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二、数据的离散程度
1. 求一组数据方差的算式为$s^2 = \frac{1}{n} × [ (6-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2 + (6-\overline{x})^2 + (7-\overline{x})^2 ]$. 由算式提供的信息,下列说法错误的是 (
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
1. 求一组数据方差的算式为$s^2 = \frac{1}{n} × [ (6-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2 + (6-\overline{x})^2 + (7-\overline{x})^2 ]$. 由算式提供的信息,下列说法错误的是 (
C
)A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据个数，$\overline{x}$是平均数，$x_1∼ x_n$是原始数据。第一步先从题目给出的方差算式中提取原始数据、确定$n$的值；第二步计算原始数据的平均数、众数，验证A、B、C选项；第三步计算加入新数据后的方差，验证D选项，最终找出错误的说法。
【解析】
根据方差算式可得这组原始数据为：6，8，8，6，7，共5个数据。
1. 验证A选项：算式中共有5个平方项，即数据个数$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中6和8都出现了2次，7出现1次，因此众数是6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 验证D选项：加入两个数7、7后，新数据的平均数仍为7，
原方差$s^2=\frac{1}{5}×[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$，
新方差$s'^2=\frac{1}{7}×[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2×3]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差；平均数；众数
【点评】
本题考查统计中特征量的相关计算，解题核心是能从方差的表达式中准确提取原始数据，再结合各统计量的定义逐一分析判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据个数，$\overline{x}$是平均数，$x_1∼ x_n$是原始数据。第一步先从题目给出的方差算式中提取原始数据、确定$n$的值；第二步计算原始数据的平均数、众数，验证A、B、C选项；第三步计算加入新数据后的方差，验证D选项，最终找出错误的说法。
【解析】
根据方差算式可得这组原始数据为：6，8，8，6，7，共5个数据。
1. 验证A选项：算式中共有5个平方项，即数据个数$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中6和8都出现了2次，7出现1次，因此众数是6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 验证D选项：加入两个数7、7后，新数据的平均数仍为7，
原方差$s^2=\frac{1}{5}×[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$，
新方差$s'^2=\frac{1}{7}×[(6-7)^2×2+(8-7)^2×2+(7-7)^2×3]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差；平均数；众数
【点评】
本题考查统计中特征量的相关计算，解题核心是能从方差的表达式中准确提取原始数据，再结合各统计量的定义逐一分析判断即可。
【难度系数】
0.7
2. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试,每人10次跳绳成绩的平均数及方差如下表所示:
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择
(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择
(
B
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2. B
解析
【分析】
要选出成绩好且发挥稳定的同学，首先要明确两个统计量的含义：平均数反映一组数据的平均水平，平均数越高说明整体成绩越好；方差反映一组数据的波动程度，方差越小说明发挥越稳定。解题时分两步思考：第一步先比较四人的平均数，筛选出平均数更高的同学；第二步再比较筛选出的同学的方差，选择方差最小的即可。
【解析】
1. 筛选成绩好的同学：对比四人的平均数，甲205、乙217、丙208、丁217，乙和丁的平均数217最高，说明乙、丁的整体成绩更好，先淘汰甲、丙。
2. 筛选发挥稳定的同学：对比乙和丁的方差，乙方差为4.6，丁方差为9.6，因为4.6＜9.6，方差越小发挥越稳定，所以乙的发挥更稳定。
综上，乙同时满足成绩好、发挥稳定的要求。
【答案】
B
【知识点】
平均数，方差，统计决策
【点评】
本题是统计类基础题，解题核心是准确掌握平均数和方差的实际意义，按照“先看平均水平、再看稳定性”的顺序筛选即可，注意不要混淆两个统计量的作用。
【难度系数】
0.8
要选出成绩好且发挥稳定的同学，首先要明确两个统计量的含义：平均数反映一组数据的平均水平，平均数越高说明整体成绩越好；方差反映一组数据的波动程度，方差越小说明发挥越稳定。解题时分两步思考：第一步先比较四人的平均数，筛选出平均数更高的同学；第二步再比较筛选出的同学的方差，选择方差最小的即可。
【解析】
1. 筛选成绩好的同学：对比四人的平均数，甲205、乙217、丙208、丁217，乙和丁的平均数217最高，说明乙、丁的整体成绩更好，先淘汰甲、丙。
2. 筛选发挥稳定的同学：对比乙和丁的方差，乙方差为4.6，丁方差为9.6，因为4.6＜9.6，方差越小发挥越稳定，所以乙的发挥更稳定。
综上，乙同时满足成绩好、发挥稳定的要求。
【答案】
B
【知识点】
平均数，方差，统计决策
【点评】
本题是统计类基础题，解题核心是准确掌握平均数和方差的实际意义，按照“先看平均水平、再看稳定性”的顺序筛选即可，注意不要混淆两个统计量的作用。
【难度系数】
0.8
3. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势,数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量,测得两种小麦苗高的平均数相同,方差分别为$s^{2}_{甲}=3.6,s^{2}_{乙}=5.8$,则这两种小麦长势更整齐的是________(填“甲”或“乙”).
