掌握较好，理由：七年级抽取的10名学生成绩的平均数93.2高于八年级的92.5，说明七年级整体成绩更高；且七年级方差更小，说明七年级学生成绩更稳定，因此七年级掌握情况更好（理由合理即可）。
(3) 统计抽取样本的优秀人数：七年级10名学生中90分及以上的有8人，优秀率为$\frac{8}{10}$；八年级10名学生中90分及以上的有6人，优秀率为$\frac{6}{10}$。
则总优秀人数估计为：$200×\frac{8}{10}+160×\frac{6}{10}=160+96=256$（名）。
【答案】
(1) 93.2；96.5；＜
(2) 七年级学生环保知识掌握较好，理由：七年级成绩平均数更高，且方差更小，成绩更稳定（合理即可）
(3) 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256名。
【知识点】
平均数与中位数计算，方差的意义，样本估计总体
【点评】
本题综合考查统计相关知识，既要求学生能从统计图中准确提取数据，正确计算平均数、中位数，还要求学生理解不同统计量的实际意义，能结合数据进行分析决策，同时掌握用样本估计总体的统计思想，是统计模块的典型题型。
【难度系数】
0.7
这道题围绕数据的分析相关知识展开，解题思路如下：
1. 求七年级平均数$a$：先从统计图中提取七年级10名学生的所有成绩，求和后除以10即可得到$a$；求八年级中位数$b$：先将八年级10名学生的成绩从小到大排序，取第5、第6个成绩的平均值就是中位数$b$；比较方差大小：方差反映数据的波动程度，观察两组成绩的波动情况，波动越小方差越小。
2. 判断哪个年级掌握更好：可结合平均数、方差的意义分析，平均数高说明整体水平高，方差小说明成绩更稳定。
3. 估计优秀总人数：先分别统计七、八年级抽取的10名学生中90分及以上的人数，算出各自的优秀率，再用各年级总人数乘对应优秀率，求和即可得到总优秀人数。
【解析】
(1) 首先提取七年级10名学生的成绩：95，96，98，88，95，87，90，95，90，98。
平均数$a=(95+96+98+88+95+87+90+95+90+98)÷10=932÷10=93.2$。
再提取八年级10名学生的成绩：96，89，97，82，98，100，84，97，83，99，将其从小到大排序：82，83，84，89，96，97，97，98，99，100。
共10个数据，中位数$b$为第5个和第6个数据的平均数，即$b=(96+97)÷2=96.5$。
观察两组数据：七年级成绩波动更小、更集中，八年级成绩存在更低的分数，波动更大，因此方差$s_1^2 ＜ s_2^2$。
(2) 七年级学生环保知识掌握较好，理由：七年级抽取的10名学生成绩的平均数93.2高于八年级的92.5，说明七年级整体成绩更高；且七年级方差更小，说明七年级学生成绩更稳定，因此七年级掌握情况更好（理由合理即可）。
(3) 统计抽取样本的优秀人数：七年级10名学生中90分及以上的有8人，优秀率为$\frac{8}{10}$；八年级10名学生中90分及以上的有6人，优秀率为$\frac{6}{10}$。
则总优秀人数估计为：$200×\frac{8}{10}+160×\frac{6}{10}=160+96=256$（名）。
【答案】
(1) 93.2；96.5；＜
(2) 七年级学生环保知识掌握较好，理由：七年级成绩平均数更高，且方差更小，成绩更稳定（合理即可）
(3) 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256名。
【知识点】
平均数与中位数计算，方差的意义，样本估计总体
【点评】
本题综合考查统计相关知识，既要求学生能从统计图中准确提取数据，正确计算平均数、中位数，还要求学生理解不同统计量的实际意义，能结合数据进行分析决策，同时掌握用样本估计总体的统计思想，是统计模块的典型题型。
【难度系数】
0.7
