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一、选择题
1. 直角三角形两直角边的和为7,面积为6,则斜边长为 （
A.5
B.$\sqrt{37}$
C.7
D.$\sqrt{38}$
1. 直角三角形两直角边的和为7,面积为6,则斜边长为 （
A
）A.5
B.$\sqrt{37}$
C.7
D.$\sqrt{38}$
答案
1.A
解析
【分析】
我们可以设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。题目给出了两直角边的和与面积，先将已知条件转化为关于a、b的代数式：a+b=7，由面积公式可算出ab的值。要求斜边长，根据勾股定理需要求a²+b²，这里不需要单独解出a、b的具体值，利用完全平方公式将a²+b²变形为(a+b)²-2ab，代入已知数值就能快速求出c²，进而得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c。
根据题意可得：
1. 两直角边和：$a + b = 7$
2. 面积条件：$\frac{1}{2}ab = 6$，解得$ab = 12$
根据勾股定理可知：$c^2 = a^2 + b^2$
利用完全平方公式变形：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=7$、$ab=12$代入得：
$c^2 = 7^2 - 2×12 = 49 - 24 = 25$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{25} = 5$
因此斜边长为5。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题时不需要单独求解两条直角边的具体值，灵活运用完全平方公式变形可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
我们可以设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。题目给出了两直角边的和与面积，先将已知条件转化为关于a、b的代数式：a+b=7，由面积公式可算出ab的值。要求斜边长，根据勾股定理需要求a²+b²，这里不需要单独解出a、b的具体值，利用完全平方公式将a²+b²变形为(a+b)²-2ab，代入已知数值就能快速求出c²，进而得到斜边长。
【解析】
设该直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c。
根据题意可得：
1. 两直角边和：$a + b = 7$
2. 面积条件：$\frac{1}{2}ab = 6$，解得$ab = 12$
根据勾股定理可知：$c^2 = a^2 + b^2$
利用完全平方公式变形：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
将$a+b=7$、$ab=12$代入得：
$c^2 = 7^2 - 2×12 = 49 - 24 = 25$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{25} = 5$
因此斜边长为5。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题时不需要单独求解两条直角边的具体值，灵活运用完全平方公式变形可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 （
A.7,24,25
B.2,3,4
C.4,6,7
D.5,11,12
A
）A.7,24,25
B.2,3,4
C.4,6,7
D.5,11,12
答案
2.A
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可完成判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
A选项：最长边为25，计算得$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，即$7^2 + 24^2 = 25^2$，可以组成直角三角形；
B选项：最长边为4，$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能组成直角三角形；
C选项：最长边为7，$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，$7^2 = 49$，$52 ≠ 49$，不能组成直角三角形；
D选项：最长边为12，$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 ≠ 144$，不能组成直角三角形。
综上只有A选项符合要求。
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时注意先确定最长边，再准确计算各边的平方进行对比，细心运算即可得分。
【难度系数】0.85
要判断三条线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可完成判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各选项：
A选项：最长边为25，计算得$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，即$7^2 + 24^2 = 25^2$，可以组成直角三角形；
B选项：最长边为4，$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能组成直角三角形；
C选项：最长边为7，$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，$7^2 = 49$，$52 ≠ 49$，不能组成直角三角形；
D选项：最长边为12，$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 ≠ 144$，不能组成直角三角形。
综上只有A选项符合要求。
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时注意先确定最长边，再准确计算各边的平方进行对比，细心运算即可得分。
【难度系数】0.85
3. 下面说法正确的是 （
A.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$a^2 + b^2 = c^2$
B.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，如果 $a=3, b=4$，那么 $c=5$
C.直角三角形两直角边长都是 5，那么斜边长为 10
D.直角三角形中，斜边最长
D
）A.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$a^2 + b^2 = c^2$
B.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，如果 $a=3, b=4$，那么 $c=5$
C.直角三角形两直角边长都是 5，那么斜边长为 10
D.直角三角形中，斜边最长
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题思路是逐个验证选项：首先明确勾股定理的使用前提是先确定斜边（直角所对的边），只有两条直角边的平方和才等于斜边的平方；再结合直角三角形“大角对大边”的性质判断边的长短关系，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，未明确说明边$c$是斜边，只有当$∠ C$为直角时，$a^2 + b^2 = c^2$才成立，因此A错误。
B选项：在$\mathrm{Rt}△ABC$中$a=3,b=4$，未明确斜边是哪条边，若$b$为斜边，则第三边$c=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，不一定等于5，因此B错误。
C选项：直角三角形两直角边长都是5，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}≠10$，因此C错误。