答案
3. 甲
解析
【分析】
要判断哪种小麦长势更整齐，本质是判断两组小麦苗高数据的波动大小，衡量数据波动大小常用统计量为方差。当两组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，对应长势越整齐。解题时只需先比较甲、乙两种小麦的方差大小，再根据方差的性质判断即可。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动程度的统计量，在两组数据平均数相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，长势越整齐。
已知两种小麦苗高的平均数相同，且$s^{2}_{甲}=3.6$，$s^{2}_{乙}=5.8$，可得$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$，因此甲种小麦的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题是基础题，结合实际场景考查方差的应用，只要牢记方差越小、数据越稳定的性质，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断哪种小麦长势更整齐，本质是判断两组小麦苗高数据的波动大小，衡量数据波动大小常用统计量为方差。当两组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，对应长势越整齐。解题时只需先比较甲、乙两种小麦的方差大小，再根据方差的性质判断即可。
【解析】
解：方差是反映一组数据波动程度的统计量，在两组数据平均数相同的前提下，方差越小，数据的波动越小，长势越整齐。
已知两种小麦苗高的平均数相同，且$s^{2}_{甲}=3.6$，$s^{2}_{乙}=5.8$，可得$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$，因此甲种小麦的长势更整齐。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题是基础题，结合实际场景考查方差的应用，只要牢记方差越小、数据越稳定的性质，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
4.若一组数据的离差平方和为10,平均数为2,数据个数为5,则这组数据中所有数据的平方和是
30
.答案
4. 30
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确已知量和未知量的关系：已知离差平方和、平均数、数据个数，要求所有数据的平方和。首先回忆离差平方和的定义：离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，公式为$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$。我们可以把这个公式用完全平方公式展开，再结合“数据总和=平均数×数据个数”的关系，就能推导出数据平方和的表达式，代入已知数值计算即可。
【解析】
设这组数据为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，平均数$\bar{x}=2$，数据个数$n=5$，离差平方和$\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2=10$。
1. 展开离差平方和公式：
$\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^5 (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2)=\sum_{i=1}^5 x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^5 x_i + 5\bar{x}^2$
2. 根据平均数定义，数据总和$\sum_{i=1}^5 x_i = n\bar{x}=5×2=10$
3. 将已知数值代入展开式：
$10=\sum x_i^2 - 2×2×10 + 5×2^2$
4. 计算化简：
$10=\sum x_i^2 -40 +20$
$10=\sum x_i^2 -20$
解得$\sum x_i^2=10+20=30$
【答案】
30
【知识点】
1. 离差平方和公式
2. 平均数的计算
3. 完全平方公式展开
【点评】
本题重点考察对离差平方和公式的变形运用，需要熟练掌握平均数与数据总和的关联，通过公式展开建立已知量和待求量的联系，掌握公式变形的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先明确已知量和未知量的关系：已知离差平方和、平均数、数据个数，要求所有数据的平方和。首先回忆离差平方和的定义：离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，公式为$S=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$。我们可以把这个公式用完全平方公式展开，再结合“数据总和=平均数×数据个数”的关系，就能推导出数据平方和的表达式，代入已知数值计算即可。
【解析】
设这组数据为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，平均数$\bar{x}=2$，数据个数$n=5$，离差平方和$\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2=10$。
1. 展开离差平方和公式：
$\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^5 (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2)=\sum_{i=1}^5 x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^5 x_i + 5\bar{x}^2$
2. 根据平均数定义，数据总和$\sum_{i=1}^5 x_i = n\bar{x}=5×2=10$
3. 将已知数值代入展开式：
$10=\sum x_i^2 - 2×2×10 + 5×2^2$
4. 计算化简：
$10=\sum x_i^2 -40 +20$
$10=\sum x_i^2 -20$
解得$\sum x_i^2=10+20=30$
【答案】
30
【知识点】
1. 离差平方和公式
2. 平均数的计算
3. 完全平方公式展开
【点评】
本题重点考察对离差平方和公式的变形运用，需要熟练掌握平均数与数据总和的关联，通过公式展开建立已知量和待求量的联系，掌握公式变形的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 某校开展以“弘扬体育精神，感受运动魅力”为主题的实践课程. 为了解学生掌握乒乓球运球技巧等情况，教练从七年级和八年级各抽取了10名学生的训练成绩进行了统计，绘制如图24-2所示的统计图. 根据以上信息，整理分析数据如下：
| | 平均成绩 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 七年级 | 3 |
| $c$ | 2 |
| 八年级 | $a$ | 3 | 3 | $s^2$ |
(1)填空：$a=$
(2)从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是
(3)计算八年级学生训练成绩的方差$s^2$，并说明哪个年级的成绩更稳定.
图24-2
| | 平均成绩 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 七年级 | 3 |
| $c$ | 2 || 八年级 | $a$ | 3 | 3 | $s^2$ |
(1)填空：$a=$
3
，$b=$3.5
，$c=$4
；(2)从平均数和众数的角度来比较，样本中成绩较好的是
七年级
（填“七年级”或“八年级”）；(3)计算八年级学生训练成绩的方差$s^2$，并说明哪个年级的成绩更稳定.
图24-2
答案
5. (1)3 3. 5 4 (2)七年级 (3)$s^2=\frac{1}{10}[(2-3)^2×3+(3-3)^2×4+(4-3)^2×3]=0. 6$. 因为八年级学生成绩的方差 0. 6 小于七年级学生成绩的方差 2,所以八年级的成绩更稳定.
解析
【分析】
本题考查统计量的计算与应用，解题思路如下：
(1) 求a（八年级平均成绩）：先统计八年级各分数段的人数，用加权平均数公式计算；求b（七年级中位数）：将七年级10名学生的成绩从小到大排序，取第5、6个数据的平均数即可；求c（七年级众数）：找出七年级成绩中出现次数最多的数即可。
(2) 比较两个年级的平均数和众数，平均数相同时，众数越大代表整体高分更多，成绩更好。
(3) 计算八年级方差用方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2f_1+(x_2-\overline{x})^2f_2+\dots+(x_k-\overline{x})^2f_k]$（其中$f_i$是对应数据的频数，n是总人数），方差越小成绩越稳定，比较两个年级方差大小即可判断。
【解析】
(1) 统计得八年级10名学生的成绩分布为：2分有3人，3分有4人，4分有3人。
平均成绩$a=\frac{2×3 + 3×4 + 4×3}{10}=\frac{6+12+12}{10}=3$；
将七年级10名学生的成绩从小到大排列后，第5个数据为3，第6个数据为4，故中位数$b=\frac{3+4}{2}=3.5$；
七年级成绩中出现次数最多的是4分，故众数$c=4$。
(2) 七年级和八年级的平均成绩均为3，七年级众数为4，八年级众数为3，众数更高的七年级成绩更好。
(3) 根据方差公式计算八年级成绩的方差：
$s^2=\frac{1}{10}[(2-3)^2×3 + (3-3)^2×4 + (4-3)^2×3]$
$=\frac{1}{10}[3×1 + 4×0 + 3×1]$
$=\frac{1}{10}×6=0.6$
因为$0.6＜2$，即八年级的方差小于七年级的方差，所以八年级的成绩更稳定。
【答案】
(1) 3；3.5；4 (2) 七年级 (3) $s^2=0.6$，八年级的成绩更稳定
【知识点】
加权平均数计算；中位数与众数；方差的计算与意义
【点评】
本题围绕常见的统计量展开考查，要求熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法，能够结合不同统计量的意义对数据进行实际分析，属于统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
本题考查统计量的计算与应用，解题思路如下：
(1) 求a（八年级平均成绩）：先统计八年级各分数段的人数，用加权平均数公式计算；求b（七年级中位数）：将七年级10名学生的成绩从小到大排序，取第5、6个数据的平均数即可；求c（七年级众数）：找出七年级成绩中出现次数最多的数即可。
(2) 比较两个年级的平均数和众数，平均数相同时，众数越大代表整体高分更多，成绩更好。
(3) 计算八年级方差用方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2f_1+(x_2-\overline{x})^2f_2+\dots+(x_k-\overline{x})^2f_k]$（其中$f_i$是对应数据的频数，n是总人数），方差越小成绩越稳定，比较两个年级方差大小即可判断。
【解析】
(1) 统计得八年级10名学生的成绩分布为：2分有3人，3分有4人，4分有3人。
平均成绩$a=\frac{2×3 + 3×4 + 4×3}{10}=\frac{6+12+12}{10}=3$；
将七年级10名学生的成绩从小到大排列后，第5个数据为3，第6个数据为4，故中位数$b=\frac{3+4}{2}=3.5$；
七年级成绩中出现次数最多的是4分，故众数$c=4$。
(2) 七年级和八年级的平均成绩均为3，七年级众数为4，八年级众数为3，众数更高的七年级成绩更好。
(3) 根据方差公式计算八年级成绩的方差：
$s^2=\frac{1}{10}[(2-3)^2×3 + (3-3)^2×4 + (4-3)^2×3]$
$=\frac{1}{10}[3×1 + 4×0 + 3×1]$
$=\frac{1}{10}×6=0.6$
因为$0.6＜2$，即八年级的方差小于七年级的方差，所以八年级的成绩更稳定。
【答案】
(1) 3；3.5；4 (2) 七年级 (3) $s^2=0.6$，八年级的成绩更稳定
【知识点】
加权平均数计算；中位数与众数；方差的计算与意义
【点评】
本题围绕常见的统计量展开考查，要求熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法，能够结合不同统计量的意义对数据进行实际分析，属于统计模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