D选项：直角三角形中直角是最大的内角，根据“大角对大边”的性质，直角所对的斜边是最长的边，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是使用勾股定理时忽略提前确定斜边，要牢记勾股定理的适用条件，明确直角与斜边的对应关系，同时熟练掌握直角三角形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题思路是逐个验证选项：首先明确勾股定理的使用前提是先确定斜边（直角所对的边），只有两条直角边的平方和才等于斜边的平方；再结合直角三角形“大角对大边”的性质判断边的长短关系，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，未明确说明边$c$是斜边，只有当$∠ C$为直角时，$a^2 + b^2 = c^2$才成立，因此A错误。
B选项：在$\mathrm{Rt}△ABC$中$a=3,b=4$，未明确斜边是哪条边，若$b$为斜边，则第三边$c=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，不一定等于5，因此B错误。
C选项：直角三角形两直角边长都是5，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}≠10$，因此C错误。
D选项：直角三角形中直角是最大的内角，根据“大角对大边”的性质，直角所对的斜边是最长的边，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是使用勾股定理时忽略提前确定斜边，要牢记勾股定理的适用条件，明确直角与斜边的对应关系，同时熟练掌握直角三角形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 放学后,小东和晓晓从学校分别沿东南方向和西南方向回家,小东和晓晓行走的速度都是 40 m/min,小东用 15 min 到家,晓晓用 20 min 到家. 小东家到晓晓家的距离为
(
A.600 m
B.800 m
C.1 000 m
D.不能确定
(
C
)A.600 m
B.800 m
C.1 000 m
D.不能确定
答案
4.C
解析
【分析】
首先明确方向关系：东南方向是南偏东45°，西南方向是南偏西45°，因此小东和晓晓的行走路线夹角为90°，学校、小东家、晓晓家三个点可构成直角三角形，两家的距离就是这个直角三角形的斜边。接下来根据“路程=速度×时间”分别算出两人从学校到家的路程，也就是直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理计算斜边长度，即可得到两家的距离。
【解析】
第一步：计算小东从学校到家的路程
根据路程公式$s=vt$，小东的路程为：$ 40 × 15 = 600\ \mathrm{m} $
第二步：计算晓晓从学校到家的路程
晓晓的路程为：$ 40 × 20 = 800\ \mathrm{m} $
第三步：由方向特征可知两段行走路线互相垂直，因此两家距离为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
两家距离$ = \sqrt{600^2 + 800^2} = \sqrt{360000 + 640000} = \sqrt{1000000} = 1000\ \mathrm{m} $
【答案】
C
【知识点】
方向角的认识；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际生活的应用类题目，解题关键是结合方向特征判断出三个位置构成直角三角形，再结合路程计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确方向关系：东南方向是南偏东45°，西南方向是南偏西45°，因此小东和晓晓的行走路线夹角为90°，学校、小东家、晓晓家三个点可构成直角三角形，两家的距离就是这个直角三角形的斜边。接下来根据“路程=速度×时间”分别算出两人从学校到家的路程，也就是直角三角形的两条直角边长，最后用勾股定理计算斜边长度，即可得到两家的距离。
【解析】
第一步：计算小东从学校到家的路程
根据路程公式$s=vt$，小东的路程为：$ 40 × 15 = 600\ \mathrm{m} $
第二步：计算晓晓从学校到家的路程
晓晓的路程为：$ 40 × 20 = 800\ \mathrm{m} $
第三步：由方向特征可知两段行走路线互相垂直，因此两家距离为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
两家距离$ = \sqrt{600^2 + 800^2} = \sqrt{360000 + 640000} = \sqrt{1000000} = 1000\ \mathrm{m} $
【答案】
C
【知识点】
方向角的认识；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际生活的应用类题目，解题关键是结合方向特征判断出三个位置构成直角三角形，再结合路程计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. [2025·连云港]如下左图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度$ h $为________ m.
1. [2025·连云港]如下左图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度$ h $为________ m.
答案
1. 2.4
解析
【分析】
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，其中梯子长度是直角三角形的斜边，梯子底端到墙脚的距离、梯子顶端的高度h分别是两条直角边，可利用勾股定理求解h：先写出勾股定理的表达式，代入已知边长，计算出h的平方后开算术平方根即可得到h的值。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，
已知斜边长为3m，一条直角边长为1.8m，设顶端高度h为另一条直角边，
根据勾股定理，得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
∵h是长度，取值为正，
∴$h=\sqrt{5.76}=2.4$（m）
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，再代入勾股定理计算未知边长，计算时注意边长取算术平方根即可。
【难度系数】
0.85
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，其中梯子长度是直角三角形的斜边，梯子底端到墙脚的距离、梯子顶端的高度h分别是两条直角边，可利用勾股定理求解h：先写出勾股定理的表达式，代入已知边长，计算出h的平方后开算术平方根即可得到h的值。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，
已知斜边长为3m，一条直角边长为1.8m，设顶端高度h为另一条直角边，
根据勾股定理，得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
∵h是长度，取值为正，
∴$h=\sqrt{5.76}=2.4$（m）
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题型，解题核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，再代入勾股定理计算未知边长，计算时注意边长取算术平方根即可。
【难度系数】
0.85
2. 如上中图,在$△ ABC$中,$AC=6,AB=BC=5$,则$BC$边上的高$AD=$
4.8
.答案
2. 4.8
解析
【分析】
要求BC边上的高AD，我们可以采用等面积法求解，思路如下：首先△ABC是AB=BC的等腰三角形，可先作AC边上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AC的中点，再用勾股定理求出AC边上的高，计算出△ABC的面积；最后根据三角形面积的两种表示方法（以AC为底和以BC为底），建立等式即可求出AD的长度。也可以设BD的长度为未知数，利用AD是两个直角三角形的公共直角边，结合勾股定理列方程求解，两种方法均符合所学知识。
【解析】
解：过点B作BE⊥AC，垂足为E。
∵AB=BC=5，BE⊥AC，
∴E为AC的中点（等腰三角形三线合一）。
∵AC=6，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=3$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BE=\frac{1}{2}×6×4=12$。
又
∵AD是BC边上的高，
∴$S=\frac{1}{2}×BC×AD$。
将BC=5，S=12代入得：
$12=\frac{1}{2}×5×AD$，
解得$AD=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是几何求高的典型题型，解题时可以灵活选择方法，其中等面积法是计算三角形高的常用技巧，能有效简化计算过程，熟练掌握等腰三角形性质和勾股定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要求BC边上的高AD，我们可以采用等面积法求解，思路如下：首先△ABC是AB=BC的等腰三角形，可先作AC边上的高，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AC的中点，再用勾股定理求出AC边上的高，计算出△ABC的面积；最后根据三角形面积的两种表示方法（以AC为底和以BC为底），建立等式即可求出AD的长度。也可以设BD的长度为未知数，利用AD是两个直角三角形的公共直角边，结合勾股定理列方程求解，两种方法均符合所学知识。
【解析】
解：过点B作BE⊥AC，垂足为E。
∵AB=BC=5，BE⊥AC，
∴E为AC的中点（等腰三角形三线合一）。
∵AC=6，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=3$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BE=\frac{1}{2}×6×4=12$。
又
∵AD是BC边上的高，
∴$S=\frac{1}{2}×BC×AD$。
将BC=5，S=12代入得：
$12=\frac{1}{2}×5×AD$，
解得$AD=\frac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是几何求高的典型题型，解题时可以灵活选择方法，其中等面积法是计算三角形高的常用技巧，能有效简化计算过程，熟练掌握等腰三角形性质和勾股定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如上右图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为
100
.答案
3. 100
解析
【分析】
首先观察图形特征：三个正方形分别以直角三角形的三条边为边长。我们知道正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积恰好对应直角三角形三条边长的平方。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可得：两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，我们只需要将已知的两个较小正方形的面积相加，就能得到A的面积。
【解析】
设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，斜边边长为c，已知两个以直角边为边长的正方形面积分别为36和64，即$a^2=36$，$b^2=64$，正方形A是以斜边c为边长的正方形，因此A的面积为$c^2$。
根据勾股定理：$a^2+b^2=c^2$，代入数值可得：
$c^2=36+64=100$
因此A代表的正方形面积为100。
【答案】
100
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积结合考查，核心是理解勾股定理的几何意义，无需计算边长即可直接通过面积关系求解，是勾股定理的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征：三个正方形分别以直角三角形的三条边为边长。我们知道正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积恰好对应直角三角形三条边长的平方。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可得：两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，我们只需要将已知的两个较小正方形的面积相加，就能得到A的面积。
【解析】
设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，斜边边长为c，已知两个以直角边为边长的正方形面积分别为36和64，即$a^2=36$，$b^2=64$，正方形A是以斜边c为边长的正方形，因此A的面积为$c^2$。
根据勾股定理：$a^2+b^2=c^2$，代入数值可得：
$c^2=36+64=100$
因此A代表的正方形面积为100。
【答案】
100
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积结合考查，核心是理解勾股定理的几何意义，无需计算边长即可直接通过面积关系求解，是勾股定理的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ A=90°$, $∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 于点 $D$,$DE$ 是 $BC$ 的垂直平分线,点 $E$ 是垂足.若 $DC=2$, $AD=1$,则 $BE$ 的长为 ______.
答案
4. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：首先，题目给出角平分线和两个垂直条件，想到角平分线的性质，可得到DE和AD的长度相等；其次，DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知BE=EC，我们只需要求出EC的长度即可得到BE的长；最后，△DEC是直角三角形，已知DC和DE的长度，用勾股定理就能算出EC的长度。
【解析】
1.
∵BD平分∠ABC，∠A=90°即DA⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=AD=1$。
2.
∵DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线平分对应线段，可得$BE=EC$，且$∠ DEC=90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△DEC$中，已知$DC=2$，$DE=1$，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{DC^2-DE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
4. 因此$BE=EC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，将三个基础几何性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，找到相等的线段，将未知量转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路推导：首先，题目给出角平分线和两个垂直条件，想到角平分线的性质，可得到DE和AD的长度相等；其次，DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知BE=EC，我们只需要求出EC的长度即可得到BE的长；最后，△DEC是直角三角形，已知DC和DE的长度，用勾股定理就能算出EC的长度。
【解析】
1.
∵BD平分∠ABC，∠A=90°即DA⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=AD=1$。
2.
∵DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且垂直平分线平分对应线段，可得$BE=EC$，且$∠ DEC=90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△DEC$中，已知$DC=2$，$DE=1$，根据勾股定理：
$EC=\sqrt{DC^2-DE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
4. 因此$BE=EC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，将三个基础几何性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，找到相等的线段，将未知量转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
